线段图之较复杂的分数应用题

刘善娜

【教学时机】

人教版六年级上册《分数除法解决问题》新授学习完毕后。

【教学过程】

一、看懂“量率对应”

师：看图，轻声说说其中蕴含的数学问题，并口答列式。

问1：这四幅线段图，从数据标注上，你们能发现什么共同点？

生：分率写在上面，具体量写在下面。

师：这样有什么好处？

生：便于发现“率”与“量”的对应关系。

问2：上面两幅图和下面两幅图最大的不同是什么？

小结：分别居于上、下的“率”与“量”，有时是直接对应；有时是间接对应转化为直接对应。

【设计意图：此环节重在分析和回忆。在分数乘法、分数除法单元教材中，学生已经解读了大量的类似问题线段图。学生对线段图大多停留在“读懂”的阶段，自己独立作图分析的能力较弱。】

二、根据要求画图

1.会区分“率”和“量”，上下分开。

（2）尝试画线段图（草图）。

（3）交流，反馈。

学生一般会画出两类图：

问1：信息和问题都在线段图上表示出来了吗？

问2：哪幅图更能找到对应的“率”和“量”？

再次强调：“率”和“量”分上、下表示，能更方便找到“对应”的“率”和“量”。

【设计意图：此题中的具体数量和分率都是分数，且对应关系不明显，在画线段图时，如果让学生把分率和具体数量都表示在线段的一侧，不但不能显现出量率对应关系，还容易使学生产生误解，对分析数量关系产生干扰。如果强调把分率和具体数量分开，分别表示在线段的上、下两侧，就能有效地避免这个干扰，并从线段图中直观地看出千米对应的分率是（】

2.会“量、率”对应，灵动变化位置。

（2）尝试画图（草图）。

（3）交流，反馈。

●反馈一：展示能做好“率上量下”的作业。

问1：线段图上每一个“率”“量”的标注是怎么想的？谁来解说一下？

小结：需要分辨清楚每个“率”“量”在线段图上的起点到终点位置（长度）。

问 2：这个图上，“量”有三个——10页、14页、150页，“率”也有三个——“1”、怎么通过它们找到一组对应的“率”和“量”？你能找到吗？

小结：虽然率上量下很清楚，但由于“率”和“率”之间有叠加部分，很难在图上清楚地找到对应的“率”和“量”。

【设计意图：“率上量下”掌握起来不难。画错的学生一般找不准“第二天的”是从哪个点开始画，因为需要与“第一天的”有交叉，第一天并没有看完。所以，画线段图的过程，就是深度理解题目信息的过程。】

●反馈二：教师示范“分开画法”。

问1：剩下的150页怎么画？从哪个点画到哪个点？为什么？

问2：在这个图上，“量”有三个——10页、14页、150页，“率”也有三个——“1”、现在你能通过它们找到那一组对应的“率”和“量”吗？

师：谁能上来指认？

【设计意图：较为复杂的线段图画出来后，通过已有的量和率去寻找对应的量和率，对学生而言并不容易，因此需要放慢脚步，让学生找一找、想一想，掌握一些实用的步骤。】

3.会识别单位“1”的变化，分步算，分步画。

（2）理解题意。

问2：如果不好算，能否换个角度想想，能不能简化题目，倒推着来？

小结：第三次用去15米，剩下6米，可以合并为“两次用去后，还剩21米”。

问3：仔细观察“量”重复的部分，你能发现什么新的信息？

小结：当分数问题中单位“1”发生变化，得不到清晰的“率”时，从“量”入手，一步步简化，一步步观察“对应”，标注数据，往往能推算得到新的“率”。

（3）尝试画图，解决问题。

（4）反馈交流。

师：你接下来求的是什么？为什么求这个？

小结：每一步“量”的合并，会带来新的“率”，新的“率”又帮助求出新的“量”，于是谜底慢慢揭开，数学思考的乐趣就在此。

（5）试着完整地画一遍，并完成列式计算。

【设计意图：通过学生讲解思考过程，教师追问跟进，在互动交流中突出画分数问题线段图的重点与难点。交流、分析、理解，然后再完整地画一次，感受线段图的优越性。】

三、跟进练习

四、全课总结（略）

【教学建议】

分数问题的线段图，学生在分数乘法、分数除法的学习中已经积累较多的直观经验。线段图往往作为理解问题的抓手，而当学生理解了这一类问题后，教师就会更倾向让学生利用“量率对应”的规律去解题，不会专门再抽时间去教画线段图解决较难的分数应用题。

在实际教学中，有两点建议：

一、画简单的分数问题线段图是基础

学习分数乘法应用问题时，教材的例题均带有线段图以帮助学生理解。这些线段图，不能仅仅定义为分析该题的一个直观辅助，更不能想当然地认为三言两语学生就能看懂会用，而是需要让学生一步一步理解“量”“率”如何在线段图上表示，理解什么是图上的“对应”，能够根据图编数学问题，根据数学问题画出图。教学简单的分数问题时，就重视这些环节的落实，到了较复杂的分数问题教学，学生就有能力较快地掌握技能，深度理解问题。事实上，画分数应用题线段图的过程，就是不断理解数量关系、理解量率对应的过程。未必要求每位学生都能做对，但通过教学和训练，使学生都能从“量率对应”的角度用线段图表示出全部的或部分的已知信息和问题，学生在此过程中，对分数问题本身就会有更深程度的理解。

二、难度要根据学情一点点推进

本课设计面对的是前期有画图基础的学生，如果学生基础较弱，可以将本节课内容划分成两部分来教学——不变化位置的复杂问题和需要变化的复杂问题，从“强化对应”走向“如何巧妙对应”。画线段图的过程中，分数问题的特征会被一次次强化。学生一旦掌握了在线段图上找“量率对应”的办法，解决分数问题就简单又充满乐趣了。

接触较难的分数问题，本质上就是为了强化锻炼学生寻找对应的“率”与“量”的能力。经历过这样的分析思考过程，学生拿到一般分数问题会有比较强的寻找对应量率的意识，同时在解决这样的问题过程中，学生充分感受到了线段图分析分数问题的优越性，画图的意识和能力将得到大幅提升。