圆锥曲线上四点共圆解决策略

阳友雄

【摘要】圆锥曲线一直是高考的热点问题，本文针对圆锥曲线上的四点共圆问题提出两种解决策略，一是利用共圆定理，二是利用曲线系

【关键词】圆锥曲线；共圆；曲线系

一、圆锥曲线上四点共圆定理

若A，B，C，D为有心圆锥曲线mx2+ny2=1（m≠n）上四个不同的点，且直线AB与CD交于E，AB与CD倾斜角分别为α，β，则A，B，C，D共圆的充要条件是α+β=π.

证明设E（x0，y0），则直线AB参数方程为

x=x0+tcosα，y=y0+tsinα （t为参数），代入mx2+ny2=1，

并整理得（mcos2α+nsin2α）t2+2（mx0cosα+ny0sinα）t+（mx20+ny20-1）=0，

则EA·EB=|t1t2|=mx20+ny20-1mcos2α+nsin2α，

同理得EC·ED=mx20+ny20-1mcos2β+nsin2β.

因为A，B，C，D四点共圆的充要条件是EA·EB=EC·ED，

所以mcos2α+nsin2α=mcos2β+nsin2β，

即m+（n-m）sin2α=m+（n-m）sin2β.

因为m≠n，所以sin2α=sin2β，又α，β∈[0，π），

所以sinα=sinβ.

而直线AB与CD相交，所以α≠β，

由sinα=sinβα+β=π.

综上所述，A，B，C，D四点共圆的充要条件是α+β=π，即AB与CD斜率互为相反数.

二、圆锥曲线上四点共圆定理的应用

例1（2011年全国高考卷2理科第21题）已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A，B两点，P-22，-1关于O的对称点为Q，求证：A，P，B，Q四点共圆.

证明由P点坐标可知点P在椭 圆C′上，则点Q也在椭圆C′上.因为P，O，Q三点共线，故得PQ的方程为y=2x，又AB的方程为y=-2x+1，两直线斜率互为相反数，即两直线倾斜角互补，根据定理可知A，P，B，Q四点共圆.

例2（2016年高考四川卷文科第20题）已知椭圆x24+y2=1，过原点O且斜率为12的直线l交椭圆于不同两点A，B，线段AB中点为M，直线OM与椭圆交于C，D.

求证：MA·MB=MC·MD.

证明设直线l的方程为y=12x+m，代入椭圆方程整理得x2+2mx+（2m2-2）=0，則xA+xB=-2m，因为M为线段AB的中点，所以xM=xA+xB2=-m，故yM=12m，所以M-m，12m，故直线OM的方程为y=-12x，故直线AB与CD的斜率互为相反数.

根据共圆定理得A，B，C，D四点共圆，根据相交弦定理得MA·MB=MC·MD.

三、利用曲线系解决圆锥曲线四点共圆问题

我们利用曲线系解决例1中的问题

（2011年全国高考卷2理科第21题）已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A，B两点，P-22，-1关于O的对称点为Q，求证：A，P，B，Q四点共圆.

证明首先易得直线PQ的方程为y=2x，又直线AB的方程为y=-2x+1，所以直线AB与PQ可合并为（2x+y-1）（2x-y）=0，又椭圆方程为2x2+y2-2=0，

故过A，P，B，Q的二次曲线系方程为（2x+y-1）（2x-y）+λ（2x2+y2-2）=0，

整理得（2λ+2）x2+（λ-1）y2-2x+y-2λ=0，（*）

方程（*）若表示圆，则必有2λ+2=λ-1λ=-3，

此时方程（*）为4x2+4y2+2x-y-6=0，

即x+282+y-182=9964，

所以A，P，B，Q四点在同一个圆x+282+y-182=9964上.