中考几何压轴题突破技巧之分层递进提取基本图形*

广东省广州市番禺区沙湾镇象达中学(511483) 蒋鼎年 张顺和 林翠娟

在数学中考试题中,中考几何压轴题是最能体现学生数学综合素养的题型、是最有区分度的题型、是最难得分的题型,突破中考几何压轴题是成绩高分的关键.几何压轴题的基本特点是图形因多层组合而显得复杂,已知条件因相对分散而难于找到突破口,求解的问题因相对隐性而无法找到思考方向.通过分层递进,提取基本图形,可以有效化复杂为简单,化陌生为熟悉,从而有效突破中考几何压轴题.如何发现并成功提取我们熟悉的基本题型是解决问题的关键,首先可以通过观察图形组合结构而发现并提取其组合的基本图形,其次可以通过已知条件去推理并确定基本图形,再次还可以通过求解问题的逆向推导发现需要的基本图形.这样,便能在复杂繁琐的几何图形中发现并提取出我们常见的、常用的、熟悉的基本图形,这是解决中考几何压轴题的常用的有效技巧.本文以2010年广州市数学中考第24题为例,谈谈笔者在教学中探究该类型题目的心得体会.

一、题目呈现

图1

(2010广东广州,24,14分)如图1,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.[1]

(1)求弦AB的长;

(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;

(3)记△ABC的面积为S,若求△ABC的周长.

二、题目特点分析

本题的已知图形是以垂径定理基本图形为背景,在此圆弧上的动点D带动垂线段DE变化,从而引起⊙D变化,再导致⊙D的外切△ABC不断变化.可以说图形复杂,变幻莫测.

(一)图形因多层组合而显得复杂

从已知图形直接观察可以发现,已知图形包含了垂径定理基本图形、切线长基本图形、内切圆图形、三角形等;另外,图形还隐藏着勾股定理、圆内接四边形等基本图形.图形因为由多层基本图形组合而成而显得复杂,让学生感到困难,无从下手.

(二)已知条件因相对分散而难于找到突破口

首先,已知条件①“点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP”,有近60%学生没有发现这条件得出OP垂直AB,从而可以使用垂径定理;其次,已知条件②“点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C”,有近86%的学生不知道变面上看似分散的两个已知条件①和②,其实是紧密相关的,其中必须利用已知条件①充当基石才能有效利用已知条件②去解决问题:从条件①可以推导出∠AOB的度数,从而推导出∠ADB的度数,为后面的问题求解找到突破口.

(三)求解的问题因相对隐性而无法找到思考方向

如问题(3)“记△ABC的面积为S,若求△ABC的周长”有近94%学生不知道已知的三角形面积跟周长存在什么关系,如何将两组联系在一起解决问题.求解的问题因相对隐性而无法找到思考方向,根本无从下手.

针对此类复杂题型,我们有特殊的高效应对方法.

三、题目突破技巧之方法建议

中考几何压轴题因为起着进一步区分尖子生的作用,所以其图形设计必须综合性大、知识面广、各知识点一定要循序渐进加深并且能环环相扣推导,故而其复杂图形一定隐藏着多个基本图形,而这些基本图形就是我们突破这类难题的“钥匙”,如何快速找到并且找对“钥匙”呢?

(一)通过观察图形组合结构而发现并提取其中组合的基本图形

原图

图2

图3

从原图观察容易发现基本图形:图2和图3,分别对应着垂径定理和三角形内切圆.其中图4还需要进一步添加辅助线能得出我们熟悉的基本图形图5(圆的内接四边形).

图4

图5

图6

(二)通过已知条件去推理并确定基本图形

已知条件“弦AB垂直平分线段OP”能够推理出OP垂直平分弦AB,能知道原图形中必定包含有垂径定理的基本图形(图2);已知条件“以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C”中,隐藏着与圆相切的三条切线,并且两两相交,能知道原图形中必定包含有三角形内切圆的基本图形(图3)

(三)通过求解问题的逆向推导确定需要的基本图形

求解问题(2)“判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由”中,通过逆向分析推导,可以发现若需要判定∠ACB度数,需要先求出∠CAB与∠CBA的度数和,需要知道上者则需要先求出∠ADB的度数,从而可以发现其中隐藏的基本图形(图6).解决图6需要以图5为基石,图5由图4添加辅助线所得,整道题只能靠图2能推导出含具体度数的角,从而通过逆向推导将基本图形:图2,图4,图5和图6串联在一起,环环相扣,逐步加深.

求解问题(3)“记△ABC的面积为S,若求△ABC的周长”中,知道△ABC的面积求其周长,说明△ABC的面积必定跟周长存在着特定的关系,结合基本图形3,容易发现是考查三角形内切圆中的面积S与周长l的关系:

针对中考几何压轴题图形因多层组合而显得复杂,已知条件因相对分散而难于找到突破口,求解的问题因相对隐性而无法找到思考方向的基本特点,首先可以通过观察图形组合结构而发现并提取其组合的基本图形,其次可以通过已知条件去推理并确定基本图形,再次还可以通过求解问题的逆向推导发现需要的基本图形.实验显示,通过分层递进,提取基本图形,此题得分率从2.88分提高到5.64分,提高率95.8%,效果明显.

四、教学建议

提取并利用好基本图形对解决几何压轴题有较大效果.那么在平时的教学上我们老师应该注意些什么才能更有利于学生掌握并利用好基本图形呢?

(一)重视考纲,回归教材,给提取基本图形“把源”

考纲是中考命题的指挥棒,教材是中考试题命制的基石,即使几何压轴题难度大,但其考点都必须是符合考纲要求且源自于教材,所以平时教学要重视考纲并回归教材,特别要从教材源头上把好提取基本图形的意识.上述2010年广州市中考24题就是由人教版九年级上教材(2003版)中的题目改编而成,其中第(1)问是源自于教材P111页例1;第(2)问是源自于教材P88页复习巩固第10题和P98页练习题1综合而成;第(3)问是源自于教材P98页练习题2.教材原题展示:

教材P111页例1:如图7.水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m,其中水面高0.3m.求洁面上有水部分面积(精确到0.01m2).[2]

教材P88页复习巩固第10题:如图8,A,B是⊙O上的两点,∠AOB=120°,C是弧AB的中点,求证四边形OACB是菱形.[3]

教材P98页练习题1:如图9,△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=75°,点O是内心,求∠BOC的度数.[4]

教材P98页练习题2:△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积.(提示:设内心为O,连接OA、OB、OC)[4]

图7

图8

图9

当中涉及到的基本图形都是教材已有定理或能用这些定理推导出来的结论,教材是基本图形的“家”,在平时的教学中,需要引导学生善于在教材上发现基本图形,很多重要的基本图形会在例题或习题中重复出现,若能引导学生有意识地关注基本图形,如此重复呈现将进一步巩固基本图形在学生脑海中的印象,提高做习题时及时发现基本图形的效率.

(二)重视逻辑推理及逆向分析能力的培养,给提取基本图形“提质”

数学是一门严谨的学科,数学知识之间是环环相扣,可以相互推导.逻辑推理及逆向分析是数学中最重要的核心思想之一,也是衡量一个学生数学素养高低的重要指标.[5]中考几何压轴题更是需要逻辑推理及逆向分析,才能更快更准地提取出基本图形,让我们找到解决数学问题的方向.教师在教学生应注意三点.

1、重视定理理解,关注学生对知识的探究、发现及归纳的过程

数学注重理解,而对知识的深刻理解需要学生经历探究、发现及归纳提取的过程.定理是解决数学问题的依据,是逻辑推理的基础,而通过教师适当引导,学生高度参与的小组合作探究模式是学习数学定理较有效的模式.只有对定理理解透彻,才能通过逻辑推理,分析出解题的方向.

2、重视从几何定理提取基本图形的演绎,关注几何定理与对应基本图形的相互变换

图10

每一个几何定理都对应着一个基本图形,能够仅通过定理就描绘出基本图形,也要能够根据基本图形描述出几何定理.例如,看到“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”就能马上想到图10,而看到图10就能马上描述出“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”.

3、重视作业设置,关注从一般到特殊以及从特殊到一般的过程

作业应避免题海战术,设置作业的目的应该是让学生经历巩固知识、总归规律、反思归纳的过程.作业以基本图形为基础,适度拓展延伸,让学生经历从一般到特殊以及从特殊到一般的过程、让学生感受一题多解和多题归一的美妙.可以通过题目变式,多角度展示问题设置,多维度展示思考问题的方向,而这一切都是相关的,都能够通过逻辑推理及逆向分析找到彼此.

(三)重视通性通法教学,给提取基本图形“增效”

通性通法是具有某些规律性和普遍性意义的常规解题模式和常用的数学基本方法.[6]纵观近几年中考试题,注重通性通法,淡化特殊技巧亦中考几何压轴题的基本特点.在今后教学中,应该注意对通性通法的归纳提升,重视在通性通法中提取基本图形.

在教学上,重视考纲及教材,给基本图形“把源”;重视逻辑推理及逆向分析能力的培养,给提取基本图形“提质”;重视通性通法教学,给提取基本图形“增效”.在解题上,通过观察图形组合结构而发现并提取其中组合的基本图形;通过已知条件去推理并确定基本图形;通过求解问题的逆向推导确定需要的基本图形.如此,不但能让学生更深刻理解基本图形,更重要能让学生及时推到发现并灵活运用基本图形,能较有效提高几何压轴题的得分率.