基于4MAT理论优化数学教学*—以“函数的单调性”的教学为例

广西壮族自治区广西师范大学数学与统计学院(541006) 崔加奇

关键字4MAT理论;函数的单调性;脑科学

1 4MAT理论

由麦卡锡博士的团队创立的“4MAT理论”也叫“自然学习设计”,其核心是设计出一种遵循大脑运作的自然规律和学习科学本质的教学模式,使其适用于不同学习风格的学习者,实现因材施教的高质量教学.任何学习都要经历“为什么(Why)—是什么(What)—应怎样(How)—该是否(If)”组成的学习循环圈,在学习循环圈的四个象限里,学习者交替运用左右脑进行学习,教师需要配合其学习方式,设计出合理的教学方式,以达到高效教学和培养学生学习能力的目的.[2]

2 传统教学中存在的问题

传统的教与学具有极端同步性,认为所有的学生具备同样的学习能力,希望他们从同一个学习起点出发,在同样的时间内,按照同样的步速到达同一个终点.这种极端的同步性忽略了学生学习风格的差异.[3]另外,“函数的单调性”是高中重点教学内容,在传统教学中,教师为追求效率只教学生看图,使学生在理性认识上没有提高;同时缺乏单调性概念的形成过程,教学中的图形语言、数学语言、符号语言之间的转换不自然.为了改善这些问题,下面基于4MAT理论对教学进行优化设计.[4]

3 基于4MAT理论优化教学设计

“函数的单调性”是学生在掌握了函数概念后学习的第一个函数性质,它刻画了函数在某区间上的变化趋势,为学习其它函数性质提供了示范,同时它也是后续研究基本初等函数性质的基础.另外,在研究函数的最大(小)值、证明不等式等数学问题时,函数的单调性也有重要作用.因此它在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用.[5]高一学生虽然具备观察分析的能力,但不善于将具体的自然语言转化为抽象的符号语言,因此教学的重点是函数单调性概念的形成过程和定义法证明函数的单调性,难点是函数单调性概念的形成过程.基于4MAT理论,教学分为四个阶段.

3.1 把握学习价值,回答“为什么”问题

这一阶段教师并不讲解知识,而是创设问题情境,使学生利用已有经验展开讨论,寻找新知识的生长点.

问题1观察图1,说一说随着时间的变化,气温是如何变化的?

图1

师生活动:引导学生积极表达自己的看法,与身边的小伙伴交流分享,最后由教师总结:通过图象,我们发现随着自变量t的变化,函数值T也发生变化,函数图象呈上升或下降的趋势.这种上升或下降到趋势刚好反映了本节课要学习的函数的重要性质——单调性.

问题2如何用自然语言来描述这种上升或下降的趋势呢?初中对一次函数、二次函数和反比例函数的上升和下降的趋势是如何表述的呢?

师生活动:通过提问帮助学生回忆:在某个区间上,当函数图象呈上升趋势时,函数值随自变量的值的增大而增大;在某个区间上,当函数图象呈下降趋势时,函数值随自变量的值的增大而减小.而这个规律刚好就是新知识的生长点.

设计依据与意图根据4MAT理论,这一阶段的目标是在学习者和学习内容之间构建意义.学生的学习由右脑的直观感知开始,首先连接(右脑)教师创设的学习情境,将学习内容与经验联系起来;然后根据教师的引导分析直接感知到的内容,关注(左脑)自己和他人的看法,以旁观者的视角客观分析学习体验,进而了解学习的价值以及新知与已有经验的联系.

3.2 透彻掌握概念,回答“是什么”问题

问题3自变量x的增大是指在区间内几个自变量之间的比较?两个?三个?还是无数多个自变量相互比较,使得当函数值随自变量增大而增大时函数图象呈上升趋势?

为了解决这个问题借助几何画板辅助探究活动:

①如果在区间(a,b)上,取两个自变量x1,x2,令x1＜x2,有函数值f(x1)＜f(x2),函数图象是否呈上升趋势?

②如果在区间(a,b)上,取三个自变量x1,x2,x3,令x1＜x2＜x3,有函数值f(x1)＜f(x2)＜f(x3),能否函数图象是否呈上升趋势?

……

③拖动点M取遍区间(a,b)上所有自变量,令x1＜x2＜···＜xn,有函数值f(x1)＜f(x2)＜···＜f(xn),函数图象是否呈上升趋势?

探究结论对区间上所有自变量进行比较,若函数值随自变量增大而增大,函数图象才会呈上升趋势.

师生活动:引导学生根据探究结论总结增函数的概念:一般地,对于给定区间的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

问题4你能否仿照增函数概念的抽象过程,概括总结出减函数的概念?

师生活动:引导学生总结减函数的概念,最后由教师总结单调性与单调区间的概念:如果函数在区间M上是增函数或者减函数,我们就说函数在区间M上具有单调性,区间M称为函数的单调区间.至此,在教师的启发引导下,学生在不知不觉中将自然语言转化为符号语言,经历了完整的概念抽象过程.

设计依据与意图根据4MAT理论,这一阶段的目标是告知并拓宽学生对新知的理解.教师在传授专家知识前,首先引导学生想象(右脑),将理解或者体验的东西图示出来,提前了解新知,为进一步学习做准备;然后认真倾听教师的讲解(左脑),分析和审思知识并讲解(左脑)自己的看法,进而理解什么是函数的单调性.

3.3 积极操练技能,回答“应怎样”问题

通过对概念的理解分析,学生已经能够判断一些函数的单调性并确定单调区间.

问题5请根据函数图象(图2),写出此函数的单调增区间和单调减区间.

图2

教师活动:由于班级中的学生对知识的接受能力不同,教师在练习前提示:单调区间有多个时,不可以写并集,区间用逗号隔开.这样设计可以给接受能力好的学生一个自我思考尝试的机会,同时减轻接受能力差的学生的学习压力.例题讲解结束,以反比例函数为例讲解为什么单调区间有多个时,不可以写并集.

设计依据与意图根据4MAT理论,这一阶段的目标是让学生不断操练新知,使其对新知达到熟练掌握、融会贯通的程度.首先学生通过经典例题操练(左脑)新知,熟练运用所学知识;然后对所接收的知识进行深入加工,扩展(右脑)延伸所学知识,这是创新开始的阶段.

3.4 灵活自如运用,回答“该是否”问题

经过前面三个阶段的学习,让学生说一说如何用图象法判断函数单调性并确定单调区间.

问题6如果很难画出函数图象,如何判断函数的单调性?例如如何判断函数在区间上是否具有单调性?

师生活动:通过分析问题6,教师和学生共同总结利用定义法证明函数单调性的步骤:(1)设元;(2)断号;(3)作差变形;(4)根据定义确定结论.此阶段教学接近尾声,教师要引导学生自己总结和梳理知识,谈一谈学到了什么新的知识以及存在哪些疑惑,最后由教师总结和答疑.

设计依据与意图根据4MAT理论,这一阶段的目标是帮助学生在未来更好使用新知.首先由学生回顾所学内容,并在教师帮助下提炼(左脑)、总结和再次探讨,尝试把学到的东西拓展延伸,教师为学生自主学习提供建议和帮助,引导学生从客观的角度分析、完善和提炼自己的学习活动;然后请学生灵活运用新知并大胆提出质疑,把所学知识表现(右脑)出来.

4 总结与反思

通过“函数的单调性”这节课的学习,学生不仅要掌握相应的基础知识,还要体会概念形成过程中的数形结合思想,能够将直观感受转化为抽象认识,发展数学抽象素养.

大数据时代的到来,要求教育的根本目的应是开发学习者同时灵活运用左右脑加工方式,但显然充斥着符号的数学科学对偏好线性加工(左脑)的学生更友好.基于4MAT理论的教学,使不同学习风格的学生都能参与其中,无论学生善于右脑方式思考还是左脑方式思考,都能在课堂上找到自己参与感,同时课堂讨论和分享使学生之间优势互补,从而使教学更加轻松.当学生不再认为数学难学,在学习的过程中各种能力都会自然得到提升.当然,并不是所有教学环节都可以清晰划分为左(右)脑方式,这需要教师灵活运用并根据实际教学进一步完善.