整体思想在高中数学中的应用

欧阳昱焘

【摘 要】在高中数学学习过程中，做到提高解题效率，确保解题准确性是每个学生应该追求的目标。整体思想是诸多高中数学解题方法中的重要组成部分，深入领略整体思想的内涵，并将整体思想巧用于高中数学解题过程中，是每个高中生的必备技能。本文首先阐述了整体思想的内涵及重要性，其次列举了整体思想在高中数学解题过程中的具体应用，以此优化解题策略。

【关键词】整体思想;高中数学;解题效率;方法

高中数学集抽象性、逻辑性、复杂性于一体，是一门上手难度较大的学科，同时又是很多学科的基础。在解题过程中，如果学生不能掌握好精准有效的解题方法，那么，就会降低解题效率。提高解题准确性，增加解题难度，进而降低了对高中数学的学习兴趣和自信心。整体思想作为诸多高中数学解题方法中的重要组成部分，常常被运用在解题过程中，它能够降低解题难度，帮助学生提高解题效率和解题准确性，达到提高数学成绩的目的。

一、整体思想的内涵和重要性

所谓整体思想，就是指在解题过程中，通过对题目条件的解读和分析，发掘题中各个条件之间的相互联系，再将其中某一部分看作一个整体，利用整体换元、整体代入等方式，通过整体变形、整体构造等手段，将一个看似复杂的题目简单化、抽象的条件具体化，在做题上有一种焕然一新的感觉。整体思想作为一种基础的解题思想，它的运用有利于锻炼学生对条件的整合能力、逻辑分析能力，同时，还可培养学生举一反三的解题思想，从而提高他们的解题效率及准确性，最终达到提高数学成绩的目的。

二、整体思想在高中数学解题中的具体实践和应用

1.整体思想在复数计算中的应用

例题1：虚数z满足z=8，求z-3z-6z-11=0的值。

分析：很多同学在解答此类型题目时的第一念头就是直接求解虚数z，然后再代入原等式。那么，这样的解题过程将会十分复杂，另外题中并没有直接代入的条件和关系式。如果一昧纠结在这种解题思想中，难免会陷入解题误区，或者说是解题黑洞，进入命题人的圈套。因此，倘若将整体思想恰当地运用到解题过程中，先运用公式转化条件，再整体代入原等式，那么，思路立马变得畅通，具体如下：

解：∵z=8∴z-2=0∴（z-2）·（z+2z+4）=0

∵虚数z≠2∴z+2z+4=0恒成立∴z+2z=-4

∴原式=z-3（z+2z）-11=8-3×（-4）-11=9

2.整体思想在三角函数计算中的应用

例题2：求H=sin13+cos14+sin13cos14的值。

分析：此类计算题看似只是一个简单的三角函数求值问题，但动笔计算即可发现sin13和cos14并不在特殊的三角函数集范围内。同时，如果使用配方法或三角函数万能公式解法对原式中各函数逐一进行分解，不可避免需要大量的计算，这样一来就会提高计算过程中的出错率。而此时，若将整体思想运用其中，将不标准的三角函数式化为常见的经典的三角函数标准式，则可大大简化计算过程，进而提高计算效率及准确率，具体如下：

解：假设H=sin13+cos14+sin13cos14

Q=cos13+sin14+cos13sin14

那么可得：H+Q=2+sin27H-Q=-0.5-sin27

两式相加得：H=0.75即所求。

（可见，sin27并非常见的三角函数，但是前面的一正一负在两式相加后正好可以抵消，这道题恰恰体现了整体思想运用过程中化繁为简的作用，是一道经典的例题。）

3.整体思想在几何问题中的应用

例题3：已知某个长方形，周长为30，面积为16，求这个长方形对角线的长度。

分析：不少学生初次解答这类问题时，脑海中第一种解题思路便是先求出长方形两边的长度，进而代入对角线计算式中求出对角线的长度。

计算过程如下：设长方形两边分别为a和b，a≦b，由题意可得2（a+b）=30，ab=16，整理可得一个二元一次方程：a-15a+16=0。

不难看出，以上二元一次方程式的解并非整数，求解起来思路单一，而且在求a值过程中可能会出错，降低解题效率。

不如我们换一种解法，从条件中找出长方形周长、面积、对角线长度三者关系，可化简为以下式子：

对角线长度c====

4.整体思想在求解方程中的应用

例题4：解方程（x+1）/（x+1）+6·（x+1）/（x+1）=5

分析：许多学生在解答此题时，没有注意到等式左边的两项存在互为倒数的关系，因此，直接在左右两项同时乘以（x+1）·（x+1），则x最高次数为3，增加了求解计算时的难度，不但麻烦，而且容易出错。因此，我们可以引入整体换元思想，用m来代替（x+1）/（x+1），于是，原方程可以化简为：m+6/m=

5，求出m=2或m=3，从而求出未知数x的值。

5.整体思想在函数求值中的应用

例题5：已知函数f（x）=x/（1+x），求H=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（1/2）+f（1/3）+f（1/4）的值.

分析：这道题主要考察学生的整体观察能力，f（x）的具体形式已经给出，若只是将1;2;3;4;1/2;1/3;1/4分别都代入到f（x）=x/（1+x）中，那么，就会陷入出题人的圈套。解答本题的关键在于学会分析条件，并从条件中找到规律。例如：f（2）与f（1/2）中，x的取值互为相反数，那么，我们可以尝试通过f（x）=x/（1+x）推导出f（1/x）的具体展开形式。沿着这个思路不难发现，f（x）+f（1/x）=1这个非常重要的规律，然后将其作为一个整体代入到H中，可快速得出答案H=3.5。

例题6：已知（2+x）=a+ax+ax+ax+ax，

求（a+a+a）-（a+a）的值。

分析：这道题是1999年的高考题，命题人着重考察的是整体思想在解题过程中的运用。不少考生直接将（a+a+a）-（a+a）展开，而展开后又没了头绪。利用整体思想，不妨先将该式因式分解，得到（a+a+a）-（a+a）=（a+a+a+a+a）·（a+a+a-a-a），然后将（a+a+a+a+a）与（a+a+a-a-a）看作一个整体，分别将x=1和x=-1代入，则（2+）=a+a+a+a+a;（2-）=a-a+a-a+a，易得到結果为1。

三、总结

综上所述，以上各道例题都体现了整体思想在高中数学中多个方面的应用，主要包括在复数计算中的应用、三角函数化简中的应用、几何问题中的应用、方程求解过程中的应用，以及在函数求值过程中的应用等。另外，整体思想还能运用于数列求和、函数极值等问题的求简。通过上述例题的分析过程，不难看出，高中数学知识所涵盖的内容多、范围广，对逻辑思考能力及动手计算能力准确性的要求高。而整体思想具有极高的应用价值，它能够帮助学生擅于从题目的已知条件中挖掘其内在联系，扫除解题过程中不必要的障碍，找准突破口，进而达到提高解题效率及准确度的目的。

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