有理数乘法法则“负负得正”的五种教学法

沙稼璐

【摘 要】根据义务教育数学课程标准（2011版）7-9年级数与代数部分的教学要求，笔者查阅各版本初中数学教材、初中数学及小学奥数教辅用书中“负负得正”相关的教学设计、教法、解法，提出总计两个大类、五種解决方法，有理数乘法法则。

【关键词】课程分析；教学设计；有理数乘法法则；负负得正

【中图分类号】G633 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2018）21-0008-02

引言

有理数乘法法则作为初中数学课程教育的一大基石，也是初中义务教育数学课程“数与代数”部分的基础。有关于有理数乘法法则教学设计的话题讨论经久不息，其中对于“负负得正”的讨论与设计更是汇集了前人无数智慧并渴望将其解决的。笔者通过查阅，汇总各类初中数学版本教材、初中数学及小学奥数教辅用书中“负负得正”相关的教学设计、教法、解法，提出总计五种解决方法，希望有理数乘法中“负负得正”这一课程难点教学提供一些帮助。

基础解释方法：引入现实问题，建立对应模型。

数学起源于人类早期的生产活动，可以说数学自诞生起便是直接服务于实际生活的一门学科，引入现实问题，建立对应模型是帮助理解、记忆数学原理和规律最常用的方式，下文通过建立类似“1+1=2”对应“一个苹果加一个苹果等于两个苹果”，的现实模型，从现实问题出发引入解释“负负得正”。

导入：乘法法则的初步学习中，人教版通过对“一个人有两个苹果，那么四个人有几个苹果？”一类问题的思考进行引入，再通过引入两个不同的量，人和苹果，定义乘法并得出：

2+2+2+2=2×4，得出：2×4=8个。

负数的学习中，人教版首先通过“比没有苹果还少一个苹果”的思考，“0-1=？”的思考进行引入，再通过依靠建立具有相反意义的模型，如将今天记为0，明天记为1，得出昨天记为-1，从而解释了正数的相反数——负数，此部分，通过类似的方法：引入现实问题，建立对应模型。

方法一：建立两组具有相反意义的量的模型

方法一导入：选取三种生活中的例子，从现实生活中解释负负得正。提出测量类模型，运动类模型，以及“司汤达之问”的负债模型共计三种具有相反意义的量的模型作为参考。

以上三种模型就本质而言均为建立两组具有相反意义的量进行解释，掌握本质后，可以举出众多例子。

测量型模型：我们通过题目来引入讲解：某气象站测得海拔每升高1千米，温度降低0.6度，观察地点的气温是0度；试问：在观察地点以上2千米的地方气温是多少度？观察地点以下3千米的地方气温是多少度？

规定，气温升高为正，气温下降为负观察地点以下为负，观察地点以上为正。

可知：

每升高1千米，海拔+1；温度降低0.6度，温度-0.6

每降低1千米，海拔-1；温度升高0.6度，温度+0.6

①观察地点以上2千米的地方气温是

（-0.6）×（2）=1.2度

海报增加1km温度变化量×海拔增加千米数 =观察地点地方气温

②易得上述问题观察地点以下3千米的地方气温是的算式为：

（-0.6）×（-3）=1.8度

总结：建立两组具有相反意义的量的模型中测量型模型是一种常见的证明方法。说明过程简单易懂。

运动类模型：我们同样通过题目来引入讲解：一个人沿着公路慢跑，一直向东方行走，速度5公里每小时，请问下午4点时，他回头跑到下午1点所在位置需要奔跑的距离是？

规定：选定向东的方向为正方向，向西的方向为负方向。

①依照时间的顺序，表示为：

将来的时间使用正值，表示过去的时间使用负值，

人的初始位置在零点，初始时间也设定为0。

依照方向的顺序，表示为：

向右走为正值，向左走为负值。

②下午1点距离下午4点所在的时间是-3小时

每小时行进距离-5公里（向西）

易知：他距离现在所在位置的距离（ -5 ） ×（-3） = 15 公里

总结：建立两组具有相反意义的量的模型中运动类模型是一种不常见的证明方法。说明过程中往往需要运用到时间概念。时间的概念需要初中物理知识作为支撑，运动类模型在各类教材版本中往往出现于课后习题（如苏教版、人教版、北师大版等），少见于直接证明。

负债模型：

负债模型由数学见M.kelien正式提出并广泛为人接受。我们同样通过题目来引入讲解约定：某人每天支出5元人民币，给定日期4天后，此人负债20元人民币。

①采取记债：支出5人民币记为：-5；

每天支出5人民币，负债4天可以数学表达：（-5）× 4 = - 20。

同样一人每天负债5人民币，那么给定日期4天前，他的财产比给定日期的财产多20人民币。

（-4）：表示4天前；

（-5）：表示每天负债；

②那么4天前，此人经济情况为：（-5）×（-4）=20。

方法二：建立向量模型，引入数轴表示法。

导入：数轴表示法是小学数学课程中的一种基本方法，数轴作为图形更加直观，兼顾复习已学，联系新知识，有承上启下的作用。因此，运用向量模型中的数轴表示法作为一种数学情景的讲解不失为一种好的课程教学办法。

数轴模型：规定数轴的正方向为东，负方向为西.一个人在数轴的原点处，一2看作向西运动2米，（一3）×（一2）看作沿反方向（东）运动2次，结果向东运动了6米，

所以（-3）×（-2）=6.

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数理逻辑解释方法：利用已知数理知识，计算推导证明结论

导入：义务教育数学课程学习中，学生学习依靠反复的运算和实践，将诸如数学中的结合律、分配率等进行了强有力的验实，达到对对应的基础数学计算方法和运算法则的理解。这部分参照国内教材，部分修改与调整，，列举三种经典的针对初中数学学习的数理逻辑解释方法，从具体到抽象（纯数字和理论），通过数学的计算推导，使用数理逻辑解释或者证明“负负得正”。

方法三：使用观察归纳法证明负负得正

导入：归纳法通过对现实的观察、探索、分析、推理、归纳五个部分，获得合情推理得到结果，是人类认识世界最原始也是最基础的方式。有关于“负负得正”的问题，在教学的前期使用归纳法，引入知识同时锻炼学生的探究意识。一般的归纳模型作为不完全归纳，并不完整，此处补充观察归纳方法。

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归纳得出：“当乘数增加1，最后乘积减少2”；“当乘数减少1，最后乘积增加2。”

由此写出右边算式的结论。归纳得出：“负负得正”这一结论。

观察归纳法需要教师一步步详细的指引，朱文芳《初中生函数概念发展的研究》一书中，表明58.6%的初一学生难以使用变化的观点解决数学问题。此类方法出现于部分教材的引入部分。

方法四：使用分配律证明负负得正

导入：据北京1969版的数学教材，运算律分配律作为公理，使用分配率证明负负得正。对于分配率证明负负得正，近年的教材中并不再出现，究其原因：运算律应该产生于运算之后，使用运算律证明运算的法则的做法并不可取。此处对原书中数学推理作相关的修改优化，部分用语文字化以降低理解难度，过程如下：

①使用构造法：

由：3×（-2）+3×（2）

=3×[（-2）+2] = 3 × 0 = 0

所以构造有：3 ×（-2）+ 3 ×（2）= 0

移项有：3 ×（-2）+ 3 ×（2）- [3 ×（2）] = 0 – [3 ×（2）]

所以有：3 ×（-2）= – [3 ×（2）]

②类比以上过程：

由：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）

= （-3） × [（-2）+ 2] = （-3） × 0 = 0

所以有：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）= 0

移项有：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）- [（-3） ×（2）] = 0 – [（-3） ×（2）]

所以有：（—3） ×（-2）= – [（-3） ×（2）]

因为：– [（-3） ×（2）] = 3 × 2

所以最终有：（—3） ×（-2）= 3 × 2

③由此得出结论：使用分配律证明负负得正。可以看出，证明过程通过 “保持”运算律从而得到法则，与正常教学中运算应先规定法则再验证运算律不同。

方法五：使用相反数证明负负得正

导入：据华师版，人教版教材，使用相反数证明负负得正。相反数的定义赋予了其在“负负得正”数学推理中的简便，是最常见的数理逻辑解释方法。

①通过举例特殊情况下：

3 × 2 = 3 + 3 = 6；

（-3） ×2 = （-3） + （-3） = -6；

通过： （-3） ×2 = （-3） + （-3） = -6；

（-2） ×3 = （-2） + （-2） + （-2） = -6；

- （2 ×3） = - 6；

由以上三式有结论：（-3）×2 =（-2） ×3 = - （2 ×3）；

对负负得正的情况： （ -3）×（-2）= -[ 3 ×（-2）] = - [-6] = 6

②一般情况下，m、n均为正整数下，类比特殊情况可以写出：

m × n = m + m + m+ … + m 共计n项

= mn；

（-m） ×n = （-m） +（-m）+ …+ （-m） 共计n项

= -mn；

通过：（-m） ×n = （-m） + （-m）+ …+ （-m） 共计n项

= -mn；

（-n） ×m = （-n） + （-n）+ …+ （-n） 共计m项

= -mn；

- （n ×m） = - mn；

由以上三式有结论：（-m）×n =（-n） ×m = - （n ×m）；

对负负得正的情况： （ -m）×（-n）= -[ m ×（-n）] = - [-mn] = mn

③由此得结论：（ -m）×（-n）= -[ m ×（-n）] = - [-mn] = mn

特殊情况下即为：（ -3）×（-2）= -[ 3 ×（-2）] = - [-6] = 6

语言叙述为：有理数乘法中，一个因数换成它的相反数，所得乘积为原式子乘積的相反数.

以上方法经历了特殊到—般再到特殊，具有具体直观的特点，通过归纳和类比，最终达到使用相反数证明负负得正。

参考文献

[1]龚烈炯.“负负得正”教学再思考[J].中学数学教学参考，2008（8）.

[2]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011版）. 北京 . 北京师范大学出版社.

[3]教育部基础教育课程教材专家工作委员会. 义务教育数学课程标准（2011版）解读. 北京 . 北京师范大学出版社.

[4]马复.义务教育数学课程标准实验教科书（七年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2005.