双体卫星对日定向姿态机动控制

耿远卓，李传江，孙延超，马广富

(哈尔滨工业大学控制科学与工程系，哈尔滨 150001)

0 引 言

随着空间观测任务的多样化和复杂化以及空间观测技术的不断发展，对日观测作为空间科学的重要任务之一受到广泛关注。高精度对日观测是提升人类对太阳认知的基础，其实质就是高精度对日定向控制问题。但是由于传统卫星平台与载荷存在物理连接，卫星平台上安装的飞轮和陀螺转子高速旋转时产生的高频微振动以及太阳帆板的挠性振动通过卫星平台传递给载荷，严重影响载荷的观测精度和稳定度[1]。

为了从根本上提高卫星载荷控制精度，美国Lockheed公司于2002年首次提出“ Disturbance Free Payload (DFP)”卫星的概念，通过将载荷和平台物理隔离，形成载荷舱和平台舱的双体结构，实现了真正意义的振动隔离，为有效提升载荷的控制精度和稳定度奠定了物理基础[2]。文献[3-8]对DFP系统进行了更加深入的研究，通过地面模拟试验验证了DFP隔振性能和姿态机动能力。受DFP设计思想的启发，文献[9-10]提出了双体卫星的概念，并建立了双体卫星运动模型，设计了基于PD控制的姿态稳定控制策略。文献[11]借鉴DFP设计思想，提出了一种六自由度微振动模拟器，推导了其逆动力学模型并设计了PI控制律。文献[12]建立了DFP卫星磁浮机构对两舱作用力和力矩模型，基于PD控制实现了两舱姿态及相对位置控制。文献[1]通过Kane法对六杆球面Stewart平台进行了动力学建模，并通过六个执行器产生控制力进行振动抑制控制，并且考虑了结构参数(阻尼比、刚度系数、质心位置)不确定性。文献[13]提出了非接触Stewart卫星模型。将卫星载荷部分和平台部分用六杆磁浮机构分开，采用Newton-Euler法对卫星整体进行建模，利用混合灵敏度控制方法实现了高精度姿态指向控制。文献[14]建立了DFP卫星两舱之间柔性电缆的动力学模型，分析了柔性电缆对两舱控制精度和隔振性能的影响。但是上述文献仅是针对DFP卫星的姿态稳定控制及相应动力学分析，对于大角度三轴姿态机动问题还没有相关研究结果。

为了解决卫星姿态机动过程中挠性振动问题，众多学者做了相关研究[15-18]，尽管在一定程度上抑制了挠性卫星姿态机动时的挠性振动，但由于物理结构的限制，难以从根本上实现振动隔离。

本文为实现双体卫星高精度对日定向，首先建立对日基准坐标系。针对双体卫星特点，建立双体卫星平台舱和载荷舱姿态运动模型及平动模型。利用传统PD控制实现双体卫星对日定向姿态机动及避碰控制。为进一步提升平台舱对载荷舱的姿态跟踪速度，考虑飞轮动态特性并进行补偿，基于反步法提出一种改进的姿态跟踪控制律。为提升两舱协同控制性能，在PD 控制的基础上，提出一种载荷舱变增益姿态控制策略，考虑了载荷舱姿态机动过程中平台舱姿态跟踪情况，避免了两舱姿态机动速度不匹配而导致的碰撞问题。

1 对日基准及双体卫星模型的建立

1.1 对日基准坐标系的建立

本文假设光学相机沿载荷舱Z轴安装，因此需要将载荷舱Z轴指向太阳。建立对日基准坐标系如下：以地球中心为原点O，以日地连线作为基准轴Zr，以黄道面法向方向作为Yr，根据右手定则得到Xr，如图1所示。控制载荷舱使其本体系与对日基准坐标系O-XrYrZr重合，即可完成对日定向。

1.2 双体卫星结构及工作机理

双体卫星结构示意图如图2所示。载荷舱主要安装望远镜、雷达等有效载荷，太阳帆板、飞轮等振动源全部安装在平台舱。与传统卫星不同，平台与载荷不固连，两者通过八个正交安装的磁浮机构连接在一起。磁浮机构可提供磁力，是载荷舱姿态及两舱相对位置控制的执行机构。卫星需要姿态机动时，磁浮机构产生力作用在载荷舱上，合成姿态控制力矩，驱动载荷舱转动。同时，平台舱以载荷舱姿态信息为期望姿态指令进行姿态跟踪。在两舱姿态机动过程中，磁浮机构的磁钢和线圈会产生相对运动，因此需要进行相对位置控制以避免碰撞。

1.3 姿态运动模型

根据两舱的工作机理，载荷舱要实现主动对日定向，由于对日基准坐标系的角速度很小，将其忽略，得到载荷舱相对对日基准坐标系的姿态误差动力学与运动学方程如式(1)和式(2)所示。

(1)

(2)

平台舱为从动控制，其控制目标为跟踪载荷舱姿态。假设平台舱挠性帆板较小，因此忽略挠性影响。平台舱相对载荷舱姿态误差方程如下

(3)

(4)

1.4 磁浮机构线圈与磁钢的相对位置模型

由于两舱不固连，在姿态机动过程中很可能发生碰撞，即安装在载荷舱上的磁钢与平台舱上的线圈会发生碰撞。所以，首先需要推导出线圈与磁钢的相对位置表达式，为两舱的避碰控制奠定基础。

如图3所示，双体卫星的磁浮机构成对且对称安装，其中B1,B3可提供沿载荷舱Y轴的力，B2,B4可提供沿载荷舱X轴的力，A1,A2,A3,A4可提供沿载荷舱Z轴的力。图4是单个磁浮机构放大图，左侧为线圈，右侧为磁钢，磁钢中为匀强磁场，图中a,b分别表示线圈端点与磁钢中心点。

rab=rsb-rsa=rsp+rpb-rsa

(5)

式中：rsp表示两舱质心相对位置向量，rpb表示载荷舱质心指向磁钢中心点向量，rsa表示平台舱质心指向线圈端点向量。为了分析方便，将各向量表示在载荷舱本体系中，可得

(6)

Rps=AZ(ψps)AY(θps)AX(φps)

(7)

式中：

式中：c和s代表cos和sin。φps,θps和ψps分别表示载荷舱相对平台舱的滚转角、俯仰角和偏航角。由于两舱相对姿态角很小，因此在小角度假设下可得

(8)

对于B1磁浮机构

(9)

(10)

其余磁浮机构线圈与磁钢相对位置的分析与B1相同，因此不再赘述。各磁浮机构线圈与磁钢轴向相对位置表达式如式(11)所示。

(11)

2 双体卫星对日定向控制律设计

2.1 基于PD控制的对日定向控制律设计

鉴于PD控制具有可靠性高、易于工程实现、鲁棒性强、物理意义明确等优点，本节首先设计PD控制律实现载荷舱主动姿态机动及平台舱姿态跟踪。设计两舱姿态控制律如式(12)和式(13)所示。

Tp=-kppJpqpr-kpdJpωpr

(12)

(13)

式中：kpp,kpd为载荷舱PD控制参数，ksp,ksd为平台舱PD控制参数。

采用式(12)传统PD控制律虽然可实现载荷舱主动姿态机动控制，但是当初始姿态偏差较大时，控制力矩较大，载荷舱角加速度较大，平台舱难以跟踪，两舱易发生碰撞。将式(12)控制律进行改进，得到式(14)切换形式的控制律。

Tp_i=

(14)

式中：Tp_i为载荷舱第i(i=1,2,3)轴的控制力矩，Ji为对应的转动惯量对角线元素，ωpr_i和qpr_i分别表示载荷舱相对对日基准坐标系的误差角速度和误差四元数向量部分对应分量，ε为正常数，决定了载荷舱姿态机动速度。sgn表示符号函数。

当qpr_i减小至ε时，切换为PD控制模式。系统稳态性能指标不受ε影响，可以通过增大kpp来降低稳态误差，通过减小ε保证姿态机动平稳。ε的取值应大于姿态稳态精度，以避免控制频繁切换。

2.2 考虑飞轮动态特性的平台舱姿态跟踪控制律设计

在第2.1节中，针对平台舱姿态跟踪问题，设计了PD控制律，较好地实现了平台舱跟随载荷舱转动的目标。但是平台舱姿态控制的执行机构一般为飞轮，由于飞轮动态特性的影响，其带宽远低于磁浮机构，影响了平台舱姿态跟踪效果。本节将对飞轮动态特性进行补偿处理，基于反步法设计姿态控制律，提升平台舱姿态跟踪速度。

考虑飞轮模型为简化的一阶惯性环节，其动态方程为[19]

(15)

式中：tws为飞轮惯性常数。uo，uin分别为飞轮输出力矩与输入指令。利用反步法设计控制律如下。

步骤1: 取Lyapunov函数V1=k(1-qsp 0)，对其求导

(16)

(17)

令uo为虚拟变量，其期望值取为

(18)

(19)

设计飞轮输入指令uin如下，

(20)

定理1. 针对式(3)平台舱姿态跟踪动力学，考虑式(15)飞轮动态特性，设计反步控制律，可实现平台舱对载荷舱姿态的全局渐近跟踪控制。

证. 定理1的证明可由前文步骤1, 步骤2和步骤3的推导得到，这里不再赘述。

2.3 基于变增益PD控制的载荷舱对日定向控制律设计

第2.1节中载荷舱主动对日定向控制过程没有考虑平台舱姿态跟踪效果，为了避免两舱碰撞，必须减小载荷舱控制器参数，牺牲载荷舱姿态机动速度。否则在任务起始时刻平台舱姿态难以快速跟踪。但是姿态机动起始和结束阶段持续时间非常短，姿态机动的大部分过程两舱相对位移和相对姿态很小，较小的载荷舱姿态机动控制参数降低了整个任务过程的姿态机动速度，保守性较强。

因此，本节将对式(12)载荷舱姿态机动控制律进行改进，考虑平台舱姿态跟踪误差，设计变增益对日定向姿态机动控制律，提高两舱协同控制性能。

设计载荷舱变增益姿态控制律如式(21)所示，

(21)

式中：qsp和qsp0为平台舱相对载荷舱的姿态误差四元数向量和标量部分。δ为一很小的正常值，目的是避免当qsp为0时，控制律发生奇异。

定理2. 针对式(1)和式(2)载荷舱姿态模型，在变增益控制律(21)的作用下，当不考虑环境干扰力矩时，载荷舱姿态控制闭环系统是渐近稳定的。

证. 选取Lyapunov函数如下

(22)

将其对时间求导得

(23)

将控制律(21)代入(23)可得

(24)

由LaSalle不变集原理可得

limt→∞ωpr=0, limt→∞qpr=0。

即实现了姿态机动控制任务。

注3. 对于控制律(21)，由于两舱相对姿态很小，因此ωsp和qsp均为小量，式(21)可以近似表示为

(25)

注4. 为保证姿态控制过程过渡平稳，载荷舱仍可采用类似式(14)的切换控制策略，即控制律(25)可修改为如式(26)所示。

Tp_i=

(26)

式中：qpr_i和ωpr_i(i=1,2,3)为载荷舱相对对日基准坐标系的姿态四元数向量部分的分量及角速度分量。

本节给出的变增益控制策略(26)在载荷舱姿态机动过程中考虑了平台舱姿态信息，因此更好地实现两舱协同控制。需要说明的是，平台舱的姿态信息只出现在载荷舱控制系数中，并没有直接在控制律中作为单独一部分，不会将平台舱所受扰动传递给载荷舱，仍然可以将微振动隔离，保证了载荷舱超高精度、超高稳定度的设计初衷。

2.4 两舱避碰控制

通过前述两舱姿态控制策略可实现两舱姿态的协同，但是由于磁浮机构安装于两舱表面，在两舱绕各自质心旋转的过程中，磁浮机构的磁钢和线圈会产生相对运动。因此，为避免磁浮机构碰撞，还需要设计两舱相对位置控制器。

根据式(11)定义变量S=[rps_xrps_yrps_z]T,rps_x,rps_y和rps_z的定义如式(27)所示。

(27)

这里定义的S将作为两舱相对位置控制变量。如此选择S的形式有如下优点：1) 充分利用各传感器测距信息，通过取平均值可以在一定程度上避免测量噪声的影响；2) 保证了只有当两舱绕非共质心轴旋转时才提供相对位置控制力，否则如果两舱绕共质心轴Z转动，则根据式(27)可知此时S=0，无需相对位置控制，只需要平台舱姿态跟踪载荷舱姿态即可。

设计避碰控制律如下

(28)

式中：Fps为八个磁浮机构提供的三轴合力，kpf和kdf为控制系数。

根据图3所示磁浮机构安装位置和卫星结构，得到磁浮机构输出力FB1,FA1,FB2,FA2,FB3,FA3,FB4和FA4，与三轴转动力矩Tp_x,Tp_y,Tp_z及平动力Fps_x,Fps_y,Fps_z的关系如式(29)所示，式中矩阵A为分配矩阵。矩阵A的秩为6，保证了解的存在性。

[Fps_xFps_yFps_zTp_xTp_yTp_z]T=

A[FB1FA1FB2FA2FB3FA3FB4FA4]T

(29)

A=

为了将期望控制力和控制力矩正确分配给八个磁浮机构，使得磁浮机构输出力可以合成期望力和力矩，需要进行控制分配方案设计。本文利用伪逆控制分配方案，即

[FB1FA1FB2FA2FB3FA3FB4FA4]T=

A+[Fps_xFps_yFps_zTp_xTp_yTp_z]T

(30)

式中:A+表示A的伪逆矩阵。

3 仿真分析

双体卫星物理结构参数如下：

载荷舱及平台舱转动惯量矩阵

载荷舱及平台舱质量mpa=100 kg,mser=160 kg。两舱结构参数为L1=0.55 m，L2=0.55 m，L3=0.63 m。磁浮机构线圈和磁钢相对运动范围为(-5 mm,5 mm)。两舱执行机构性能参数如表1所示。

表1 两舱执行机构性能参数Table 1 Parameters of actuators for payload and platform

3.1 基于PD控制的双体卫星对日定向控制

取式(13)、(14)和(28)控制参数如表2所示。

表2 PD控制器参数Table 2 The PD controller parameters

两舱初始姿态均与惯性系重合，环境干扰力矩考虑小幅值(约为10-4N·m)慢变正弦信号。为了更好的展现两舱姿态，在仿真中将姿态四元数转换成了欧拉角进行显示。仿真结果如下：

载荷舱在PD控制律作用下1000 s左右完成了对日定向姿态机动控制，由图 5局部放大图可知，在2000 s之后，载荷舱对日定向误差姿态角达到5×10-3(°)，姿态稳定度达到5×10-7(°/s)。双体卫星的姿态机动速度较为缓慢是由于特殊的卫星结构导致的，两舱无物理连接，这要求平台舱以较快速度跟踪载荷舱姿态，载荷舱姿态角速度稍有变化就很容易发生碰撞。因此，只能牺牲载荷舱姿态机动速度以避免两舱碰撞。

图6为平台舱相对太阳基准坐标系姿态，其姿态精度仅达到0.1°，稳定度为5×10-3(°/s)，仿真曲线中的“毛刺”是由于引入了飞轮干扰力矩所引起的。从图6可以看出，载荷舱的姿态精度和稳定度均远高于平台舱，证明了双体卫星的有效性。从图7可以看出,八个磁浮机构输出力在20 s之前发生饱和，之后均未超过饱和阈值0.02 N。从图8可以看出,磁浮机构的磁钢和线圈相对运动在姿态机动开始阶段最为剧烈，因为姿态机动开始时载荷舱在磁力作用下角加速度较大，而平台舱为从动控制，相比载荷舱控制指令存在延迟，并且飞轮的带宽远远低于磁浮机构的带宽，导致了飞轮力矩响应较慢，在姿态机动开始时刻难以跟踪载荷舱姿态。两舱磁浮机构相对运动在整个对日定向过程中都保持在±5 mm范围内，未发生碰撞。从图9和图10可以看出，在前20 s，由于两舱相对位置期望控制力及载荷舱期望控制力矩较大，超出磁浮机构输出能力，磁浮机构饱和，无法合成期望力及力矩。随着期望控制力和力矩的减小，在20 s之后磁浮机构可以较好地合成期望力和力矩，验证了两舱相对位置和载荷舱姿态协同控制的可行性。

3.2 考虑飞轮动态特性的平台舱姿态跟踪控制

为充分说明补偿飞轮动态特性对系统控制性能的提升，取飞轮机电常数tws=1 s。平台舱控制律参数为k=1,k1=diag(1.22,1.22,1.22),k2=diag(28.75,35.63,35.94)。载荷舱控制参数为kpp=0.256,kpd=1.68,ε=1/120。仿真结果图11～12所示。

从图13可以看出，若不对飞轮动态特性进行补偿，则在仿真开始阶段B1,B2,B3,B4磁浮机构的磁钢与线圈轴向位移相比于图12变化更加剧烈，说明补偿飞轮动态特性有利于提高平台舱姿态跟踪性能。

3.3 载荷舱变增益PD控制

本节针对第2.3节设计的载荷舱变增益PD姿态控制律进行仿真校验。载荷舱控制律的有关参数选择如下

仿真结果如图14所示。

从图14可以看出，载荷舱700 s左右已完成对日定向。磁浮机构磁钢与线圈相对位移没有超过允许阈值。为说明变增益控制策略的优越性，以常规PD控制律对载荷舱姿态控制进行对比仿真。为避免碰撞，姿态机动速度必须限制很小，选择ε=1/92，其它控制参数与式(26)中的相同。仿真结果如图16和图17所示。

从图16可以看出，载荷舱需要1400 s才能实现对日定向机动控制。图17表明，B1,B2,B3，B4磁浮机构的线圈和磁钢轴向运动已接近±5 mm阈值，如果继续增大控制器参数，将导致两舱碰撞，说明载荷舱姿态机动角速度已接近极限值。因此采用常规PD控制律的姿态机动速度远低于采用变增益PD控制律的姿态机动速度，这是由双体卫星结构特性决定的，充分说明了变增益控制律对于双体卫星机动的优势。

4 结 论

本文针对双体卫星对日定向姿态控制问题，推导了双体卫星姿态模型及磁浮机构线圈与磁钢相对位置数学表达式。利用传统PD控制实现了载荷舱主动对日姿态机动、平台舱姿态跟踪的控制目标。在此基础上，进一步提出了补偿平台舱飞轮动态特性的反步控制律，显著提高了平台舱姿态跟踪速度。在传统PD控制基础上，提出一种载荷舱变增益PD控制策略，根据平台舱姿态跟踪情况调整载荷舱姿态机动速度，有效提高了两舱的协同控制性能，进而提高了双体卫星整体的姿态机动速度。