根据已知角α的范围来判定角αn的范围

摘要：本文主要介绍了已知某一个角α所属的区间或象限时，判定角αn 所属的区间或象限的方法。除了介绍根据象限概念判定以外，还介绍了结合图象判定的方法，并且通过比较这种方法，指出结合图象判定法的优越性。

关键词：数学；三角函数；解决问题

三角函数是中学数学中的重要概念之一，且每年的高考题中有关三家函数的问题的比例也比较大。有关三角函数问题中解决函数的定义域、值域的时候经常遇到确定角αn的范围的问题。高中学段经过角的概念推广，进入象限角概念后，已知一个角α的终边所在的象限或范围，求角αn（n是正整数）的终边所在的象限或范围是难点之一。在课堂上教学这个内容的时候，首先利用象限角概念把角α的终边所在的象限或范围经过不等式来表示，然后利用不等式的性质来得关于角αn的不等式，最后判断角αn的终边所在的象限或范围。

下面用实际例子看看这种方法：

【例1】若角α是第二象限的角，則角α2的终边是第几象限的角？

解：∵α是第二象限的角，用象限角定义来表示

∴2kπ+π2<α<2kπ+π，（k∈z）kπ+π4<α2

当k=2m，（m∈z）时，

得2mπ+π4<α2<2mπ+π2（m∈z），从这个式子可以知道，该时角α2是第一象限的角。

当k=2m+1，（m∈z）时：

得2mπ+5π4<α2<2mπ+3π2π，（m∈z），从这个式子可以知道，该时角α2是第三象限的角。

总之说，角α2是第一象限或第三象限的角。

这种方法是比较复杂，且k代替的值分析，变形或变形后的情况来判断角的范围时常见发生错误或不知道k的位置代入什么值。

下面介绍避免这种缺点又直观又容易记住的简便方法。

方法：在直角坐标系上作单位圆（圆心在原点O，半径等于单位长度的圆）把单位圆在第一象限的圆弧n等分（n是角αn的分母表示的数），再第二、三、四象限的圆弧n等分，然后在第一象限内从与x轴最近的扇形开始逆时针依次标上1，2，3，4，再循环一偏，直到填满为止，则已知角第几象限的角该象限的标号所在的扇形区域就是角αn所在范围，根据这个扇形区域可知该角所在的象限，也可以知道具体范围。

下面举例说明：

【例2】已知角α是第四象限的角，问角α2是第几象限的角？

解：如图，把单位圆在第一象限的圆弧2等分（2是角α2的分母表示的数），再将第二、三、四象限的圆弧2等分，从扇形AOB开始逆时针依次标上1，2，3，4，在循环一遍，直到填满为止，则有标号4（已知角α所在的象限数）的扇形区域就是角α2所在范围。

∴角α2是第二或第四象限的角。

下面我们比一比这两种方法：

【例3】已知角α是第三象限的角，问角α3是第几象限的角？

解：第一种方法：

∵角α在第三象限

∴k.360°+180°<α

∴k.120°+60°<α3

当k=3m，（m∈z）时，m.360°+60°<α3

∴角α3是第一象限的角。

当k=3m+1，（m∈z）时，m.360°+180°<α3

∴角α3是第三象限的角。

当k=3m+2，（m∈z）时，m.360°+300°<α3

∴α3是第四象限的角。

总之说，角α3是第一象限或者第三象限或第四象限的角。

第二种方法：如图，把单位圆在第一象限的圆弧3等分（3是α3的分母表示的数），再将第二、三、四象限的圆弧3等分，从扇形AOB开始逆时针依次标上1，2，3，4，再循环一遍，直到填满为止，则有标号3（已知角α所在的象限数）的扇形区域就是角α3所在的范围。

∴α3是第一象限或者第三象限或者第四象限的角。

总之，上述可知这种三角函数题与图形结合分析，又直观又容易。解决实际问题好处多，特别是所求的角所在的范围从图可以直接看出的优越性。

参考文献：

[1]容德基.点拨（高一数学）[M].民族出版社，2001年7月第四版.

[2]夏罗，陈建.思维新概念（高一数学）[M].中国质量出版社，2001年6月第二版.

作者简介：

范思思，辽宁省辽阳市，辽宁省辽阳市灯塔市五星镇中学。