稳健估计在丰都河北大桥变形监测中的应用

徐金鸿，孙迅文

(1.重庆交通大学 土木工程学院，重庆 400074；2.重庆交通大学 研究生院，重庆 400074)

测量过程中存在粗差，若采用最小二乘估计极有可能使得估计值偏离真值，而在变形监测过程中，控制网的精度要求较高，因此，在控制网的平差过程中采用稳健估计可将粗差剔除，从而使得控制网的可靠性提高，更能满足变形监测的需求。丰都河北大桥唯一进城通道，车流量大，在回填过程中回填拆除会对桥体造成影响，易使桥体垮塌，需对该桥进行变形监测。考虑到监测过程中的灵敏性，对控制网的要求较高，采用稳健估计对控制网及布设的监测点进行平差。

1 稳健估计

1.1 概 述

稳健估计是在粗差不可避免的情况下，选择适当的估计方法，使参数的估值尽可能的避免粗差的影响，得到正常模式下的最佳估值[1]。从数理统计角度来说，当要计算某个或某些统计量T的值时，其值是由样本X1，X2,…，Xn所决定的。

由于在获得观测样本X1，X2，…，Xn过程中，可能由于仪器故障或者观测疏忽及记录错误等使得X1，X2，…，Xn中的一个或几个包含了较大的误差，称为过失误差或粗差。一两个数据的错误可能导致整个统计分析结果完全改观。因此，可把具有这种性质的统计量T或者统计方法称为稳健性。传统的统计方法：样本均值、样本方差、最小二乘估计等往往是不具稳健性的，因而在实际应用中也是具有潜在不安全因素的。

稳健估计基本可分为3大类，即M估计，也称为极大似然估计；L估计，也称为排序线性组合估计；R估计，也称为秩估计。但在测量平差中主要采用的估计准则为M估计。

设p(x)为一个定义在(-∞，+∞)上函数，使(-∞，b]非增，在[b，+∞]非降。若统计量Tn=Tn(X1，X2，…，Xn)满足条件[2]

.

(1)

则称Tn为位置的一个M估计。满足上式的Tn可能不唯一，但当p在(-∞，+∞)上处处连续，则Tn必存在。当p′=φ存在时，改写为

φ(Xi-Tn)=0.

(2)

只有当p为凸函数且p在(-∞，+∞)上处处存在时，式(1)和式(2)等价。

在以M估计为准则下计算简单，公式简明，且易于编程实现的选权迭代法在测量平差中广为应用。故在丰都河北大桥变形监测控制网平差中采用的是选权迭代法。

1.2 选权迭代法

(3)

按稳健最小二乘估计原理，参数的解向量为

(4)

(5)

(6)

其中，取k0=1.5,k1=2.5。

由于vi是参数X的函数，只能在X计算后才能获得，故抗差估计只能以迭代形式完成。设X0为参数估值迭代解的初始值，则有

(7)

ε.

(8)

时，停止迭代即得到参数的估值。其中ε为设定的收敛条件。

且参数的权逆阵为

(9)

单位权中误差为

(10)

式中：n0为权重为零的观测值个数。

2 算例及分析

2.1 基准网概况

该基准网为包含3个控制点的单三角网，点位均远离变形监测区域，如图1所示。

图1 基准网形

反映桥轴线方向的位移变化，以桥轴线为X方向建立测量坐标系，C点为已知点其坐标为(1 000,1 000)，且AC边方位角为(124°22′46.13″),并以此为基准建立该桥平面独立监测坐标系。

采用徕卡TS30对基准网进行测边测角，仪器测角精度为0.5″，测距精度为1 mm+1 ppm，共计9个测回。其中，每测回均进行限差检核，半测回归零差及测回互差均为6″。整理后的每测回观测数据如表1和表2所示。基准网采用间接平差方式对每个观测值列立误差方程式进行整体平差，以下为详细平差结果及分析。

分析稳健估计在平差处理过程中的实现机制，并验证其在工程实践应用中是否有效，分别按最小二乘法和稳健估计两种平差方法进行平差，表3为平差结果，其中μ为单位权中误差，x，y分别表示平差后横、纵坐标，而dx为坐标平差值中误差。

从表3中可明显看出两种平差方法所得单位权中误差、平差坐标及平差值中误差的结果完全一致。分析产生该结果的主要原因为观测值数据质量较好，并不存在观测粗差。从数学原理来说，在无粗差情况下，两种方法本无本质区别，因为两者均是在最小二乘准则下进行的平差，故可断言在无粗差情况下，两种方法将获得一致性平差结果。

表1 方向观测值

表2 边长观删值 m

表3 平差结果 m

2.2 监测网概况

监测桥位移变化，在拱圈布设了8个监测点，并与基准网点共同构成参考网。采用方向观测法进行角度、距离测量，共计6个测回，每测回均进行限差检核，半测回归零差及测回互差均为6″，如表4所示为部分整理后的每测回观测数据。

通过每测回观测数据，对参考网进行坐标平差得到每期监测点位的坐标平差值，即可用于该桥的变形分析。

2.2.1 监测网平差结果

同样，对每个观测值列立误差方程式，仍按稳健估计和最小二乘估计对监测网进行整体坐标平差处理，平差结果如表5所示。

从表5可清晰看出，最小二乘估计下的单位权中误差远大于稳健估计下的单位权中误差，且其值远超出合理范围，再从平差值中误差来看，也表现出了异常性，因此可判断某些观测值存在粗差。最小二乘估计不具稳健性，在有粗差的情况下，所得单位权中误差过大，坐标平差值中误差反常，均呈异常状态，因此在该种情况下所得平差结果是不可靠的，严重偏离了参数真实估值的。反之，在稳健估计准则下，尽管观测值存在粗差，但通过对其进行屏蔽或者部分信息使用，依然能够获得较为可靠的平差结果。证实了在粗差存在情况下，稳健估计的确是一种优于最小二乘估计的方法，因此将稳健估计应用到实际的工程平差处理中，是一种能提高平差结果可靠性的有效手段。接下来，为探究稳健估计对观测值的处理情况，现对观测值残差及等价权因子进行分析。

表4 水平角及边长观测值(方向观测法)测站A

觇点第一测回第二测回角度/(° ' ″)边长/m角度/(° ' ″)边长/mC0°00'00″238.824 40°00'00″238.824 9114°13'34.4″190.253 514°13'35.0″190.253 6218°40'40.8″185.533 418°40'41.2″185.534 4319°38'05.1″184.701 719°38'06.0″184.701 7430°29'19.6″179.063 230°29'20.1″179.063 9531°52'40.1″178.891 031°52'40.2″178.891 5632°09'03.5″178.901 832°09'04.3″178.902 5733°29'19.6″178.732 733°29'19.8″178.732 9833°46'04.5″178.828 033°46'05.2″178.828 5

表5 监测点平差结果 m

2.2.2 观测值残差分析

如图2所示，其中黑色曲线表示最小二乘平差后的观测值残差，红色表示稳健估计平差后的观测值残差，横坐标表示按顺序对观测值依次编号。从图可清晰看出两种方法下所得残差基本一致，且在16、28号方向观测值及10号边长观测观测值均出现了较大残差异常。这表明在这几个观测中出现了较大粗差，但因最小二乘估计不具有稳健性，即不对残差异常值进行任何处理，这势必将粗差引入到参数估值中，导致结果严重偏离真值，而稳健估计对粗差具有抵抗性，因此对具有粗差的观测值进行弃用或者部分信息的使用。

图2 观测值残差

2.2.3 等价权因子分析

稳健估计中，等价权因子的大小直接反应了对观测值的使用情况，即等于零的等价权因子所代表的观测值存在粗差，该观测值不参与平差，大于0小于1代表部分利用观测值信息，等于1则表示无粗差。按稳健估计进行平差，如图3所示为各观测值等价权因子情况。

图3 等价权因子

从图3上可清晰反映出16、21、28、30号方向观测值及10号边长观测值权重均为零(图中红色标记)，即这几个观测值并不参与平差，而是通过调整权重方式被弃用，也即达到了抵抗粗差的目的。但也看到一些权因子的范围在(0 ,1)之间，这说明了在粗差存在情况下，是有可能存在损失一些效率的风险的，尽管如此，抗差估计有效地规避了粗差的有害影响，获得了较为可靠的参数估值。

3 结 论

1)从两种方法的平差结果来看，若观测数据不存在粗差，则最小二乘估计和稳健估计在平差结果上将完全一致。

2)若观测值含有粗差，按最小二乘平差法必将导致粗差被引入，使得平差结果不能反映真实值情况，相反，若按稳健估计进行平差，则可有效地抵御粗差影响，将粗差进行限制，合理利用有效信息，屏蔽无效信息，得到较为可靠的、平差结果。

因此，从该工程实践来看，将稳健估计应用到平差处理中，提高平差结果的可靠性，避免粗差影响准确。为变形监测提供了可靠的基准及监测成果。因此，稳健估计是一种能够有效抑制粗差，可提供可靠的平差结果的方法，无论粗差是否存在，

均可获得最优无偏估值。考虑到粗差的存在具有不可预知性，故在大量的观测值中若采用最小二乘法进行平差，将导致平差结果失真的可能性变大。