指向数学建模素养的《有理数乘法（1）》教学

孙丹青

（浙江省杭州市萧山区金惠初级中学，浙江 杭州）

【教学目标】

1.回顾小学所学数的乘法，经历乘法法则的发生过程，掌握有理数的乘法法则，并正确地进行乘法运算。

2.理解几个有理数相乘，积的符号如何确定。理解有理数的倒数定义。

3.经历两个有理数相乘法则的发生、发展过程，让学生学会将实际问题抽象出数学对象，建立数学模型，激发学生的原创性与实践性；初步经历“分析实际问题—建立数学模型—得出数学结果—把结果带入实际问题检验—用实际数据检验模型的合理性”的建模过程。

【教学过程】

环节一：知识回顾，引入新课

【设计】

1.回顾小学乘法运算法则并引导学生回顾有理数的分类：正数、负数、0。

2.引导学生说出两个有理数相乘的所有情形：正数×正数，正数×负数，负数×正数，负数×负数，0×正数，0×负数。

3.提出问题，引出课题。

师生活动：教师引导提出问题，学生独立思考并口述，顺利引出课题。

（设计意图：从熟知的正数×正数的乘法运算到乘法的各种情形运算，激活学生原有的知识结构或经验，为下一步进行有意义的学习做好铺垫；在自然状态下遭遇困难，学生会自发地产生疑问，进而渴望寻求新方法。既降低思维难度，又培养了学生思维的严谨性，同时潜移默化地使学生体会数学知识螺旋式上升的编排。）

环节二：创设情境，初现模型

【设计】

情境引入：已知小红同学在这条东西走向的金惠路上以300米/分的速度骑行，早晨7时恰好到达学校正门口。

【问题1】：2分钟后，她在什么位置？可以用怎样的算式表示？如果规定向东为正，学校正门为原点，如何在数轴上体现这一过程？

【问题2】：2分钟前，她在什么位置？可以用怎样的算式表示？

情境变化：此时小明同学正以300米/分的速度向西骑行，早晨7时也恰好到达学校正门口。

【问题3】：2分钟后，小明在什么位置？可以用怎样的算式表示？

师整理板书，提出问题4

（设计意图：以情境问题为导引，由问题特殊性过渡到一般性的探讨，培养学生数学模型意识，学生可以深刻感受生活中的数学问题。通过列不同的乘法算式，对乘法的概念认识会逐渐清晰，直至在学生头脑中建立起“有理数乘法”的模型，提高学生的数学核心素养。问题串形式一步步地引导学生，进一步激发学生的学习热情，启发学生用类比的方法探索，顺利完成从旧知到新知的迁移。）

【现场】

（PPT动画展示）已知小红同学在这条东西走向的金惠路上以300米/分速度骑行，早晨7时恰好到达学校正门口。

问题1:2分钟后，她在什么位置？

生2:2分钟后，她在距离学校正门东侧600米处。

师：若规定向东为正，学校正门为原点，你能在数轴上表示此时的位置吗？可以用怎样的算式表示呢？

生 3：（上台板演）

300×2=600

师：很好，请问此时小红朝的哪个方向？

生3：向东。

师：如何在数轴上体现呢？如何体现300乘以2的过程呢？

生4：（上台板演并解释）为了表示向东行驶，我用向右的箭头表示。

问题2：2分钟前，她在什么位置？可以用怎样的算式表示？

生5：2分钟前，她应该在-600处，即学校门口西边的600米。算式为（-300）×2=-600。

师：请问这里的-300代表什么意义？

生5：-300代表向西300米。

师：请问2分钟前，小红是朝哪个方向骑行呢？

生5：向西。哦，不，好像也是向东。

师：同学们，你们还认同这位同学列的算式吗？

生 6：老师，我觉得算式应该为 300×（-2）=-600。

师：请你解释一下你的算式中300以及-2的实际意义。

生6:因为此时小红还是向东行驶的，所以300应该是正数，也就是说300代表的每分钟向东行驶300米，-2代表了2分钟前，因为刚才2分钟后，我们用2表示了，所以现在2分钟前就要用-2表示了。

师：你的想法非常好，你能在数轴上体现这个算式吗？

生6（上台板演）

师：你们同意他的画法吗？

生7：我认为箭头应该向右，因为还是向右行驶的。

师修改生6的板书：

300×（-2）=-600

情境变化：此时小明同学正以300米/分的速度向西骑行，早晨7时也恰好到达学校正门口。

问题3：2分钟后，小明在什么位置？

生8：小明在学校正门西边600米处，即-600。

师追问：很好，如何用算式表示？

生 8：2×（-300）=-600

师：请你解释这里的2与-300的实际意义。

生8：因为还是规定向东为正，那么现在小明向西行，所以应该是-300，根据之前的规定，2分钟后应该为正，所以就是+2.

师肯定了这位学生的表达，再次追问：谁能在数轴上体现这一过程？

生9（上台板演）

环节三：合作交流，完善模型

【设计】

1.合作交流：你能求（-300）×（-2）的结果，并用实例解释此算式的意义吗？

2.用实例说明0×负数仍是0。

3.引导学生用自己的语言描述两个有理数相乘的法则，教师做适当补充。

师生活动：问题4由学生小组交流共同完成，教师鼓励小组代表上台汇报解决问题的方法、步骤、结果等，教师做适当补充，师生共同得出问题4的结论。然后引导学生利用已建立的模型解释0×负数仍得0的结论。再由学生观察，通过特例的归纳，鼓励学生自己总结有理数乘法法则。并用自己的语言加以描述，教师完善板书。

（设计意图：初步体验小组合作建立合适数学模型来解决问题的过程，激发学生的原创性与实践性。小组内每位同学都能参与到数学建模的环节中，通过类比、分析、猜想、合作的数学建模历程得出负负得正的合理性。紧接着利用小组以建立好的数学模型进行大展示，锻炼学生的语言组织能力和表达能力。问题4的难度设置要大于个人能力，小于合作能力，因此小组间学生的思维有了碰撞，使他们解决问题的思维过程暴露出来。并在展示思维成果的过程中，深化对负负得正的理解，进一步提高了学生的数学素养）

问题4：你能求（-300）×（-2）的结果，并用实例解释此算式的意义吗？

此问题是以小组交流的形式展开，让学生绘制在事先准备好的白纸上，5分钟后，以小组为单位展示交流成果。

生9：以上是我们小组的讨论结果，其中-2代表2分钟前，-300表示向西行驶，那么这个算式的实际意义就是小明向西行驶，2分钟前位于学校正门东门 600米处，即（-300）×（-2）=600。

生展示完后，师补充板书：（+2）×（+300）=+600

（-2）×（-300）=+600

（-2）×（+300）=-600

（+2）×（-300）=-600

师：同学们，两个有理数相乘除了以上四种情况，还有吗？

生10：还有 0。

生11:0乘以任何数都得0。

师：为什么？

生11：小学里学过。

师：小学里我们只学了0与正数相乘，那0与负数相乘还成立吗？比如0×（-300），你能用合适的生活情境解释下吗？

生12：老师，我们不妨用刚才的问题解释，0代表的就是0分钟后，-300代表每分钟向西行300米，那么0分钟后还是在原地，就是0。

师：这位同学解释得非常好，数学问题从生活中来，又回到生活中去。接下来，请同学们观察以上五个等式的左右两边，符号有什么规律？绝对值又有什么规律？

环节四：指导应用，深化理解

【设计】

1.口答：判断下列各式的符号，并说明理由。

（1）（+12）×（-5）

（2）（-3.5）×2

（5）（-5）+（-3）

2.通过（3）与（4）的结果引出有关倒数的定义。

3.例1 计算：

师生活动：首先，教师出示题组1，要求学生在规定的时间内完成，并组织学生以口答的形式马上进行反馈；接着引导学生类比小学对倒数的理解，完善倒数的定义。而后教师出示题组3，板演解题步骤，规范解法。鼓励学生做题后小结：两个有理数相乘的基本步骤。

4.当堂练习1：

由（4）小题提出计算两个以上的有理数相乘时如何确定积的符号。

师生活动：教师出题组4，学生独立完成，教师巡视，寻找典型问题，引出多个有理数相乘的法则。

（设计意图：题组一从基础出发，让学生能初步体验成功，用学到的知识和经验选择适当的法则进行判断，侧重于考查法则的掌握度。题组三强化学生对法则运用的熟练度，侧重于培养学生从具体练习中观察、辨析的能力。题组4（4）在练习反馈环节中利用“小展示”的设置，一方面是给学生创设表达、展示的“舞台”，另一方面也是课堂重要典型的一些体现，这些体现来源于教师在巡视过程中的发现和整理，通过三位同学的不同解法，达到了思维碰撞，为提出多个有理数相乘法则做铺垫。）

环节五：再探新知，类比深化

【设计】

1.判断下列各式的符号

（-1）×2

（-1）×2×3 （-1）×2×3

（-1）×2×3×4 （-1）×2×（-3）×4

（-1）×2×3×4×5… （-1）×2×（-3）×4×（-5）…

由学生归纳，教师适当补充：

多个不为零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定。

负因数的个数为奇数时，则积为负；

负因数的个数为偶数时，则积为正；

（-1）×（-2）×（-3）×（-4）×0=0

几个有理数相乘,当有一个因数为0时，积为0

2.当堂练习2

计算：（1）（-4）×5×（-0.5）； （2）（-5）×0×

（设计意图：通过巩固性练习，学生在反思总结的过程中实现了对多个有理数相乘的有关知识的深刻建构。)

环节六：归纳小结，反思提高

【设计】

通过本课的探讨学习，你获得了哪些新的知识，你认为有哪些方面的进步？

（设计意图：让学生进行小结，经过学生个人回顾—同桌交流—给大家说说的过程，总结本节课的所做、所听、所感，让知识系统化、合理化。重视学生之间的相互补充，训练学生的归纳和表述能力，提高学生学习的积极性和主动性。）

【课后反思】

1.本节课设置了丰富的问题情境，让学生体会到了有理数乘法法则的发生、发展过程，内容的选择和呈现都关注了现实意义和学生的兴趣，学生经历了有理数乘法法则的过程，模型化的味道较浓，也符合课标对数学建模教学的要求。

2.环节2与环节3的情境中通过诸多问题引导，学生可以深刻感受生活中的数学问题。通过列不同的乘法算式，对乘法的概念认识会逐渐清晰，直至在学生头脑中建立起“有理数乘法”的模型，加之后期的应用巩固，用模型去解释、讨论它在现实问题中的意义，“有理数乘法”建模的教学可以较好地完成。

3.环节1中“知识回顾”的内容是学生有关“小学乘法运算”知识的储备，属于学生的“最近发展区”。学生对这些内容是熟悉的，但并不明晰，将这些内容先进行回顾梳理，是为本节课的教学奠定基础，也可以认为这也是进行“有理数乘法”模型的自然渗透。

4.环节3中的小组交流的创设有利于加深学生对“负负得正”数学本质的认识，数学源于对现实世界的抽象，生活问题可以用“数学表达式”表示，反之，“数学表达式”也可以赋予有意义的生活背景。同时本环节的交流部分，学生分工合作，小组内每位同学都能参与到数学建模的环节中。通过类比、分析、猜想、合作的数学建模历程得出负负得正的合理性。紧接着利用小组已建立好的数学模型进行大展示，锻炼学生的语言组织能力和表达能力。

5.本节课努力将学生的自我评价、同伴评价、教师评价结合在一起，从更全面的角度看待学生。

总之，这节课是以素养立意的课时：用数学的眼光观察生活，发展数学抽象素养；用数学的思维分析生活问题，发展逻辑推理、数学运算素养；用数学的语言表达生活问题，发展数学建模素养。学习知识真正的目的是能运用于生活，能在看不到数学的地方发现数学应用的价值，才是学生数学建模素养的真正形成，教学要不断引入开放性的实际问题，鼓励学生积极思考，让学生从实际问题的解决中获得素养的提升。