高中数学直观性教学策略的必要性研究

张晓斌，许洪斌，盘如春

（1.重庆市教育科学研究院，重庆 400015；2.重庆市彭水中学校，重庆 409600；3.重庆市永川中学校，重庆 402160）

数学直观性教学是指：教学过程中，在实物（客观事物）、模型（图片、图形、有关数学实例）及语言（形象化语言、形体语言）等的刺激作用下，学生从观察、试验开始，通过归纳、抽象在头脑中建立起与数学现象相联系的感知觉、表象，继而上升为数学概念、定理、法则等。它克服了词语脱离事物、理解脱离感知，数学脱离生活的矛盾，帮助学生更好地理解概念、定理，同时实现了从具体思维向抽象思维的顺利过渡。高中学生的思维特点是，抽象思维逐渐占优势，但还需要具体的、直观的感性经验的支持，教师要认清学生这一思维特点，恰当运用直观性教学，使学生更好地理解和掌握抽象的数学理论知识。

一、从当前中学数学课堂的现状来看直观性教学的必要性

当前中学数学课堂的现状是怎样的呢？走进课堂，不难发现：课堂形式单调、教学内容呆板、学生缺乏兴趣、思维僵化等问题，具体原因当然是多方面的，但这与教师的教学缺乏直观性有关。

1.课堂教学过于程序化、严谨化。当前在中学数学的课堂上，教师在教学过程中常将数学问题的解决过程过于严格化、程序化。教师偏重于演绎推理的训练，过分强调形式论证的严密逻辑性，忽视直觉思维的突发性理解与顿悟作用，忽视数学形成过程中生动直观的一面及包含着大量源于直觉思维的结果，从而导致课堂形式呆板、内容结构枯燥、学习思维僵硬。

2.教师对直观性教学认识不足。由于教师对直观性教学的概念、分类、模式、评价及操作策略等缺乏必要的认识，导致教师在教学设计、课堂实施、课后评价等诸多环节，都没有主动地、有目的地应用直观性教学的原理与策略去引导、启发学生的思维，而依然过分地强调学生要“言之有理，言之有据”，有意或无意间掩盖了直觉的光芒，导致学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，而把成功往往归结于逻辑的功劳，对自己的直觉反而察觉不到。

3.学生对学习数学缺少兴趣。在数学教学中，由于教师对发展学生直觉思维能力的认识不足，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥乏味的，同时也对数学学习缺乏取得成功的必要信心，从而逐步丧失了对数学的学习兴趣。

4.学生创造性思维能力培养缺失。由于教师缺乏对直观性教学的足够认识，过分强调形式论证的严密逻辑性，从而一定程度上限制了学生创造性思维能力的发展。因为学生的内在潜能没有被很好地激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，体验不到直觉思维的真正乐趣，长此以往，造成数学教学成效的负迁移，从而给学生创造性思维的健康发展设置了障碍。我们认为，直觉思维与逻辑思维同等重要，在注重发展逻辑思维能力的同时，还应该注重发展观察力、直觉力、想象力，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的健康发展，受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。

二、从数学学科特点来看直观性教学的必要性

数学具有抽象性、严谨性和应用的广泛性三大显著特点，归根结底在于其抽象性。而数学学科就其自身而言，它是一个奇妙的混合体：抽象与直观；特殊个例与一般性理论；图形操作与形式符号推理等。一方面人们赞美数学的高度抽象性，另一方面人们又讨厌其令人难以捉摸的抽象理论，特别对于初学者来说抽象性就如一座座横亘在学生面前的陡峭山峰难以逾越；一方面人们喜爱迷宫般的图形几何游戏，乐于进行一些类似棋类竞技一样的字谜活动，另一方面，数学课程却又是一部分学生最不愿意面对的抽象学科；一方面人类极尽美好的词汇赞美数学家深邃的思想和超人式的智慧，另一方面却又对于数学家严谨的思维方式望而生畏。

怎么看待数学这个奇妙的混合体，特别是采用什么样恰当的方式进行中学数学课程教学？法国当代著名数学家迪多涅（J.Dieudonne）的一段论述，或许对我们有一定的启示。他说，“人们很怕看到数学误入歧途，远离直觉的观念。事实上，数学家的直觉由于长期的习惯往往比感官直觉得出的概念内容要丰富。这就产生一种奇怪的现象，即由感官直觉转移到完全抽象的对象上。最突出的例子是几何学的语言逐步侵入看来与之相距甚远的数学领域。许多数学家似乎从其中发现了他们研究工作的精确指南。数学理论的发展常常由下面两个因素混合而成：一方面是带有极强的个人特色的原始思想，另一方面是许多数学家的集体合作，这些数学家发掘这些数学思想的各种可能的发展，并按照不同的方向推出他们的结论。数学的进展绝不是沿着同样的道路有规则地向前发展。”[1]

根据迪多涅的这段话，可见数学直觉是一种宝贵的原始思想，数学中的个例也是一样。推而广之，学生在纸上的涂涂画画、描描算算，看似简单直接，但是这些可操作的数学活动都是学生寻求解决问题的最实际的途径。数学思想是抽象的，可是怎么发现和找到它们呢？对类似于生活常识般的直觉、图形描画、简单的个例推算等，这些都是我们不可超越的过程。数学教师沿着这个直觉的方向教学，每一句话易于理解，学习者沿着这个直觉的方向，可以探寻困难问题求解的答案。请看下面的案例：

案例1人教A版选修4-5第二讲《证明不等式的基本方法——比较法》中的例2。[2]

对于高中学生来说，证明这样的不等式并没有太大的困难，但是下面的“糖水浓度”的实际情境却让我们生动地看到这个不等式的直观含义。

上面的“直观观察”方法是不是一种数学证明？这是一个颇受争议的教学问题。但是按照我们的观点，这应该也不失为一种逻辑证明，当然它与我们通常意义下的形式证明有一点区别。但是我们并不能够简单地拒绝这样的数学证明。

教材正是通过“糖水加糖，水更甜”这样一个直观的“思维实验”来抽象出上述不等式。这样的直观性教学案例，学生易于接受、易于理解，而且也为解决相关的问题提供了一种思维模式，我们不妨把这种直观称为实验性直观或实物性直观。如学生再遇到下述不等式：已知a，b，c，d为正数，且c＜d，求证学生也会自然地将其理解为两杯不一样甜的糖水倒在一起所抽象出来的。下面一个更加复杂的例证能更加说明问题。

证法2：在n个元素中固定一个元素a，那么从n个元素中取m个元素可分为两种情形：一定不取a，共有种取法；一定取a，共有种取法。两者加起来共个取法。

这样的直观不依靠任何几何图形，仅仅依赖不同组合方式的等价性，或者不同组合程序的等价性。我们不妨把这种直观称为程序性直观。

由此可见，在我们数学的课堂上，利用直观性的教学策略来处理数学问题很有必要。

三、从学生的认知规律来看直观性教学的必要性

教学的直观性，体现了学生的认知规律。人们认识客观世界是从感官接触外界事物开始的，数学教学活动是一种特殊的认识活动，其特殊性主要表现为：学生学习数学的过程是在教师的指导下有目的、有计划、有组织地重复“发现”前人所总结的数学知识（经验）的过程，正如新课程所倡导的“在教学中要引导学生积累数学基本活动经验”[3]。如果教学脱离感知，那么学生的认识将是空中楼阁，很难深刻地掌握知识。教学中运用直观性教学手段的目的就是提供给学生丰富的感性材料，使学生更好地获得理性知识。这符合学生思维发展规律。列宁指出，“从生动的直观到抽象的思维，再从抽象的思维到实践，这就是认识真理”[4]。这就是说认识的第一阶段必然是生动的直观，是学生所能直接感知的具体形式，而不是抽象的概念和词语。

同时，建构主义理论认为：知识并不是通过教师传授灌输给学生，而是由学生依据各自已有的知识和经验，主动地加以建构而获取的。高中数学新课程标准强调学生对知识的主动建构。要实现这一过程，必须要建立在学生对数学理解的基础上。直观恰好可以使知识具体化、形象化，为学生感知、理解和记忆知识创造良好条件，特别是对数学概念的理解更是如此。

案例2关于有理数与无理数的认识问题

小学生学过分数与小数，在小学阶段这部分内容从数学理论上看相对简单。分数可以化为小数，小数也可以化为分数。你认同上面这段话吗？如果你认为上面这段话是正确的话，那么说明你对于小数与分数的概念是十分模糊的。任何分数都可以化为小数，这句话是正确的。可是“小数也可以化为分数”这句话是错误的，可以化为小数，但是不可以化为分数。同样，圆周率π=3.14…通常都是采用无限小数的表达方式，可是π却不存在分数形式。

通常中学教科书在“数的分类”中都偏重于让学生了解“有理数与分数的密切关系”，但是却忽略了“小数与分数的巨大差异”。如何认识无理数呢？认识与理解无理数是一个相当复杂、困难的概念。在中学，它的定义是“外延式”的，尽管给数学的概念下定义，通常不能用“外延式”，但在这里，由于学生受知识积累的限制，用无理数与有理数互补的关系来给出定义，不失为明智之举。也就是说，我们并不能够正面叙述无理数的内涵，我们只能够采用“外延排除”的方式来定义无理数：所有的无限小数称为实数，可以化为分数的实数是有理数，其他的都是无理数。因此有理数与分数的概念是等同的，分数具有直观性，因为它由整数构造出来，而整数是我们的直觉和常识认知的对象（一些动物对于较小整数也具有计数能力）。在这里，我们用对分数的直觉感知，去认识无理数，学生理解起来相对较容易。当然，学生在以后的学习中，会学习到用相对抽象的方式直接定义无理数，如戴德金分割、康托尔的基本序列、无穷小数等[5]，那是后话。

很多人都从分数来类推小数的概念，大多数教科书甚至把小数与分数捆绑在一起，认为小数也可以建立在直观认知层面上。殊不知，无限小数的概念其实非常抽象，不像我们所想象的那样简单直观。有人曾经测试过大学数学专业二、三年级的学生，0.999…是小于1还是等于1呢？大约一半的学生认为0.999…小于1。同时在一个100人组成的中学数学教师培训班上提出这个问题，全班老师异口同声回答0.999…小于1。[6]这说明无限小数是一个相当抽象的概念。

可见，教学需要直观的引领，特别是对于数学中那些比较抽象的概念，但直观也并非是解决一切数学问题的万能钥匙。教师要善于应用直观性教学方式来启迪学生的智慧，激发学生的求知欲。同时，要善于在直观与抽象之间找到一个平衡点，将抽象寓于直观中，在直观中提升抽象，实现学生认知能力的提升。

四、从学习的获得来看直观性教学的必要性

从心理学家特瑞克勒（D.G.Treichler）的研究我们知道：人们的学习有83%是通过视觉获得的，11%是通过听觉获得的。直观性的视觉材料比用词语所代表的抽象概念更容易被感知、掌握，这是因为：一方面，前者显示出多维性，如具体的模型是三维的，而一般的平面图形、函数图像、表格等都是二维的，而词语则是线性的；另一方面，前者更接近于知识的本原，可以激起学生积极的学习心理意向，形成良好的学习动机，从而乐于将新知识纳入原有知识结构。

案例3 在学习人教A版高中数学必修2空间几何体一章时，有这样一道题：

在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1（参见图1）容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③棱A1D1始终与水面EFGH平行；

④当EϵAA1时，AE+BF是定值。

其中正确说法是____。[7].

图1

在不给出直观图（线性思维）、给出直观图（二维思维）、用装有水的长方体水杯演示（三维思维），这三种教学方法的对比中，发现使用第三种教学方法，学生更容易接受和理解该题，且学生的学习积极性也更高。在之后遇到相关问题时，学生在头脑中会重现装有水的杯子，即使没有实体，学生也可以借助空间想象正确处理。由此可见，在教学中，越直观、越多维的数学材料更能引起学生的兴趣，学生的收获也更大。

五、从对直观性教学的理论研究来看直观性教学的必要性

对直观性教学的研究发现，直观性教学常可分为实物直观、图形直观、符号直观、模型直观、模式直观、语言直观等。各类直观间是相互依存、相互转化的关系，如语言直观中又分为自然语言直观与形式语言直观，而形式语言直观又常含有图形语言、符号语言等。

通过以上的分类可以发现，直观性教学是非常适合当前数学课改所倡导的落实学生核心素养的教学方式。直观性教学的实施过程体现出一种由具体到抽象、由特殊到一般、由低级到高级的认识事物的基本过程。其过程的发展是由教师引导过渡到学生独立运用，直至解决实际的数学问题。这一过程起始于对客观事物、实物模型、图形等的观察，经过教师的启发诱导，充分调动学生利用表象进行思维，把握整个问题情境，形成对问题解决途径的判断，然后在此基础上，进行逻辑证明。在这一系列逐级抽象的过程中，无不包含着由观察而导致抽象、概括的过程，从而培养学生的观察能力、联想能力、想象能力、判断能力和实践能力等。

案例4 人教A版选修2－3第1章第3节《“杨辉三角”与二项式系数的性质》。[8]（参见图2）

教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，其用意深远：一方面，因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，如对称性、单调性、离散性等，观察杨辉三角图形，发现其与二项式系数的联系之后，再通过观察杨辉三角数的规律可以直观看出二项式系数的性质。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”。用杨辉三角形来计算，称作“图算”。无疑，用“图算”的方式来理解二项式系数的性质与应用，更能培养学生的各种能力。另一方面，二项式系数组成的数列又是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法：画出它的图像，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想与方法进行思考。这对发现规律，做出判断，并在实践中形成证明思路等都有好处。

上述过程，不仅有利于学生理解本节的核心数学知识，发展其数学应用意识，也有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力。

图2

因此，教师在教学过程中，恰当地应用直观性的教学方式，常可以使抽象的数学知识易于接受和理解，会给学生学习数学带来乐趣，从而激发学生学习数学的兴趣，增进学生的求知欲望，启发学生的创造性思维，这不正是我们教学所要追求的吗？▲