高中数学数形结合解题浅析

彭光辉

【摘要】 数形结合是数学解题中常用的思想方法，其对于数学解题的作用体现在：其信息量较为丰富，可使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，能使很多问题迎刃而解，且解法简捷、事半功倍。二次函数概念虽然简单，但具有丰富的内涵，也是高中数学的一个难点和重点，变换多样、题型丰富，但把握其本质规律下，借助数形结合可以有效地简化其解题过程，同时在引导学生在解题过程中发展和掌握数形结合的解题思维和技能，以适应更多的知识的探究欲学习。

【关键词】 高中数学 数形结合 二次函数

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）05-122-02

一、“数形结合”在高中二次函数的运用的意义

1. 二次函数本质上要求数形结合

二次函数的题型新颖多变，全面考察着学生的数学综合运用能力，学生要解决问题必须充分调动抽象思维、逻辑推理思维、图形解读能力等，其复杂性和多变性要求数形结合化抽象为具体，化繁为简，体现知识的相互联系，纵向的联系和横向的联系。

2. 二次函数的“数形结合”提升学生的思维

知识的教学不应只是着眼于知识本身，而应该包含技能与思维的提升，良好的思维方、法技能、探究问题的工具却可以适用多种知识的学习，而二次函数问题解决过程中涉及空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，更能锻炼学生思维的提升与能力的养成。有助于学生长远发展。

二、“数形结合”在高中二次函数解题运用

运用数形结合思想分析和解决二次函数的问题时，要着眼于引导学生在题型中掌握规律，形成解题的思维习惯，提升对问题探究的技能，并能进行总结与归纳，灵巧地运用。

1. 二次函数“数形结合”训练学生读图思维

二次函数及其性质内容，是教学的重点和难点，读懂图是首要的，要充分理解中文字语言、图像语言、符号语言的含义与作用，构建图形或者关系式构建数学场景与问题，进行“数形结合”，为更复杂的问题探究打下基础。

例题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+ 交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式。

读图而得到的信息：抛物线开口向上，因此a>0，x=- >0；当y=0时，函数的两个解都大于0；又根据已知条件两个角度的大小，可以联系三角形角与边的关系进行思考；当x=0时，即可以知道C点的坐标。

梳理该道题，得到解题的思路：

2. 二次函数“数形结合”训练学生灵活转化的思维

在文字叙述以及图形之间，首先要理清两者之间的关系，发掘图形的已知的有用的信息，将所有的知识点想联系起来，找到问题的突破点，问题即可解决。

例题二：在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的大致图象，下面哪个图是正确的？

在数与形之间转换，建立桥梁的关系，根据已知是条件，使数与形有效地结合，帮助理解题意，找到问题的突破口，使对问题的本质由清晰的目标，而非生搬硬套。

此题要准确判断二次函数与一次函数在a与c都相同时图像的位置关系，运用“数形结合”思维进行解答，首先a和c与零的大小关系不能确定，可以一个个进行假设：

对于A选项，c>0，对称轴为y轴，因此b=0，所以a+c=0，那么明显a<0，且与c互为相反数。那么一次函数则经过一，二，三象限，那么A选项不正确；

同理，结合题目中已知条件，结合图形，进行假设验证，可以得出D选项才是正确的，在此过程中充分展现了将数向形进行转化。使原本抽象的变得具体可观。

3. 二次函数“数形结合”训练学生对图形的加工技能

原本的图形可能满足不了解题的方法，需要进行一定的加工，将问题进行解剖，逐步分解，辅助解题建立解题的思路。

例题三：如图，抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标。

对于第二小问，通过对原本的图形进行一定的加工，可以使问题更为直观，理顺解题的思路：

过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA.

由（1）有OA=1，OC=2.

∴直线MN的解析式为y=-2x+10.

由y=-2x+10，y=x2-x-2，得x1=3y1=4；x2=-4y2=18，（舍去）

∴在第一象限，抛物线上存在点P（3，4），使S△PAC=6.

在添加辅助线之后，固定了动点P，使复杂的问题直观而清晰，使问题迎刃而解。同时启发学生，在遇到此类问题的时候，化动为静，呈现出固定的形态，呈现直观的图形，帮助解决问题。

4.二次函数“数形结合”训练启发学生加强深层问题的转换思维

二次函数尤其考察学生的对知识的综合运用能力，加强知识间的相互联系，训练学生灵活变换能力，更深层的转换思维是跳出表面的思维框架，进行问题探究的形式改变，进行知识的正向迁移。

例题四：设a∈R，关于x的一元二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0有两实根x1、x2，且0

此题一眼之下是一元二次方程求取值范围的问题，第一思维下考虑解出两根x1、x2，再把两根带入0

f（x）=7x2-（a+13）x+a2-a-2

那么问题就可以转化为二次函数f（x）与x轴应有两个交点，而交点的位置一个在（0，1）内、一个在（1，2）内，由图可列出图像应满足的条件并求解：

f（0）>0 f（1）<0 ====>-20

把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从圖形上找出解题的思路。

综上，结合高中二次函数阐述了“数形结合”解题思想，可以将问题直观具体化，化繁为简，教师在具体的题型中要注意培养的思维与能力。

[ 参 考 文 献 ]

[1]沈家志.例谈数形结合思想在高中数学中的运用[J]数理化解题研究，2012（12）：34-34.

[2]吴冲.数形结合在二次函数中的应用[J]初中生辅导，2009（9）：18-20.