考虑轮胎非线性特性的单轨车辆平稳性研究

赵树恩，罗宝良，李玉玲

(重庆交通大学 机电与车辆工程学院 ，重庆 400074)

0 引 言

随着城市化进程的加快，道路拥堵、环境污染、交通安全等问题已成为制约城市发展的难题。轨道交通以其载客量大、高速准点、节约空间及清洁高效等特点，已逐渐成为我国城市公共发展的主流模式。在城市轨道交通系统中，跨座式单轨交通系统(Straddle Type Monorail Transit)是一种具有环境污染小、噪声低、乘坐舒适、转弯半径小、爬坡能力强等优点的城市轨道交通新制式，作为单轨交通核心的跨座式轨道车辆，它通过转向架骑跨在轨道梁上，车体与转向架利用空气弹簧上面的中心支撑连接，借助橡胶充气走行轮与轨道梁顶面摩擦驱动，导向轮和稳定轮与轨道梁侧面接触，从而实现车辆在轨道梁上行走。

跨座式单轨车辆因其独特的转向架结构特点，且大多行驶在距离地面7～19 m、宽度为850 mm的轨道梁上，因此其运行过程中，车辆平稳性及安全性已成为国内外学者关注的热点。C. H. LEE等[1]以大阪跨座式单轨车辆及钢轨为研究对象，对乘坐舒适性进行了试验和计算研究；K. GODA等[2]基于多体动力学理论，建立了车辆动力学模型，分析了轮胎刚度对单轨车辆曲线段行驶时的通过性和运行稳定性影响关系；任利惠等[3]采用线性化轮胎模型，考虑走行轮的径向刚度、侧偏效应和纵向滑转以及导向轮和稳定轮的径向刚度和侧偏效应，建立了跨座式独轨车辆的动力学模型，分析了跨座式独轨车辆通过曲线和轨道梁错接头时轮胎预压力对车辆平稳性的影响；马继兵[4]针对跨座式单轨车辆走行部结构特点，建立了跨座式单轨车辆动力学模型，并对跨座式单轨车辆转向架与轨道梁之间的轮轨相互作用关系进行了研究，分析了车桥耦合振动对车辆的平稳性的影响关系；周君锋[5]对重庆跨座式单轨轨道梁路面谱进行了分析，并采用基于斯佩林平稳性指标对单轨列车的运行平稳性和舒适度进行了评价。以上研究为跨座式单轨车辆运行平稳性研究提供了重要的理论基础，但大多在建立单轨车辆动力学模型时没有考虑橡胶轮胎非线性特性，而橡胶轮胎不同于传统的钢轮，它具有较强的非线性特性，对单轨车辆的运行平稳性有很大的影响。

笔者以跨座式单轨车辆为研究对象，基于轮胎非线性特性和车辆系统动力学理论，建立15自由度的单轨车辆动力学模型，并以美国六级路面谱为轨道梁谱载荷，研究在定曲率半径曲线段不同车速以及变曲率半径曲线段不同车速等工况对跨座式单轨车辆运行平稳性的影响。

1 跨座式单轨车辆结构及模型简化

1.1 跨座式单轨车辆结构特点

跨座式单轨车辆主要总成包括一个车体和两个转向架。每个转向架有4个走行轮、4个导向轮和2个稳定轮。车体与前、后转向架构架之间通过空气弹簧、中心销、中心销座、横向油压减振器、牵引橡胶堆以及横向止挡组成的中央悬挂系统连接。转向架跨坐在PC轨道梁上，牵引电机驱动走行轮旋转，利用安装在转向架两侧的导向轮和稳定轮来实现车辆导向和维持稳定的功能，车辆运行过程中，走行轮始终与轨道梁顶面接触。图1为跨座式单轨车辆拓扑结构。

图1 跨座式单轨车辆拓扑结构Fig. 1 Straddle-type monorail vehicle topology

1.2 车辆动力学模型简化

结合图1的单轨车辆拓扑结构关系，可以将跨座式单轨车辆简化为包含1个车体和2个转向架的多个刚体运动学模型，如图2。若忽略转向架扭曲变形，并假定各车轮与轨道梁接触，则车辆运动时，包含1个车体和2个转向架的浮沉(Z)、横摆(Y)、侧滚(θ)、摇头(φ)、点头(φ)共15个自由度，图2中部分符号的含义及取值如表1。

图2 跨座式单轨车辆模型Fig. 2 Straddle-type monorail vehicle model

符号符号意义及单位数值K1jlk/C1jlk空气弹簧垂向刚度/(N·m-1)/阻尼/(Ns·m-1)1.6×105/4.54×104K2jlk/C2jlk走形轮垂向刚度/(N·m-1)/阻尼/(Ns·m-1)1.2×106/3 740K3jlk/C3jlk导向轮径向刚度/(N·m-1)/阻尼/(Ns·m-1)9.8×105/3 120K4jk/C4jk稳定轮径向刚度/(N·m-1)/阻尼/(Ns·m-1)9.8×105/3 120K5j/C5j空气弹簧横向刚度/(N·m-1)/阻尼/(Ns·m-1)105/1 0002dw走形轮横向距离/m0.42ds二系悬挂横向距离/m2.252Lc车辆定距/m9.62Lg两导向轮轴距/m2.52Lw两走形轮轴距/m1.5h1车体质心至空气弹簧上平面垂向距离/m0.172h2空气弹簧下平面至构架质心垂向距离/m0.685hg导向轮中心至构架质心垂向距离/m0.16hs稳定轮中心至构架质心垂向距离/m1.245ht转向架质心至走形轮轨道面垂向距离/m0hr转向架质心至走形轮轮心垂向距离/m0.503

注：下标l=1、2分别代表每个转向架的前后轮对；j=1、2分别表示每辆车的前后转向架；k=1、2分别表示转向架左右侧。

2 单轨车辆非线性动力学模型

2.1 车辆动力学模型

由图2可知，跨座式单轨车辆车体直接通过二系悬挂与转向架相连，因此车体除了受到自身的重力之外还受到来自二系悬挂的作用力和力矩[6]。车体运动方程如下。

横摆运动：

(1)

浮沉运动：

(2)

侧滚运动：

h1Fsy2

(3)

点头运动：

(4)

摇头运动：

(5)

式中：Fsyj、Fszjk分别为二系悬挂横向力和垂向力；Mc、Jcθ、Jcφ、Jcφ分别为车体质量和对X、Y、Z轴的转动惯量；Sc为车体超高作用力；v、R分别为车辆速度和曲率半径；θ0为超高角。

2.2 转向架动力模型

转向架是连接轮胎和车体的中间构件，因此在其运动的过程中既受到一系悬挂作用力的约束同时又受到二系悬挂作用力的约束，通过分析得到其运动方程如下。

横摆运动(j=1,2)：

(6)

浮沉运动(j=1,2)：

(7)

侧滚运动(j=1,2)：

(8)

点头运动(j=1,2)：

(9)

摇头运动(j=1,2)：

Mwj21+Mwj22

(10)

式中：Fwjlk、Fgjlk、Fsjlk分别为走行轮、导向轮、稳定轮径向力；Fcwjlk、Mwjlk分别为走行轮侧偏力和回正力矩；Mtj、Jtθj、Jtφj、Jtφj分别为转向架质量和对X、Y、Z轴的转动惯量；St为转向架超高作用力。

2.3 曲线段特有附加作用力

跨座式单轨车辆在曲线段行驶与直线段相比，受力更加复杂。主要增加了以下作用力[7-8]：

1)曲线引起的车辆离心力

当列车以速度v通过曲线半径为R的轨道梁时，车体和转向架产生的离心惯性力FR分别为

(11)

2)超高作用

曲线段为平衡离心力的影响一般设置超高角θ0，因而车辆在超高段运行时会产生超高分力：

Si≈-Migθ0

(12)

式中：i=c、t分别为车体和转向架超高作用力。

2.4 二系悬挂作用力模型

单轨车辆运行过程中由于车体和转向架位移不一致会受到来自空气弹簧弹簧力和阻尼力的作用，即为二系悬挂作用力，具体受力如下。

二系悬挂横向力：

(13)

二系悬挂垂向力：

(14)

2.5 轮胎非线性动力学模型

跨座式单轨交通车辆的走行轮、导向轮和稳定轮均为橡胶轮胎，而橡胶轮胎是一个复杂的弹性结构[9]，具有较明显的非线性特性。单轨车辆在曲线段运行过程中，由于轨道梁的导向作用，车辆走行轮会产生一个侧偏角[10]，作用机理如图3。考虑到车辆运行平稳性受导向轮和稳定轮的侧偏特性影响较小，故可将其简化为点接触式线性阻尼模型，走行轮则利用“魔术公式”模型分析其非线性特性对车辆运行的影响。

图3 滚动轮胎在侧向力作用下的变形Fig. 3 Deformation of the tire under the action of lateral force

单轨车辆走行轮的侧偏力和回正立即可利用“魔术公式”式(15)得到：

Y(x)=Dsin{Ctan-1[Bx-E(Bx-tan-1(Bx) )]}

(15)

式中：D因子称为峰值因子，主要影响曲线的峰值；C因子称为形状因子，主要影响曲线的形状；B因子称为刚度系数，使曲线延伸；E因子称为曲率因子，主要用来描述在曲线最大值附近的形状以及峰值的位置。

分别通过表2中的拟合系数拟合得到走行轮胎的侧向力Fcwjlk和回正力矩Mwjlk[11]。

表2 魔术公式拟合系数Table 2 Magic formula fitted coefficients

轮胎的径向力主要由轮胎位置和转向架之间的位移不一致所引起的，由于轮胎在PC轨道梁上运行时，轮胎的接触点和转向架之间存在径向位移差，从而引起轮胎径向力作用，其径向作用力取决于橡胶轮胎的刚度，各个轮胎径向力表述如下。

走行轮径向力：

(16)

导向轮径向力：

(17)

稳定轮径向力：

(18)

式中：下标g、w、s分别表示导向轮、走行轮和稳定轮；qjlk为路面激励。

2.6 PC轨道梁模型

车辆运行过程中认为PC梁为刚体，用轨道路面谱模拟轨道梁对车辆运动过程中的激励。研究表明重庆市跨座式单轨轨道不平度与美国六级路面谱相当，因此笔者采用美国六级路面谱模拟PC路面谱，并用三角级数叠加法将其生成时程样本。美国六级线路轨道高低不平顺功率谱数学表达式为

(19)

式中：Sv(Ω)的单位为cm2/(rad/m);Ω为轨道不平顺的空间角频率，rad/m；k为安全系数，可根据不平顺的要求在0.25～1.0之间选取，一般取0.25；Ωc为截断频率，rad/m;Av为粗糙度常数，cm2/(rad/m)。

采用三角级数叠加法，轨道不平顺的样本可按式(20)进行：

cos(wkx+φk)

(20)

其中：

式中：w(x)为所产生的轨道不平顺序列；S(w(k))为给定的轨道不平顺的功率谱密度函数；wk(k=1,2,…,n)为所考虑频率；w1，wn分别为所考虑频率的上下限；w为频率间隔的带宽；φk为相应的第k个频率的相位，一般可按0～2π间均匀分布取值。

3 跨座式单轨车辆运行平稳性研究

3.1 车辆运行平稳性评价模型

当前国内外还没有建立全面的跨座式单轨车辆系统的运行平稳性评价体系，笔者采用Sperling舒适度指标来评定车辆运行的平稳性，Sperling评价标准计算公式为

(21)

式中：W为平稳性指标；A为车体振动加速度，g；f为振动频率，Hz；F(f)为频率修正系数。

上述平稳性指标只适用于含一个频率成分的振动情形，但实际应用中，车辆振动加速度往往含有许多频率成分。因此，在计算车辆的平稳性指标时，要对实测的车辆振动加速度进行频谱分析，求出每一频率范围内的振幅值，然后对每一频率按式(21)计算各自的平稳性指标Wi，再按式(22)求出全部频率范围内总的平稳性等级，如表3。

(22)

式中：n为整个波段的分组总数。

表3 轨道车辆平稳性评价等级Table 3 Passenger rail vehicle’s stability evaluation level

3.2 定曲率半径不同车速工况下车辆平稳性仿真

以重庆市跨座式单轨车辆为研究对象，在曲率半径为100 m、曲线超高为0.040 8 m的曲线条件下，分别对车速为10、20、30、35、40 km/h等工况进行平稳性分析，结果如图4，并对其进行快速傅立叶变换[12]，得到不同车速下的频域响应曲线如图5。

图4 车身横向加速度随车速变化规律Fig. 4 Variation of vehicle’s horizontal acceleration changing withspeed

图5 不同车速下的加速度功率谱Fig. 5 Acceleration power spectrum at different speeds

图4中3条曲线分别为将走行轮线性化处理、考虑走行轮非线性特性以及实测曲线。由图4可以看出：走行轮轮胎线性力学特性和非线性力学特性模型车体横向加速度随车速的变化有相同的变化趋势，且在低速阶段其数值也基本相同，但当车速较高时考虑轮胎非线性力学特性模型与实测数据更加吻合；随着车速的增加，车身的振动幅值增加，且并非呈线性增长，而是随着车速的增加，变化幅度越大。

由图5可知，车速在10、20、30 km/h等工况下车体横向加速度主频在2 Hz左右变化不是特别明显，在车速为35 km/h的工况下车体横向加速度主频在3 Hz左右，车速为40 km/h的工况下主频在4 Hz左右，明显的看出在高速情况下车体横向加速度主频变化较大。根据GB/T 5599—1985《铁道车辆动力学性能评定和试验鉴定规范》中的相关规定，按Sperling公式进行计算得出当车速为10、20、30、35、40 km/h等工况下的平稳性指标W如表4。

表4 不同工况下车辆运行平稳性指标Table 4 Vehicle running stability index under differentconditions

由表4分析可知，在曲率半径为100 m的小曲率曲线段，车辆运行平稳性随速度的增大而减小，当车速小于35 km/h时平稳性指标很好，基本上感受不到车辆的振动，而当车速大于35 km/h时，人能明显的感受到车体的振动，并稍有不适，应当考虑减速。

3.3 不同曲率工况下跨座式单轨车辆平稳性仿真

为研究不同曲率半径工况条件对跨座式单轨运行平稳性的影响，分别在曲率半径为50～850 m、车速为40、50和60 km/h等工况下对单轨车辆进行平稳性仿真，结果如图6、图7。

图6 质心加速度随曲率变化规律Fig. 6 Variation rule of center of mass acceleration changing withcurvature

图7 平衡性随曲率变化规律Fig. 7 Variation rule of stationarity index changing with curvature

由图6可看出，车体质心振动加速度随车速的增加而增大，随曲率半径的减小而增大，特别是在曲率半径小于400 m时，车体横向振动加速度随曲率半径的减小而迅速增大。由图7可看出平稳性指标整体来说随速度的增大而增大，随曲率半径的增大而减小，当曲率半径小于150 m特别是小于100 m时，在所考虑的速度范围之内乘坐舒适度均较差，应该考虑减速；而当曲率半径大于200 m时，平稳性指标很好，乘客基本上感觉不到车体振动。

需要说明的是，笔者只是针对性的对几种特定工况下跨座式单轨车辆的运行平稳性进行了分析整理，但是在实际工况中不可避免的会遇到其他更加复杂的工况，比如在更加复杂的曲线工况下运行分析，除轨道激励外外界附加的其他形式激励的情况还需进一步的研究。

4 结 论

1)将PC轨道梁视为刚体，考虑橡胶轮胎的非线性侧偏特性，在曲率半径为100 m的小曲率曲线段对不同车速工况下车辆平稳性仿真，结果表明车速小于35 km/h时，其运行平稳性系数小于1，不论是运行品质还是乘坐舒适度都非常好；当车速达到35 km/h时，车辆的运行平稳性系数为1.05，并且随着车速的增大其平稳性系数的变化幅度越大，此时车上乘客能明显地感受到车体振动，平稳性有待改善。

2)在不同曲率半径曲线段对车速分别为40、50、60 km/h等工况下对车辆运行平稳性进行仿真，结果表明单轨车辆运行平稳性随车速的增加而变差，随曲率半径的增大而变好，特别是当曲率半径小于100 m时，单轨车辆的平稳性系数已经超过2.5，此时车上乘客能特别明显地感觉到车体的振动，应该立即控制单轨车辆的运行速度。