无应力状态法在大跨径拱桥施工中的应用

周 银，张雪松，丁艳超

(重庆交通大学 土木工程学院，重庆 400074)

0 引 言

根据无应力状态法，在确定的荷载和边界条件下，只要施工过程中安装上的各个构件与其无应力状态下的构件无应力长度和无应力曲率一致，则施工完成后的成桥状态与目标状态一致[1]。拱桥在设计阶段，其合理的成桥状态已确定，且该状态对应的拱肋无应力线形是唯一确定的。只要保证拱肋节段安装均满足无应力长度和曲率的要求，成拱后的拱肋线形必然与设计的拱肋线形一致。大跨径拱桥按照材料形式主要分为钢桁架拱、钢管混凝土拱、钢箱拱、钢筋混凝土拱等[2]；按照施工工法分为缆索吊装法、悬臂浇筑法、转体施工法等。任何分类类别的大跨径拱桥均采用斜拉扣挂作为拱肋的平衡方式[3]。与斜拉桥不同，拱肋施工时斜拉扣挂的拉索为临时索，非成桥状态的一部分，索的力学状态与成桥状态无直接关系。由于施工阶段扣索索力的分布直接决定拱肋的无应力线形，因而通过计算合理的扣索索力即可达到调整拱肋线形的目的。若通过调整施工阶段的索力，使拱肋的安装满足无应力状态法的要求，那么成拱后的拱肋线形自动与设计状态符合。针对不同拱桥类型及不同的施工工法，怎样通过调整索力使得拱肋满足无应力状态安装是必须解决的问题。

1 基于无应力状态的拱肋节段安装原则

要实现拱肋的无应力状态安装，须知道拱肋每个阶段的无应力长度和曲率，且进行有限元模型计算时，首先有限元的建模线形也应是无应力线形，然后根据实际施工工序进行施工阶段仿真分析。尽管拱桥的施工工法有多种，但拱肋的安装均可分为拱脚、拱身和合龙段3个阶段。只要在这3个阶段实现无应力状态安装，整个拱肋自然满足无应力状态的要求。

1.1 拱脚节段的安装原则

1.1.1 固结拱脚

当施工拱脚当前阶段即对拱脚转角进行固结时，拱脚节段容易满足无应力长度。无应力曲率应通过精确计算立模标高来实现。立模标高的精确计算公式为：

H=H0+Δh0+Δh1

(1)

式中：H为精确的立模参考点标高；H0为无应力状态下拱脚节段立模参考位置的标高；Δh0、Δh1分别为由拱脚节段重量在立模参考点处产生的模板、模板支撑体系的非弹性变形和弹性变形。模板及模板支撑体系自重产生的变形在安装模板的同时已经发生，不计入立模标高的计算式中。

1.1.2 先铰接后固结拱脚

先铰接后固结拱脚主要出现在大跨径钢管拱、钢桁架拱的悬臂拼装或者转体施工工法中。以钢管拱为例，通常情况下，会选择在施工完几个节段后对拱脚上下弦杆焊接嵌补段进行封铰，若在一组合理的索力下使得拱脚上下弦杆端点的位置与无应力状态时尽可能一致，则嵌补段焊接后就可保证拱脚封铰为无应力状态封铰[4]，如图1。

图1 拱脚封铰阶段Fig. 1 Stage of locking hinge point

当拱脚区域刚度无限大时，索力的计算满足非齐次线形方程组[5]：

(2)

式中：[C1]为索力对拱脚上下弦杆端点位移的影响矩阵；Ti为索力；dxi、dzi分别为拱脚上下弦杆端点的水平位移和竖向位移；sxi、szi分别为拱脚上下弦杆端点由自重产生的水平位移和竖向位移。

取dxi=0、dzi=0，即可满足无应力状态封铰，求解式(2)可得到对应的索力。然而实际中，系数矩阵的秩很难恰好等于4，且未知变量索力也不一定恰好等于4，导致求解式(2)变得困难。可将取dxi=0、dzi=0转变为取Ry0=0。在实际中，桁架形式的拱脚区域刚度不可能为无限大，自重和索力的作用使得铰点处的转角包含多个部分。若取铰点处转角为零，上下弦杆端点的dxi、dzi一定偏离目标位置，应选择上下弦杆端点的连线中点为转角参考点，能最大程度满足无应力曲率封铰，此时索力满足式(3)：

(3)

式中：[C1r]为索力对转角的影响矩阵；{Ry0}为拱脚转角参考点的转角，取值为零；{Ay0}为拱脚转角参考点自重产生的转角。

虽然由式(3)求解的索力满足了无应力曲率封铰，但由于自重和索力的共同作用造成三角区域杆件受压，导致拱脚区域发生斜向下的整体刚体平移，拱脚上下弦杆段端点dxi、dzi仍达不到无应力状态的位置。若此时强行焊接嵌补段，误差会传递到整个拱肋并放大，使整体拱轴线均低于目标状态，此问题可通过铰点位置预偏来解决。在满足式(3)的状态下，将转角参考点的位移值反号，即为铰点的预偏移值。在计算模型中，可通过强制位移来模拟铰点的预偏。另一种办法是通过增加铰点三角区域的刚度、缩短上下弦杆的悬臂长度有效减少刚体位移，刚体位移足够小时就可忽略不计。

1.2 拱身节段的安装原则

1.2.1 预制构件的安装

钢管拱、钢桁架拱、钢箱拱由于节段较轻，通常在工厂里按照无应力线形预制，然后在现场通过缆索吊或拱上吊机吊至安装高度，节段之间通过栓接或者焊接方式连接在一起[6]。由于螺栓孔或者焊接位置在预制阶段按照无应力线形定位完成，因此无论是悬臂拼装还是转体施工时拱身的支架拼装，拼接完成后拱身自动满足无应力状态安装的要求。

1.2.2 悬臂浇筑

钢筋混凝土拱桥采用悬臂浇筑施工时，挂篮的立模标高精确计算是保证拱身实现无应力状态安装的前提。现浇构件和预制构件在力学上无区别。挂篮可看作现浇段的制作模板，亦为现浇段安装的支架。挂篮底模的形状对应现浇节段的无应力形状，而前模板的位置对应现浇段的无应力长度，这两种情况容易实现。挂篮参考点的标高对应节段间的安装曲率，应以节段间无应力曲率安装为目标条件进行计算，类似于钢主梁斜拉桥通过主梁切线拼装计算安装线形。拱身每个节段的挂篮立模标高、拱肋的施工阶段模拟应满足切向拼装，以保证下一阶段的激活满足无应力曲率安装的要求。如图2，n-1号节段施工完成后，挂篮前移，施加n号节段湿重，此时变形后的挂篮标高刚好满足n-1号、n号节段实现无应力曲率连接，则在施加n号节段湿重前，挂篮参考点标高即为精确的立模标高。n号节段湿重引起的挂篮参考点标高变化包括拱肋的整体变形ΔH、挂篮局部非弹性变形Δh0和弹性变形Δh1。挂篮的精确立模标高H计算式为：

H=H1+Δh0+Δh1

(4)

式中：H1为无自重的n号节段单元切向拼装激活后对应于挂篮标高参考点位置的标高。

图2 悬臂浇筑示意Fig. 2 Schematic diagram of cast-in-place cantilever method

1.2.3 索力与拱身无应力安装的关系

要实现拱身的无应力安装，与索力无直接关系，只需通过缆索吊或挂篮调整下一阶段安装时的标高即可。施工拱身的索力计算无需一定满足同零位移法或零弯矩法等算法的要求，仅需满足施工阶段中塔偏限制、拱肋应力限制等强制性要求，大大增加了索力求解的可行解区间。

1.3 合龙段的安装原则

拱脚、拱身按照无应力安装原则均实现了无应力状态安装条件下，若再将无应力状态的合龙段安装到位，则整个拱肋均实现了无应力状态安装。不同结构形式的合龙段安装原则不同，分为单梁合龙、桁架合龙、混合合龙3种情况。

1.3.1 单梁合龙

单梁合龙指拱肋合龙段计算模型为单梁模型，常见于钢筋混凝土拱桥或单管式的钢管混凝土拱桥。如图3，要使合龙段按照无应力长度和无应力曲率安装，则在预制的合龙段连接或现浇的合龙段硬化时刻的结构状态下，最大悬臂端点的dx、Ay应为零，且索力满足式(5)：

(5)

式中：[C2]为索力对最大悬臂端点dx、Ry的影响矩阵；sx、Ay为最大悬臂端点自重产生的水平位移和转角位移。

取dx、Ry为零，即可求得满足单梁无应力状态合龙的索力。

图3 单梁合龙示意Fig. 3 Schematic diagram of closuring of single beam

1.3.2 桁架合龙

桁架合龙形式主要出现在钢管混凝土拱或钢桁架拱的合龙段。合龙段是指具有上下弦杆的桁架结构。如图4，在合龙段上下弦杆与拱身栓接或焊接时刻的结构状态下，悬臂端上下弦杆位移dx、Ry均应为零。此时索力满足式(6)：

(6)

式中：[C3]为索力对最大悬臂上下弦杆端点dxi、Ryi的影响矩阵；sxi、Ayi为最大悬臂上下弦杆端点自重产生的水平位移和转角位移，置为零。

图4 桁架合龙示意Fig. 4 Schematic diagram of closuring of truss

1.3.3 混合合龙

混合合龙是大跨径悬臂浇筑拱桥特有的合龙形式。由于跨径的加大，靠近悬臂端的拱肋节段湿重对已完成的拱肋影响较大，施工风险增加。为了解决这一问题，采用悬浇与劲性骨架结合的形式，悬臂浇筑到一定节段后，先合龙劲性骨架，然后在劲性骨架上配合挂篮，完成外包混凝土的浇筑，最后实现外包混凝土的合龙[7]。

混合合龙示意图如图5。混合合龙整个过程经历了两次合龙，且外包混凝土的硬化建立在变形的骨架之上。若不按照无应力状态原则，成拱后的线形与内力均将与一次落架的线形和内力相差较大。劲性骨架一般为桁架结构，且劲性骨架合龙段是与预埋在混凝土里的骨架进行合龙，其合龙形式与桁架合龙形式相同，因此劲性骨架的合龙原则与桁架合龙原则相同。索力计算同式(6)。

图5 混合合龙示意Fig. 5 Schematic diagram of mix closuring

如图6，由于外包混凝土湿重较大，当湿重作用在劲性骨架上后，劲性骨架上下弦杆轴力不同，成拱后骨架内力重分布，形成拱肋二次弯矩。外包混凝土硬化时拱轴线曲率与无应力曲率也不相同。当外包混凝土节段较多时，外包混凝土的轴线逐渐偏离，导致悬臂浇筑拱桥成拱后拱肋线形呈M形。为解决此问题，应在外包混凝土湿重施加阶段进行索力调整，使拱轴线曲率与无应力曲率相同，且上下弦杆轴力相近。调整索力使当前阶段拱轴线的转角Ry=0能同时满足这两个条件。虽然桁架的轴力会使桁架压缩变短，导致外包混凝土的无应力长度不够，但压缩量非常微小，对成拱后拱肋的整体线形基本无影响。这样保证了劲性骨架段混凝土拱肋满足无应力状态安装。

图6 外包混凝土浇筑示意Fig. 6 Schematic diagram of outsourcing concrete pouring

由于施工阶段劲性骨架应力超前于混凝土，成桥后在混凝土的极限应力下，骨架应力不应超限。索力调载计算应满足式(7)、式(8)：

[C2r][T1,T2…]T=Ry-Ay

(7)

(8)

式中：[C2r]为外包混凝土湿重阶段索力对混凝土悬臂端转角Ry的影响矩阵；Ay为自重对混凝土悬臂端产生的转角；[C31]、[C32]为索力对上、下弦杆轴力的影响矩阵；{F1}、{F2}为外包混凝土湿重阶段上下弦杆轴力；{F10}、{F20}为自重对上下弦杆产生的轴力；A为劲性骨架弦杆截面面积；Ec为混凝土弹性模量；Es为劲性骨架弹性模量；[σc]为成桥混凝土许用应力；[σs]为劲性骨架许用应力。

2 计算实例

2.1 500 m级钢管混凝土拱桥

该计算实例为某在建500 m级钢管混凝土拱桥，其净跨径为80.5 m+507 m+80.5 m，为国内首座飞燕式钢管混凝土系杆拱桥。拱肋上设置6组扣索，拱脚先铰接后封铰，合龙段为长1.5 m的上下弦杆，属于桁架合龙。为方便计算，设封铰和合龙在同一阶段进行，简化后的有限元模型如图7。拱身的无应力安装通过MIDAS/civil的切线拼装实现。施工阶段模型分为最大悬臂阶段、封铰-合龙阶段以及拆索阶段。

图7 500 m级钢管混凝土拱桥有限元模型Fig. 7 Finite element model of 500 m scale concrete-filled steel tubular arch bridge

由于前面提出索力计算式均为等式约束，而在实际工程中很难满足严苛的等式条件，可将等式约束转换为向目标值左右微小浮动的不等式约束条件[8]。通过MIDAS/civil中的未知荷载系数法容易得到优化后的索力。最大悬臂阶段的索力应首先满足式(3)，得到拱脚铰点的预抬值，然后在预抬的模型中求解索力同时满足式(3)和式(6)。图8分别记录了一次落架的裸拱自重位移、拱脚不预抬时拆索施工阶段总位移以及拱脚经过预抬后拆索施工阶段总位移。从图8可以看出：最大悬臂索力同时满足式(3)和式(6)进行封铰和合龙，但不进行铰点预抬高，最终的拱肋线形较一次落架整体下移，最大偏差为20 mm，但两者的变形趋势相近；在预抬后同时满足式(3)和式(6)进行封铰和合龙，最终的裸拱线形与一次落架的线形几乎重合，最大偏差为0.7 mm，表明拱脚和合龙段均实现了无应力状态安装。

图8 位移对比Fig. 8 Displacement contrast

2.2 200 m级悬臂浇筑拱桥

该桥为国内某悬臂浇筑-劲性骨架组合拱桥，跨径212 m，上承式。施工阶段拱肋共设14组扣索，劲性骨架为型钢桁架结构，骨架合龙段长23.7 m。外包混凝土分3个阶段浇筑完成，其中外包混凝土合龙段长2 m。有限元模型如图9，拱肋建模线形为设计线形加上恒载、收缩徐变、1/2活载所产生的预拱度，亦即无应力线形。整个模型的施工阶段按顺序分为：现浇拱脚、悬浇拱身、劲性骨架合龙、外包混凝土节段1、外包混凝土2、外包混凝土合龙、松索。劲性骨架合龙前的拱身模拟，通过MIDAS/civil的切线拼装实现无应力状态安装。

图9 200 m级悬臂浇筑拱桥有限元模型Fig. 9 Finite element model of 200 m scale cantilever casting arch bridge

在最大悬臂阶段劲性骨架合龙瞬间，应满足桁架合龙原则，索力满足式(6)。在外包混凝土节段1湿重、外包混凝土节段2湿重以及外包混凝土合龙段湿重阶段均按式(7)进行索力调整并满足式(8)的要求。图10分别记录了一次落架的裸拱自重位移、劲性骨架合龙无应力合龙后对外包混凝湿重土进行调载拆索后裸拱的位移、劲性骨架合龙无应力合龙后不进行调载拆索后裸拱的位移。由图10可得到：若在外包混凝土湿重阶段不进行调载，直接进行混凝土硬化合龙后，拱肋裸拱变形呈M形，与一次落架的线形最大偏差达到60 mm。按照式(7)、式(8)进行调载后，拱肋线形与一次落架的线形基本一致，最大偏差为6 mm，发生在拱顶区域。造成这个偏差的主要原因是桁架内力超前于混凝土，成拱后拱肋自平衡，使拱顶区域线形偏离一次落架线形。事实上，也可通过调载使劲性骨架的轴力为零时硬化外包混凝土，但劲性骨架失去了其存在的意义。综上，悬臂浇筑的混合合龙形式可通过索力的调整尽可能达到无应力状态安装。

图10 混凝土拱肋位移对比Fig. 10 Displacement contrast diagram of concrete arch ribs

3 结 论

在大跨径拱桥的施工过程中引入无应力状态方法，讨论了采用斜拉扣的挂缆索吊装、悬臂浇筑、转体施工等施工工法的拱肋无应力状态安装的实现，并通过两座不同类型的大跨径拱桥计算实例进行了验证，得到以下结论：

1)以无应力状态安装为目标提出的拱脚、拱身以及合龙段安装原则，可实现拱桥无应力状态安装，成拱后线形和内力与设计状态一致。

2)拱脚采用先铰接后固结的方法时，通过索力的调整不能完全实现无应力状态封铰，还应对铰点支撑位置进行预偏。

3)现浇拱桥可通过拱肋节段切线拼装模拟，精确计算挂篮立模标高实现拱肋节段间满足无应力曲率的要求。

4)以无应力状态合龙为目标的扣索索力计算方法结合优化思想，可快速求解实现拱肋无应力状态安装并满足施工阶段其他限制条件的索力。