赤平极射-实体比例投影方法及其应用

唐胜传,冯 登,王俊杰

(1. 招商局重庆交通科研设计院有限公司 山区道路工程与防灾减灾技术国家地方联合工程实验室，重庆 400067； 2. 重庆交通大学 国家内河航道整治工程技术研究中心，重庆 400074； 3. 重庆交通大学 水利水运工程教育部重点实验室，重庆 400074)

0 引 言

岩质边坡的失稳与破坏是工程中的重大灾害之一，对它的破坏机理、破坏类型、稳定性的研究具有很重要的现实意义[1-4]。在边坡的开挖过程中，其结构面在很大程度上会影响着边坡的整体稳定性，许多学者通过理论和相似试验探讨了岩质边坡可能发生的病害及其影响因素、产生原因和形成机理[5-9]。

岩质边坡的稳定性分析常采用定性和定量相结合的方法进行综合分析。定性分析中主要采用赤平极射投影方法[10-11]。随着科研手段的提高，赤平极射投影方法在工程地质测绘和勘探资料分析、岩体结构分析、地下洞室围岩稳定分析、应力分析和空间力系的求解等方面都逐步得到应用[12-16]。

由于赤平极射投影只表示平面、直线的空间方向和它们之间的角距关系，而实体比例投影是在赤平极射投影的基础之上研究直线、平面之间的空间关系的一种图解方法[10-11]。实体比例投影与赤平极射投影相结合，可以通过作图的方法求出结构体在工程岩体中的具体分布位置，它的几何形状、体积和质量；确定滑动方向、滑动面及其面积；也可以用于进行空间共点力系的合成和分解，对结构体的稳定性进行分析计算等[10-11]。

以重庆万盛黑山谷顺层岩质边坡工程为例，运用了赤平极射-实体比例投影方法，并用该方法分析了边坡的稳定性，分析结果与现行规范方法计算结果进行了对比，结果表明该方法在岩质边坡稳定性分析中具有优越性。

1 工程概况

重庆万盛黑山谷某农村道路(全长约2 km)大部分路基位于天然顺层岩质坡体上，在路基开挖施工过程中出现了5处边坡沿岩层层面滑移垮塌的现象，失稳及欠稳定坡体沿路线的长度达1.2 km，约占路线总长的60%。笔者以其中1处滑坡为例进行研究。

1.1 地形地貌

黑山谷滑坡位于道路右侧，坡底为拟建村道，道路高程为856.0 m，滑坡后缘高程880.0 m，相对最大高差约24.0 m；坡脚切割形成高2～5 m、坡度70～85°的陡坎，滑坡体坡面总体坡度约33°。图1为滑坡全貌图。图2为滑坡裂隙贯通图。

图1 滑坡全貌Fig. 1 Overall view of slope

图2 滑坡裂隙贯通Fig. 2 Crack perforation of slope

1.2 地层岩性

根据地质调查可知，滑坡范围内地层主要为第四系全新统土层(Q4)及三叠系大冶组(T1d)。根据《岩土工程勘察规范》对场区内各种岩土类型描述如下：

1)第四系全新统土层(Q4)

素填土(Q4ml)：该层主要分布于道路右侧斜坡地带，其物质来源主要为开挖坡脚的灰岩、页岩碎块石、残坡积堆积体、粉质黏土等组成，其中红黏土约占10%，块碎石约占75%，结构松散。

第四系全新统土层(Q4el+dl)：粉质黏土主要分布于滑坡坡体上及后缘位置，主要为原生粉质黏土(含少量红黏土)。

2)三叠系大冶组(T1d)基岩

灰岩：灰色、微晶结构，主要由碳酸盐组成，钙质胶结，薄～中厚层状构造，偶夹薄层状含泥质白云岩，部分具角砾状及孔洞构造。层面之间可见1层钙质，主要分布于滑坡表层。

页岩：灰绿色、主要由黏土矿物组成，泥质胶结，主要分布于灰岩下部，与灰岩互层，页岩层厚一般约0.5～2.0 m。

1.3 地质构造

滑坡区岩层产状：倾向248°、倾角34°；坡面产状：倾向245°、倾角34°。

在场地基岩露头上调查有两组裂隙。分述如下：

裂隙①(LX1)：倾向205°、倾角58°，延伸大于5 m，裂隙面较平直，间距0.3～1.0 m，张开1～20 mm，泥质半填充；

裂隙②(LX2)：倾向320°、倾角70°，延伸大于5 m，裂隙面较平直，间距0.5～0.8 m，张开15 cm，泥质、碎石半填充。

1.4 岩体结构面参数

查阅周边区域地质资料及现场调查情况，对岩体结构面物理力学参数进行经验取值，如表1。

表1 岩体结构面物理力学参数Table 1 Physic-mechanic parameters of rock structure surface

2 赤平极射-实体比例投影方法

2.1 滑移机制

作为一种将三维空间信息表示在二维空间上简便、直观、形象、综合的定量图解工具，赤平极射投影是研究地质构造的几何形态、几何形变和应力分析等多方面问题的重要方法[10]。

根据岩层产状，坡面产状以及裂隙产状，采用上半球赤平投影法对滑塌体稳定性进行定性分析，边坡的赤平极射投影图如图3。

图3 边坡赤平极射投影Fig. 3 Stereographic projection of slope

2.2 滑移方向

裂隙代表脆性岩石受力所产生的效果。如果对实地观察到的裂隙采取恰当的测量，便有可能推断当时产生裂隙的古应力场的性质，或者至少可以大概地圈定古应力场的可能方向[11]。图4为主应力轴示意图。

图4 主应力轴示意Fig. 4 Sketch of principle stress axes

取裂隙面为一个面，垂直于裂隙及其滑动方向作第2个面，即所谓辅助面，两个平面相互正交。将球面上一切可能的方向分别归入到两对象限中。取决于断层的运动方向，一对象限圈定可能的方向，另一对象限则定义可能的方向。根据边坡的两组裂隙的产状，采用上半球赤平投影法对古应力场进行分析，图5为古应力场的赤平投影图。

图5 古应力场的赤平投影Fig. 5 Stereographic projection of in-suit stress

根据图5中古应力场的赤平极射图的结果分析得到，其最大主应力产状为倾向83°、倾角10°，中间主应力产状为倾向253°、倾角47°，最小主应力产状为倾向354°、倾角80°。根据所得到的主应力产状，可以初步判断滑坡可能的滑移方向。

2.3 滑体体积及滑面面积

实体比例投影是应用正投影(垂直投影)的原理和方法，并与赤平极射投影图相配合，根据实地勘测的结构面产状和分布位置，通过作图，求出结构面的组合交线、组合的平面，以及由组合的平面和直线围成的结构体的几何形状和规模、分布位置和方向等，并且完全变立体表示为平面表示[11]。

在边坡岩体的一条勘测线上，分布在a、b、c3点上测得结构面1、2和坡面产状。根据这些资料，求作由此3条结构面组合切割构成的结构体的实体比例投影，并求出结构体的体积和各个面的面积。

求解方法如下：

1)作结构面的赤平极射投影图

根据所勘测得到的3个面的产状绘制出其赤平极射投影分布图，它们相交于D、K、M3点,联结DO、KO、MO。图6为结构面的赤平极射投影图。

图6 结构面的赤平极射投影Fig. 6 The stereographic projection of structural surface

2)作结构体的实体比例投影图

首先，作一水平面为投影平面，如图6。标出勘测线和结构面的实测点a、b、c，过a、b、c3点分别作与图5中结构面1、结构面2和坡面的走向线的平行线，它们相交于D′、K′、M′3点，构成三角形D′K′M′。然后，过D′、K′、M′3点，分别作与图5中3个面组合交线DO、KO、MO的平行线，三者相交于O′点，D′K′M′O′即为结构体的实体比例投影。图7为结构体的实体比例投影。

图7 结构体的实体比例投影Fig. 7 The entity proportion projection of structure body

这个结构体是一个四面体，根据实体比例投影可以求出它的体积和各个面的面积。

h=D′O′·tanαD=K′O′·tanαK=M′O′·tanαM

式中：ΔD′K′M′为底面三角形DKM的面积，在实体比例投影图上根据作图比例尺直接量出的ΔD′K′M′即为其实际面积；D′O′或K′O′、M′O′的长度由实体比例投影图上根据作图比例尺直接量出，αD、αK、αM为组合交线DO、KO、MO的倾角，可在赤平极射投影图上读出；α1、α2、α2分别为结构面1、结构面2和坡面的倾角。

根据现场勘测数据，ac=6.31 m，bc=9.21 m，则所求的结构体的体积和各个面的面积如下：

结构体的体积：V=214.6 m3

各个面的面积：ΔDKO=28.9 m2

ΔDMO=75.9 m2

ΔMKO=107.8 m2

2.4 稳定系数

应用赤平极射投影和实体比例投影方法[10-11]，对滑移块体进行图解分析，是刚性假定的许多分析计算方法中的一种。它按照刚性假定原理，不考虑块体内部各点的应变，并且认为块体上和滑动面上各种能立即发挥作用的因素将共同作用。因此，根据这个假定，控制块体稳定与否的因素，可以简单的归纳为两个：一个作用于滑动面上的，在滑移方向上的滑动力T；另一个是作用于滑动面上与滑动方向相反的抗滑力S。块体的稳定性就由两者的简单关系来确定。

式中：η为块体的稳定系数；T为抗滑力；S为滑动力。

根据结构面的产状要素以及赤平极射投影分析，该滑坡是双滑面滑坡，双滑面块体的稳定状态是由两个滑动的抗剪强度控制。当它失稳下滑时，每个滑动面都将有一个相应于滑动方向的摩阻抗力和摩阻抗力方向，若再求它们的合力，则可得出两滑动面相应于滑动方向的组合摩阻抗力及其作用方向。根据赤平极射-实体比例投影的原理和方法，参照摩擦圆的原理和方法来求得稳定系数。运用赤平极射投影和实体比例投影方法分析该岩质边坡稳定性时，假定坡体为均质坡体，并未考虑孔隙水压力及地下水的渗流情况。

图8 稳定系数图解Fig. 8 The map of stability coefficient

如图8，赤平极射投影和实体比例投影的结合来求解边坡稳定性。图8中，P1和P2分别为结构面1和结构面2的极点(结构面的法线)，I为结构面1和结构面2的交线。过结构面1的极点P1和I点作一平面为P1I大圆；以P1为中心，φ(等于8°)为半径作一小圆，为结构面1的摩擦圆；摩擦圆的下半圆与P1I大圆相交于R1点，联R1O，为结构面1上相应于滑动方向IO的摩阻抗力的作用方向。过结构面2的极点P2和I点作一平面为P2I大圆；以P2为中心，φ(等于8°)为半径作一小圆，为结构面2的摩擦圆；摩擦圆的上半圆与P2I大圆相交于R2点，联R2O，为结构面2上相应于滑动方向IO的摩阻抗力的作用方向。因此，过R1O和R2O作一平面为R1R2大圆，这个平面就称为组合摩阻抗力作用面，简称摩阻抗力面，它代表了该双滑面块体的稳定系数等于1的联合极限平衡条件。延长IO交R1R2大圆于R点。根据纬向圆的原理和方法，将I、O、R3点沿纬线移至基圆，得L、W、K3点，联结OL、OW、OK。过J点作OL的垂线于K点，KJ交OL于Q点，过Q点作OL的平行线交OJ于G点。

根据结构体的实体比例投影所得，结构面1和结构面2的面积分别为F1和F2，块体的体积为V，而其黏聚力为c，其重度为γ。取OQ按作图比例尺等于块体重力W，过G点在GQ方向上取GM等于F1·c+F2·c，得到块体的稳定系数。

从CAD图解中可以得到TO和KO的长度，求得其稳定系数为0.87。图9为稳定系数的求解流程图。

图9 稳定系数求解流程Fig. 9 Solving process of stability coefficient

3 讨 论

传递系数法是条分法中最古老的一种，其忽略了条间力的影响，只满足滑动土体整体力矩平衡条件，而不满足条块的静力平衡条件。

传递系数法对该滑坡进行分析，将此滑坡划分为5个条块，取条块i(i=1,2…5)进行分析，见图10。

图10 剩余推力法条块划分Fig. 10 Section partition by residual thrust method

依据《地质调查报告》，滑体的重度γ=26 kN/m3，层面间(含泥质)强度参数c=18.3 kPa，φ=8.0°，通过计算，得到滑坡的稳定性系数为0.91，剩余推力为99.17 kN。

通过赤平极射-实体比例投影法与传递系数法所计算的稳定性系数相比较，结果相差不大，说明赤平极射-实体比例投影法所计算的结果对边坡的稳定性计算有一定的参考价值。通过赤平极射投影法，其可以分析出边坡的滑动机制，赤平极射-实体比例投影法可以分析出滑坡的滑动方向、滑面面积和滑体体积，能够为边坡的防护提供更多的参考。

4 结 论

通过以上分析可以得出以下结论：

1)赤平极射投影方法只能对边坡的稳定性进行定性的评价，将赤平极射投影与实体比例投影结合，采用摩擦圆的原理和方法，能够定量地评价和分析岩质边坡的稳定性，可以得到边坡的稳定性系数。

2)赤平极射-实体比例投影法能够分析出边坡的滑动机制、滑动方向、滑面面积和滑体体积等重要特征。

3)利用赤平极射-实体比例投影将三维空间信息表示在二维空间上，能够简便、直观、形象、综合地对边坡进行评价，对类似岩质边坡的稳定性评价和防护提供参考。