一个圆锥曲线性质的推广

安徽省合肥市第一中学 (230601) 偰永锋

文[1]给出了椭圆和双曲线如下共有的性质：

结论4 已知A、B为椭圆E的短轴的两个端点，若过其焦点F的直线AF与椭圆E的另一个交点为C，则直线BC与椭圆E的长轴的交点即为相应准线与长轴的交点.

结论5 已知A、B为椭圆E的短轴的两个端点，其准线与长轴的交点为点M，则过椭圆E的相应焦点的直线AF与直线BM的交点在该椭圆上.

笔者借助几何画板对上面的性质探究时发现对于结论4和5中的A、B不必是短轴顶点，只要是椭圆上关于长轴对称的两点即可，该性质其实是椭圆焦点弦的一个性质，并且这个性质可以推广到双曲线上.对于结论6中的A、B不必是虚轴顶点，只要是虚轴所在直线上关于实轴对称的两点即可.

图1

推广1 如图1，已知A、B为椭圆E上关于长轴对称的两点，点F及直线l为椭圆的焦点及相应的准线，直线AF与椭圆E的另一个交点为C，则直线BC与椭圆E的长轴的交点M即为准线l与长轴的交点.反之也成立.

所以直线BC与椭圆E的长轴的交点M即为准线l与长轴的交点.

图2

推广2 如图2，已知A、B为双曲线E上关于实轴对称的两点，点F及直线l为双曲线的焦点及相应的准线，直线AF与双曲线E的另一个交点为C，则直线BC与双曲线E的实轴的交点M即为准线l与实轴的交点.反之也成立.

证明过程与推广1类似，此处从略.

图3