浅谈中学数学教学中的德育功能

广东省广州市第七中学 (510080) 陈世明

十九大报告指出，要落实立德树人的根本任务，“才者，德之资也；德者，才之帅也”．教育部最新(2017年8月17日)发布的《中小学德育工作指南》中又指出：“充分发挥课堂教学的主渠道作用，将中小学德育内容细化落实到各学科课程的教学目标之中，融入渗透到教育教学全过程”．“严格落实德育过程．按照义务教育、普通高中课程方案和标准，上好道德与法治、思想政治课，落实课时，不得减少课时或挪作它用”．“发挥其它课程德育功能．要根据不同年级和不同课程的特点，充分挖掘各门课程蕴含的德育资源，将德育内容有机融入到各门课程教学中”．“数学、科学、物理、化学、生物等课要加强对学生科学精神、科学方法、科学态度、科学探究能力和逻辑思维能力的培养，促进学生树立勇于创新、求真求实的思想品质”．在中学数学教学中如何挖掘、渗透德育功能，是当今数学教学中值得研究的一个课题，本文对此做初步探讨，敬请各位专家指教！

1．在定理教学中培养学生求真求实的思想品质

众所周知，逻辑性、严谨性、抽象性是数学学科的三大特征．为了降低学习难度，新课程中对许多定理的证明不作要求，然而，我们在教学中发现，许多老师在教学此类定理时，不仅既不讲此类定理的证明也不探究此类定理的生成过程，而且对此类定理为真所必要的说明也只字不提，只是将此类定理中的一些关键字词抽出来“一填了之”，然后就是大规模的定理应用(笔者所在区的一次区公开课上，授课老师就是这样处理的)．事实上，按新课程标准，对此类定理不要求证明，并不等于不作说明，若对此类定理为真所必要的说明也没有了，那么数学就变成了一门不讲理的学科了，这样的数学教学不仅失去了对学生求真求实的思想品质的培养良机，而且也是十分危险的！“直线与平面平行的判定定理”是空间直线与平面的位置关系的第一个定理，新课标教材对这一定理的证明不作要求，笔者在教学这一定理时是这样处理的：

师：要判定直线a与平面α平行，只要判定——

生：直线a与平面α没有公共点．

师：那如何判定直线a与平面α没有公共点呢？(学生一脸茫然，不知所措！大约1分钟后)

师：不好办吧！请同学们回忆一下，我们已经知道直线a与“α”一定是没有公共点的？(大约1分钟后)

生1：直线a与和它异面的直线b一定是没有公共点的或直线a与和它平行的直线b也一定是没有公共点的！

师：很好！这样一来，我们不妨大胆的来猜一猜：若直线a与平面α内的一条直线b异面，能否推出直线a与平面α没有公共点？

生(部分)：能吧？

生(部分)：不能！

师：生2你来说一说为什么不能？

图1

生2：这很简单，举一个反例就成了！如图1，a与b是异面直线，但a与α有公共点．

师：真妙！要否定一个结论，只要举一个反例就成了．同学们清楚了吗？

生：清楚了！

师：若直线a与平面α内的一条直线b平行呢？又能否推出直线a与平面α没有公共点？(巡堂发现：同学们在画各种图形，也想举一个反例来否定上述结论，但均没有成功，大约2分钟后)

生：能！(很肯定的)

师：为什么？

生：没有找到反例！

师：没有找到反例就能说明直线a与平面α没有公共点？假若那样的反例大家都没有找到呢？

生：是啊！

师：因此，要肯定一个结论，一定要说明理由才行！生3，你来说说理由看？

图2

生3：还没想好！(其余同学在积极思考)

师：如图2，由a∥b，可推出什么结论？

生3：过a,b可确定一个平面β．

师：很好!大家看，在确定了平面β后，直线a与平面α就“天各一方”(学生大笑)！但它们并不“孤单”(学生又笑)，因为α与β有一条公共直线b相连，真所谓“天各一方——一线牵”啊！这样一来，要说明直线a与平面α没有公共点，只要说明——

生：直线a与直线b没有公共点即可！而a∥b，所以直线a与直线b没有公共点，从而直线a与平面α没有公共点，故a∥α．

师：太好了！这样一来，我们就得到了一个什么结论？

生：如果直线a与平面α内的一条直线b平行，那么直线a与平面α平行．

图3

师：如图3，也能推出a∥α吗？

生(恍然大悟的)：不能！

师：没想到吧！前述结论应修改为——

生：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．

师：很好！这就是我们今天要学的“直线与平面平行的判定定理”(下面的课从略)．

在上述定理的生成过程中，从学生熟知的“直线a与和它异面的直线b一定是没有公共点或直线a与和它平行的直线b也一定是没有公共点”出发，通过“猜想——实验(画图)——概括”等过程，比较自然的得出结论．尤其是通过“天各一方——一线牵”的“艺术化”处理后，定理为真的事实已一目了然，对定理是否再需证明已不是很重要了．

所谓“求真”，就是“求是”，亦即实事求是去认识事物本质，把握事物的规律；“求实”则是在对这种规律的指导下，去做、去实践．一个数学定理往往需经合情推理的发现，再经演绎推理的证明才能获得，尤其是课本中不要求证明的定理，其证明往往是比较复杂的，教学中，通过揭示此类定理的生成过程，对培养学生求真求实的科学态度，培养和锻炼学生的探究能力和思维品质有更大的作用和意义．

2．在公式教学中锻炼学生科学探究能力和创新意识

李克强总理最近(2018年1月3日国务院常务会议)突出强调理论数学等基础学科对于原始创新能力的重要意义，他还指出“数学等基础学科研究要着眼于未来，但必须从教育抓起”．中学数学教学任重道远，同时也倍受鼓舞，在中学数学教学中，培养和锻炼学生科学探究能力、逻辑思维能力和创新能力的例子很多，尤其在公式教学中．这里仅举一例：

师：有一天，甲同学来问我这样一个问题：cos15°=cos(60°-45°)=cos60°-cos45°为什么不对？说实话，甲同学还很不错，知道这一等式是不成立的，同学们你们是否也知道？

生：知道！

师：为什么？说说理由看？

生：因为cos15°>0，而cos60°-cos45°<0，所以等式不成立．

师：很好！这样一来，我们达成了一个共识：cos(60°-45°)≠cos60°-cos45°．那么cos(60°-45°)究竟等于多少呢？(学生陷入沉思中！)

师：cos(60°-45°)是一个三角函数问题，在前面第一章我们已学习了三角函数的有关知识，能否有公式可用？

生：好像没有！

师：除了前面第一章我们已学习了三角函数的有关知识外，我们还学过其它的三角函数知识没有？

生：在初中还学过解直角三角形！

师：好的！既然在第一章的三角函数里没有公式可用，那么，我们不妨就到直角三角形中去看一看！你能否画出一个角为60°的直角三角形？

生：太容易了！

图4

师：是吗？那我就来画一个RtΔABC，使得∠A=60°,∠C=90°，如图4，在这个RtΔABC中，你还能作出一个45°，同时还出现15°的角吗？

生1：很好办！以A为顶点，AB为一边，在RtΔABC中作∠BAD=45°交BC于D，则∠DAC=15°．

师；你真行！在这个直角三角形中，能否得出cos15°呢？

生2：很简单！在RtΔACD中，AC=ADcos15°．

师：在RtΔABC中，还可得出AC=？

生2：AC=ABcos60°．

师：这样就有ADcos15°=ABcos60°．现在要求cos15°，若在这一等式的右边也出现AD，那么，两边同约去AD，即可求出cos15°，下面怎样才能使等式的右边也出现AD呢？(学生又陷入沉思中！大约2分钟后)

生3：老师，可不可以这样做？

师：怎么做？请讲！

生3：(生3口述，老师板书)在图4中，过D作DE⊥AB于E，则由ADcos15°=ABcos60°得：ADcos15°=(AE+BE)cos60°=ADcos45°cos60°+BEcos60°=ADcos45°cos60°+DEcot30°cos60°=ADcos45°cos60°+ADsin45°cot30°cos60°,所以cos15°=cos45°cos60°+sin45°cot30°cos60°.

师：太妙了！(这时教室里响起了热烈的掌声，同学们也有大功告成之感！)上述结果完全是正确的，但形式太“丑”了，说得不好听一点，简直是“丑不可言”！(学生感到很突然，教室里立即鸦雀无声)，你们看，等式右边的第一项是二项积，而第二项则是三项积，不和谐吧！更“可恶”的是：左边实际上是cos(60°-45°)，只与60°,45°有关，与30°无关，而右边的第二项竟然冒出一个30°，这个“30°”岂不是来添乱吗？

生4：那就把它化掉吧！

师：好的，生4，你来试试！

生4：(上台)通过化简得出：cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°①

师：等式①的确优美多了！当然①式也还不太和谐——

生：左边是“-”，而右边是“+”．

师：很好！这也正好说明世上并没有“十全十美”的事物(到此，同学们松了一口大气，大有洋洋得意之感！)，这时——

师：你们别高兴太早！刚才甲同学是将cos15°化成cos(60°-45°)，我们帮他解决了；

若乙同学是将cos15°化成cos(45°-30°)，而丙同学是将cos15°又化成cos(135°-120°)呢？…，我们是不是一一帮他们去解决？

生：不！

师：那怎么办？总不能“见死不救”吧！

生5：让他们自己按上述方法去解决．

生6：老师，我们能否得出一个一般的公式？免得每次都这样去做，太烦了！

师：这个想法好！得出一个怎样的公式？

生6：是否对任意的α,β∈R，都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ②

师：很好！你是怎样想到的？

生6：我是根据上述①式猜出来的！

师：真不错！不过，猜出来的结论不一定正确，你能证明它成立吗？

生6：还没有想好！

师：好的！请继续思考．有谁能证明②式？(同学们在积极思考，大约1分钟后)

师：能否仍按前面作直角三角形的方法去证？

生：不能？

师：为什么？

生：因为α,β不一定能成为直角三角形的一个内角．

师：很对，不过不要否定得太快！虽然现在不能作直角三角形了，但前面的那种证法中所用的思想方法说不定还有用呢！所以不能“过河拆桥”，要学会“感恩”！下面我们一起来反思上述解法的关键点在哪里(与学生一起反思上述解法的每一步)．

师：生7，你来说一说上述解法的关键点在哪里？

生7：算两次！就是把“AC”算了两次，第一次得出AC=ADcos15°，第二次得出AC=ABcos60°，这样就得出了关于cos15°的一个方程，然后通过解方程就得出了cos15°，也就是cos(60°-45°)的值．

师：说得太好了！上述解法实际上应用了“算两次”的思想方法，你们还在哪里也用到过这一思想方法？

生：在《平面向量》里也用过．

师：对啊！“算两次”是一种重要的解题思想方法，不仅过去用到，现在用到，而且将来还可能用到！下面再回到②式的证明，怎样才能证明它呢？

生8：老师！是不是还是用“算两次”？

师：怎么算？

生8：还没想好！

师：请再想一想．有谁想到了吗？(大约1分钟后)

师：前面说了，在第一章三角函数里已没有公式可用，又不能用作直角三角形的方法，那怎么办？换句话说，现在进是进不了了，进不了就——

生：退！

图5

师：退到什么地方去呢？这是一个三角函数问题吧！那三角函数是从什么地方出发的？

生：单位圆！退到单位圆中去．

师：好的！那就到单位圆中去看一看，如图5，在单位圆中，设α,β的终边与单位圆分别相交于P,Q两点，由三角函数的定义得P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ)，请大家观察②式的右边，它恰是——

师：那②式的左边等于——

从而有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ．

生：原来如此！

师：果然又用到“算两次”！但③式一定正确吗？

生：正确！

生10：还不一定吧？

师：为什么？

师：好极了！遇事要冷静，不要被一时的成功冲昏头脑，考虑问题应全面，接下来该怎么办？

生：分情况讨论！(这里从略)

师：这样一来，我们就证明了②式，有了这一公式，要算两角差的余弦就很方便了，这一公式也就是我们今天要学习的“两角差的余弦公式”(下面的课从略)．

公式是构成整座数学大厦的支柱之一，加强对公式的探究教学，不仅是新《数学课程标准》对我们每位老师的要求，也是培养创新型人才、提高教学质量的必由之路．

3．在解题教学中塑造学生诚信做人、理性做事的优良品德

图6

此题在用向量法求解的过程中有一个关键步骤，就是求出点A和F的坐标后，根据条件计算点H的坐标．笔者当时是用“近朱者赤近墨者黑”来提示学生直接写出H点的坐标的，在得到笔者的提示后，学生很容易地理解了笔者所要表达的意图，问题很快解决．通过这个例子和经过笔者的进一步提示，学生对传统文化中的“中庸之道”有了更加理性的认识，上例中的点H的坐标不能用中点坐标公式简而求之，而是在类比中点坐标公式“取得平衡”的思想中将两端点的坐标各取一定的比例系数来求得．中庸并非“正中间”，而是不偏不倚的“中”，做人之道便是至诚至信、公平待人．在解题教学中，要让学生既领悟到数学的知识与方法，也更加理性地体会到中国传统文化中关于做人的道理，一举两得．

图7

要求出SΔBDE，由已知条件，应“脚踏实地”地去计算出ΔBDE的三边长，而当算出ΔBDE的三边长后，“奇迹”发生了，原来ΔBDE为直角三角形，从而问题简单获解．

“机会是留给有准备的人的”，本题中，若没有前期“脚踏实地”地计算的准备，就没有后来简单获解的机会．在这里“求距离”是最终目标，为了实现这个目标，我们必须先“脚踏实地”地进行计算和推理，这一思维正是我们做许多事情时应有的方法和态度．

在数学的发生与发展过程中，知识的形成与演变、重要思想方法的确立与发展、重大理论的发现与沿革等，其本身充满着唯物辩证法的思想．而在高中的数学教学中，面对一群理性精神的形成正处于关键期的高中学生，教学中尽可能多地发挥数学的学科特性，通过培养理性思维与分析问题、解决问题的能力培养学生诚信做人与理性做事．同时，在塑造学生正确的人生观、世界观和价值观及用理性的思维看待事物时，使学生更深刻地理解数学的方法和理论，让学生更加主动地端正学习态度，提高数学能力．德育与数学教学相辅相成，本身也是一个辩证的关系．