陕西安康学院数学与统计学院 (725000) 赵临龙
命题1 (2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题)[1]如图1,PA、PB为⊙O的两条切线,切点分别为A、B,过点P的直线交⊙O于点C、D,交弦AB于点Q,求证:
PQ2=PC·PD-QC·QD(1)
参考答案利用圆幂定理、相似性、共点圆等知识,给出证明,其技巧性要求较高.
现在,通过圆幂定理:PA2=PC·PD,QC·QD=QA·QB,将命题1结论,转化为PQ2=PA2-QA·QB(2)
图1 图2 图3
此时,想到斯库顿(Schooten)定理:如图1,若PQ为△PAB的内角平分线段,则PQ2=PA·PB-QA·QB(3)
在图1中,尽管PA=PB,但PQ不是△PAB的内角平分线段,(3)不成立.
由上题的结论,又使我们想到蝴蝶定理.
命题2(蝴蝶定理)[3]如图2,过⊙O内一弦EF中点P引任意两弦AB、CD,AD和BC交EF于Q1、Q2,则Q1P=Q2P.
当点P在弦EF延长线上时,有坎迪(Candy)蝴蝶定理.
如图3,当割线PAB、PCD退化为⊙O的切线,则弦AD与BC合于一条,及点Q1、Q1合于切点弦与EF的交点Q,则命题3退化为命题1.
也就是说,可以用蝴蝶定理证明命题1.由此,我们说:模型、联想、转化是数学解题创新的基本环节.
如我们以斯库顿定理为模型,需要构造△PCF,使PF=PD.
如图4,将割线PCD沿对称轴PO对折得割线PEF,连线FC和ED的交点R在对称轴PO上,而且可利用射影几何证得:[4]点A,R,B共线.*
图4 图5
由斯库顿定理,得R2=PC·PF-RC·RF=PC·PD-RA·RB=PC·PD-(QA-RQ)·(RQ+QB)=PC·PD-RQ(QA-QB)+RQ2-QA·QB=PC·PD-2RQ·RQ+RQ2-QC·QD(6),则PC·PD-QC·QD=R2+RQ2=PQ2(由AB⊥PO)(7).
*附录:极点与极线的理论
定义[4]如图5,过点P引二次曲线Γ的直线PAB交Γ于A、B两点,若直线PAB上一点Q满足:
特例:当点P在Γ上,则过P与Γ相切的直线为极点P关于Γ的极线.
结论:二次曲线Γ极线l的点列Q与过极点P的线束l'构成一一对应.
此时,在图4中,取完全四边形CDEF,则对角线的交点R的极线必过完全四边形CDFE对边交点P,又⊙O两切点A、B的两切线也交于点P,于是⊙O的极点A、R、B三点共线.