tan z,cot z,sec z,csc z幂级数展开式的几种简明求法*

黄 炜

(宝鸡职业技术学院基础部，陕西 宝鸡 721013)

0 引 言

幂级数的展开式在数学研究及工程计算等广泛领域中有着极其重要的作用，人们对于sinz,cosz幂级数的展开式比较熟悉，应用自如，但一般的高等数学书中都没有tanz,cotz,secz,cscz函数在复数域上幂级数的展开式，是因为其高阶导数不好求.即使在工具书[2-6]中查到公式，也感到陌生、困难，望而生畏，一知半解不知来龙去脉，更谈不上理解；但这几个幂级数展开式在数学研究，科学计算，工程应用等领域中有着广泛应用.本文借助于高阶无穷小量在级数除法中的应用及级数递推公式中的待定系数法等数学方法和工具，避开求高阶导数，给出了tanz,cotz,secz,cscz函数在复数域上幂级数展开式的几种简明方法，旨在促进工程数学与实际问题的融合，打通复杂计算的瓶颈，建立快速通道.

1 引 理

为了给出幂级数展开式几种简明方法，需要下面的引理:

引理1[1]对于任意复数z，|z|<∞，有

2 用级数除法求tan z,cot z,sec z,csc z的幂级数展开式

下面我们用级数除法求tanz,cotz,secz,cscz的幂级数展开式.

2.1 求tan z,cot z的幂级数展开式

其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)为伯努利数.

(2)由于cotz函数在z=0邻域有一阶极点，故展开式为Laurent级数.

其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)为伯努利数，0<|z|<π.

(3)

2.2 求sec z，csc z的幂级数展开式

(1)求secz的幂级数展开式

其中En(E1=1/6,E2=1/30,E3=1/42,…)为欧拉数.

(2)求cscz的幂级数展开式

其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)为伯努利数.

3 用待定系数法求tan z,cot z幂级数展开式

(待定系数法只能用于有限个负幂项(正幂项)的情形).

3.1 求tan z在z=0的展开式是Taylor级数

其中最后一步用到了k+l=n. 比较方程两边级数的系数，即得

(1)

具体地n=0：a1=1.

……

3.2 求cot z幂级数展开式

由于cotz函数在cotz在z=0邻域有一阶极点，故展开式为Laurent级数.

其中最后一步用到了k+l=n. 比较方程两边级数的系数，即得

(1)

具体地n=0：a-1=1.

……

4 用待定系数法求sec z,csc z幂级数展开式

4.1 求sec z的幂级数展开式

secz在z=0的展开式是Taylor级数.

由此可以求出前五项的系数：E0=1,E1=-1，E2=5,E3=-61,E4=1 385,E5=-50 521.

从上式有：

4.2 求csc z的幂级数展开式

cscz在z=0邻域有一阶极点的，展开式为Laurent级数.

zcscz·sinz=z，不妨记

5 用三角等式求csc z,sec z幂级数展开式

5.1 求sec z的幂级数展开式

secz在z=0的展开式是Taylor级数.

=1+2tan2z

En(E1=1/6,E2=1/30,E3=1/42,…)为欧拉数.

5.2 求csc z的幂级数展开式

cscz在z=0邻域有一阶极点的，展开式为Laurent级数.

6 用Bernoulli数的母函数求csc z，sec z幂级数展开式

一般有如下的递推公式：

由于

(3)

(4)

注意到：

(5)

马上有Euler数与Bernoulli数间的关系：

(6)

由式(4)有

(7)

把式(7)中的z换成iz即得

立即有：

(8)

由tanz=cotz-2cot2z，可推得

ztanz=zcotz-2zcot2z

(9)

(10)

当然，对于基本三角函数幂级数的展开还有其它种方法，在这里就不一一赘述了.