一个有关Euler函数φ(n)的非线性方程的解*

夏衣旦·莫合德 张四保 熊满玉

(1.喀什大学数学与统计学院, 新疆 喀什 844008; 2.乌鲁木齐第四十二小学， 新疆 乌鲁木齐 830000)

0 序 言

n是一正整数，令φ(n)为Euler函数.Euler函数φ(n)是数论中的一类极其重要函数之一，有关φ(n)方程解的研究可以说是数论研究中的一个极富意义的研究课题之一，引起了不少学者的关注及重视，也得到了一些结论，如文献[1-6].

对于形如

φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))

(0.1)

的Euler函数φ(n)的线性方程有着一定的研究.文献[7]讨论了方程(0.1)当k为素数的情形，给出了k=3时方程(0.1)的部分解，而文献[8]给出了k=3方程(0.1)的全部解；文献[9]给出了k=4方程(0.1)的全部解；文献[10]讨论了当k=4,6时方程(0.1)的各自解；文献[11]给出了k=5方程(0.1)的全部解；文献[12]给出了k=7方程(0.1)的全部解；文献[13]给出了k=8方程(0.1)的全部解；文献[14]给出了k=9方程(0.1)的全部解.

本文将讨论一个有关Euler函数φ(n)的非线性方程

φ(mn)=7φ(m)+8φ(n)+16

(0.2)

的解.

1 定理及其证明

定理1方程(0.2)有解(m,n)=(17, 32)，(17, 40)，(17, 48)，(17, 60)，(32, 17)，(40, 17)，(48, 17)，(60, 17)，(51, 11)，(51, 22)，(64, 11)，(68, 11)，(80, 11)，(96,11)，(102, 11)，(120, 11)，(123, 16)，(123, 20)，(164, 15)，(165, 16)，(176, 15)，(104, 10)，(112, 10)，(130, 8)，(130, 12)，(144,10)，(156, 10)，(168, 10)，(210, 8)，(210, 12)，(15, 27)，(15, 54)，(24, 27)，(30, 27)，(48,15)，(51, 9)，(51, 18)，(96, 9)，(102, 9)，(120, 9)，(104, 12)，(112, 12)，(140, 8)，(140, 12)，(156, 8)，(180, 8)，(104, 8)，(112, 8)，(144, 8)，(168, 8)，(40, 10)，(60, 10)，共52组.

证明设gcd(m,n)=d，则φ(m)=m1φ(d)，φ(n)=n1φ(d)，其中m1,n1∈Z+.由方程(0.2)，有φ(d)(dm1n1-7m1-8n1)=16，从而有φ(d)=1,2,4,8,16.

情况1φ(d)=1

此时有dm1n1-7m1-8n1=16.由φ(d)=1时，有d=1,2.

情况2φ(d)=2

此时有dm1n1-7m1-8n1=8.由φ(d)=2时，有d=3,4,6.

当d=6时，有6m1n1-7m1-8n1=8，从而有(3m1-4)(6n1-7)=52，不存在m1,n1∈Z+使得其成立，故此时方程(0.2)无解.

情况3φ(d)=4

此时有dm1n1-7m1-8n1=4. 由φ(d)=4，有d=5,8,10,12.

当d=12时，有12m1n1-7m1-8n1=4.从而可得(3m1-2)(12n1-7)=26,不存在m1,n1∈Z+使得其成立，故此时方程(0.2)无解.

情况4φ(d)=8

此时有dm1n1-7m1-8n1=2.由φ(d)=8，有d=15,16,20,24,30.计算可得，当d=15,16,20,24,30，对于方程dm1n1-7m1-8n1=2，不存在m1,n1∈Z+使得其成立，故此时方程(0.2)无解.

情况5φ(d)=16

此时有dm1n1-7m1-8n1=1.由φ(d)=16，有d=17,32,34,40,48,60. 计算可得，当d=17,32,34,40,48,60，对于方程dm1n1-7m1-8n1=1，不存在m1,n1∈Z+使得其成立，故此时方程(0.2)无解.综上可得本文结论.