两条水平射线的光滑连接*

石冶郝 伍和用

(1.首都师范大学初等教育学院, 北京 100048; 2.湖南省新邵县寸石镇大富学校 湖南 新邵 422907)

0 引 言

文[2]用五种不同的方法得出函数e1/x的高阶导数公式：

(*)

0≤φ(x)≤1,∀x∈R;

φ(x)=1,x≥1;φ(x)=0,x≤0.

0≤ψ(x)≤1,∀x∈R;

ψ(x)=1,x≥b;ψ(x)=0,x≤a.

例如

在R上可导任意多次，而且它的图象中段隆起，两侧水平展开，将这样的函数称为钟形函数或隆起函数(bump function).

在一些实际应用中，如果需要光滑连接两条水平射线，这里光滑意指无穷次求导.由泛函分析的知识，这样的函数是存在的(见[3，定理1.1.5])，而且由卷积的形式给出.本文从函数e1/x出发，构造一个分段函数属于C∞(R)，实现两条水平射线的光滑连接.

1 主要结论

定理设a

这里c1，c2为常数，exp(x)=ex，则F(x)∈C∞(R).

证明设函数

现在只须证明函数H(x)∈C∞(R).显然函数H(x)在x≠0，x≠-1处可以无穷次求导，只须考察它在x=0，x=-1处的可导性.

接下来我们证明函数H(x)的高阶导数H(n)(x)满足

h′(x)=h(x)e1/x[(x+1)-2+(x+1)-1x-2]，

继续求导，由乘积函数的高阶求导法则与引言中的(*)式，计算得h(r)(x)为形如

的函数之和，其中c(x)是1/x的多项式，在x=-1连续，i,j,k为正整数.

当-1

因此H(n)(x)为形如

的函数之和，其中c1(x)是1/x的多项式，在x=-1连续，c2(x)是1/(x+1)的多项式，在x=0连续，i1,j1,k1,k2为正整数.而对任意的正整数k，根据洛比达法则，有

于是,

函数H(x)的图象如下：

2 说 明

同理函数H(x)在x=0处的泰勒级数

在实轴上收敛，且和函数恒等于零，它不等于H(x).因此研究某个函数的泰勒级数时，必须讨论这个级数的余项.