交错级数收敛性判别法

房庆祥， 刘雪山， 杨伟能， 张 媛

(1.中国计量学院理学院， 浙江杭州310018； 2.山东省嘉祥县职业中专，山东济宁272400)

1 引 言

对于交错级数的审敛准则，一般高等数学教材[1]上仅介绍莱布尼茨判别法. 对于很多交错级数，应用莱布尼茨定理判别散敛性计算繁琐. 近几年来，很多学者对交错级数的审敛准则进行了深入研究. 2006年，杨万必[2]提出关于判定交错级数收敛性的两个结论. 2010年，刘志高[3]研究了交错级数的对数判别法. 此外，文献[4-7]也提出一些新的交错级数判别法及应用实例. 这些研究工作对判别交错级数的收敛性提供了新的依据. 本文进一步研究交错级数收敛性判别法，提出三个与正项级数的比值判别法和根式判别法类似的收敛性判据，并举例说明它们的应用.

2 交错级数收敛性判据

定理1对于交错级数

(1)

如果存在常数λ,μ,p,l1,l2和数列{θn}，满足λ>0,0

(2)

则

(i) 当λ>1时，级数(1)绝对收敛；当λ<1时，级数(1)发散;

(ii) 当λ=1时，若μ>0，则级数(1)收敛；若μ≤0，则级数(1)发散.

由于

(3)

当λ=1时,若μ≤0，则由(2)知，

由于

(4)

所以

由定理1，可得如下推论：

推论1对于交错级数(1)，如果存在常数λ,μ,p满足λ>0,0

(5)

则

(i) 当λ>1时，级数(1)收敛；当λ<1时级数(1)发散；

(ii) 当λ=1时，若μ>0，则级数(1)收敛；若μ≤0，则级数(1)发散.

定理2对于交错级数(1)，如果存在常数λ,μ,p,θ,m,λ>0,0m时，有

(6)

则

(i) 当λ>1时，级数(1)发散；当λ<1时，级数(1)绝对收敛；

(ii) 当λ=1时，若μ≥0，则级数(1)发散；若μ<0，则级数(1)收敛.

证(i) 当λ>1时，由(6)知n充分大时，

(7)

(ii)当λ=1时,若μ>0，由(6)知

因此，交错级数(1)发散.

若μ=0，由(6)知

因此，交错级数(1)发散.

若μ<0，令

(8)

则

(9)

再令

(10)

和

(11)

则

(12)

且当x→+∞时，g(x)和h(x)同号. 又因为

(13)

所以当x→+∞时，h(x)<0. 由(12)知f′(x)<0. 因此，当n充分大时，{un}单调递减.

由于μ<0，故

根据莱布尼茨判别法知交错级数(1)收敛.

由定理2，可得如下推论：

推论2对于交错级数(1)，如果存在常数λ,μ,p，使得0

(14)

则

(i) 当λ>1时级数(1)发散；当λ>1时级数(1)收敛；

(ii) 当λ=1时，若μ≥0，则级数(1)发散；若μ<0，则级数(1)收敛.

定理3的证明要用到下面的引理.

引理1(拉贝对数判别法)[8]对于正项级数∑un，若

则

(i) 当l>1时，级数∑un收敛；

(ii) 当l<1时，级数∑un发散.

定理3对于交错级数(1)，如果存在常数p,l，使得0

(15)

则

(i) 当l>0时，级数(1)收敛. 特别地当p=1且l>1时，级数(1)绝对收敛；当p=1且0

(ii) 当l<0时，级数(1)发散；

(iii) 当l=0时，级数(1)有可能收敛，也有可能发散.

从而

即

于是，对于任意正整数m>N1，有

即

当p=1时，由引理1知，若l>1，则级数(1)绝对收敛；若0

3 判别法的应用

例1判断级数

的敛散性(p>0).

因为

[参 考 文 献]

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2011.

[2] 杨万必. 关于交错级数的审敛准则的改进和推广[J]. 大学数学，2006, 22(2): 138-141.

[3] 刘志高. 交错级数的对数判别法[J]. 大学数学，2010，26(2):194-196.

[4] 刘晓玲, 张艳霞. 交错级数收敛性的一个判别法[J]. 高等数学研究，2007，10(3): 51-53.

[5] 林让起. 交错级数收敛性的两个补充判别法[J]. 红河学院学报，2008，6(2):44-46.

[6] 蔡敏, 龚水法. 交错级数收敛的几个结果及其应用[J]. 高等数学研究，2009，12(3): 29-31.

[7] 张建军, 宋业新. 关于交错级数收敛性判定的讨论[J]. 高等数学研究，2009，12(3): 38-40.

[8] 姬小龙,王锐利. 正项级数的Raabe对数判别法[J]. 高等数学研究,2007 ,10 (3) : 7-9.