有总结才会有提高

牛孝武

高中数学教学中，面对琳琅满目的复习资料，若不对资料中的知识方法加以总结，学生常会感到手足无措，势必会陷入资料的漩涡，进行题海战术，不仅复习效率低下，而且会浪费宝贵的时间。所以如何尽可能地提高复习效率的责任就落在了科任老师的肩上。

一、把握数学思想，提高复习效率

例如，在复习函数导数这部分时，单调性讨论是一种常见的题型，它不仅考查了分类讨论思想，还考查了综合应用所学知识解决问题的能力。对学生的要求较高，经验表明，很多学生讨论得不够全面，很难拿到满分。本人在教学中总结了一下，大致有三类讨论问题：

第一类是讨论根的个数。

问题1：（安徽省高考题）已知函数f（x）=x-+a（2-lnx），a>0。讨论f（x）的单调性。略解：求导之后分子是关于x的二次函数，二次函数根的个数依赖于参数a。

第二类是讨论根的大小。

问题2：（辽宁省高考题）已知函数f（x）=x2-ax+（a-1）lnx，a>1。略解：令f'（x）=0得x1=1，x2=a-1，此时需要讨论1和a-1的大小。

第三类是讨论根是否在定义域内。

问题3：（山东省高考题）已知函数f（x）=lnx-ax+-1，a∈R，当a≤时讨论f（x）的单调性。略解：当a≠0时，令f'（x）=0得x1=1，x2=-1。若0

掌握了这三类问题后，如碰到讨论函数单调性问题的话，必能用其中的一种或几种加以解决。如2010年北京市高考题：已知函数f（x）=ln（1+x）-x+x2（k≥0），讨论f（x）的单调区间。这一题如果不加限制条件k≥0的话，则包含了上面的所有三种讨论。

二、揭示本质规律，提高复习效率

在复习高考题时，会发现许多题目反映的结论相似，如老师能加以总结，学生花时间去研究，既节省了大量时间，又培养了学生独立思考进行研究的能力，真正做到事半功倍。

例如，在解决圆锥曲线与直线相交问题时，某一题可能就是一个结论。

问题1：（山东省高考题）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交与A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

问题2：（山东省高考题）设椭圆E：+=1（a，b>0）过M（2，），N，1）两点，O为坐标原点。（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围，若不存在，说明理由。

经研究得到：

结论1：过椭圆+=1（a>b>0）的右顶点M做两条相互垂直的直线交椭圆于A，B两点，则直线AB恒过定点（，0）。

结论2：过椭圆+=1（a>b>0）的中心O做两条相互垂直的直线交椭圆于A，B两点，则直线AB与圆x2+y2=相切。

三、注重一题多解，提高复习效率

在复习中注意一题多解，引导学生从不同的角度去审视问题，使学生加深对知识的理解，更好地掌握技能和技巧，对完善学生的知识结构也起到了促进作用。若能够把一道题的几种方法运用到一类题目上，那么一题多解的目标也就达到了。

例：（重庆市高考题）已知函数y=+的最大值为M，最小值为m，则的比值是多少？

略解：这个问题的本质是函数的值域，可以有如下的解法：（1）平方，转化为二次函数的值域问题；（2）三角代换，令x=4sin2θ-3（θ∈[0，]）转化为三角函数的值域问题；（3）令u=，v=问题转化为在约束条件u2+v2=4（u≥0，v≥0）的条件下求u+v的最小值和最大值问题。用上面的方法可以解决问题：函数f（x）=+的值域是什么？

四、加強数学思维，提高复习效率

这一类问题的特点是所用的知识并不是很深奥，但的的确确需要认真去想，而且有时仅仅从正面思考是不够的。如，上面讲的2009年山东省高考题用数学归纳法解决的时候，若从正面思考的话，是想不出放缩=>=的。所以分析法这一利器就可以闪亮登场，再如：

例：（福建省高考题）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：-<++…+<（n∈N*）.略解：容易求出an=2n-1（n∈N*），第二问令bn=，先证明右边的不等式bn<，则b1+b2+…+bn<，这比较容易想到，再证明左边的不等式，如果仿照右边的不等式证明bn>-，发现不行，所以证明bn>-·，这个不等式分析法和综合法都能够证明。下面这个题目也是通过分析法找到解题的思路：

（江西省高考题）已知数列{an}满足：a1=，且an.=（n≥2，n∈N*）。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，不等式a1·a2·…·an<2·n！恒成立.

以上本人从四个方面说明了提高复习效率的一点做法。作为教师，一定要尽可能地将问题分门别类，有的放矢地进行有效讲解，让学生真正从题海中跳出来，切实做到真正解放自己，也解放学生。

？誗编辑 李琴芳