浅议解决高中数学抽象问题的实施策略

黄渝夏 叶小红 李坤

摘 要：数学是一门抽象性的学科，要学好数学，要求学生具备良好的数学思维能力。刚进入高中阶段的学生，数学思维以形象思维为主，实现由形象思维向抽象思维的转化要以数学知识为载体，通过对高中数学概念的分析、命題的推理、规律的概括等达到训练学生思维的目的。

关键词：高中数学；抽象问题；解决策略

《数学辞海（第六卷）》认为，数学的抽象性来源于数学思维的逻辑严密性的要求，当研究对象的任何非本质的因素会妨碍逻辑思维时，数学就很自然地抛弃了非本质的因素。换句话说，数学思维是抽取数学对象的共同的、本质的属性，舍弃非本质的属性的思维过程。高中数学中，抽象问题的产生主要源于概念、命题以及规律，本文将有针对性的利用反例教学法、数形结合法、多媒体教学法对数学抽象问题加以分析和解答。

一、 反例教学法

美国数学家盖尔鲍姆曾说：“数学是由‘证明和‘反例组成，而数学发现也是朝着‘提出证明和‘构造反例两个主要目标进行的。”高中数学中，许多问题从正面推理难以攻破，需要在方法上借助构造反例对原问题加以证明，或者只有举出反例，才更容易理解。反例需要学生的推理、假设、证明和验证，不断地尝试错误从而达到真正的理解。反例教学法将复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，很大程度上能够帮助学生得到正确答案，培养学生举一反三的能力。对反例的求解，实现对学生逆向思维的培养。

例如：在学习函数单调性时，多次强调函数的单调性是函数的局部性质。

比如说：函数y=1x在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，它有两个单调区间，很多同学就认为函数y=1x在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数。

对于这样的错误，通常采取构造反例的方式加以解释，对于任意的x1∈（-∞，0），x2∈（0，+∞），则x1

二、 数形结合法

高中数学研究的对象无非就是两部分，一部分是数，另一部分是形。数与形是有关联的，这个关联称之为数形结合。数形结合是解决函数问题、方程与不等式问题、解析几何问题等的重要体现。我国著名数学家华罗庚曾说：“数形本是两依倚，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事休。”数形结合法将抽象的数量关系、数学语言与直观的几何图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”让抽象思维与形象思维发生碰撞，能够将抽象的问题直观化并且具有可操作性。

例如：（2017年高考新课标Ⅱ卷理数第5题）设x，y满足约束条件2x+3y-3≤02x-3y+3≥0y+3≥0，则z=2x+y的最小值是（ ）

A. -15

B. -9

C. 1

D. 9

分析：关于二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题，需利用平面区域体现二元一次不等式（组）的解集，借助数学结合思想解决在线性约束条件下的二元线性目标函数的最值与最优解问题。

解：作出x，y所满足的约束条件的可行域，如图1中阴影部分ABC。

z=2x+y经过可行域的B点时，目标函数取得最小值，

由2x-3y+3=0y+3=0，解得B（-6，-3），

所以zmin=2×（-6）+（-3）=-15。

故选A。

三、 多媒体教学法

多媒体教学已经是中小学课堂教学的新常态。多媒体教学能够激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性和主动性。特别是在有关几何图形内容教学中，通过使用色彩和动画方式，将静态的知识与动态的图形结合起来，以直观、形象的方式加以表达，能让学生准确把握住对象变化的规律，从丰富的表象中体验知识的形成过程。

例如：已知函数f（x）=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围。

（1）函数有两个零点；（2）函数有三个零点；（3）函数有四个零点。

分析：对于抽象函数f（x）=|x2-2x-3|-a的零点个数问题，利用函数的零点存在定理讨论比较困难，可转化为函数f（x）=|x2-2x-3|与函数g（x）=a图像的交点个数问题。

解：设f（x）=|x2-2x-3|，g（x）=a，分别作出这两个函数的图像（如图2），它们交点的个数，即函数f（x）=|x2-2x-3|-a的零点个数。

（1） 若函数有两个零点，则a=0或a>4。

（2） 若函数有三个零点，则a=4。

（3） 函数有四个零点，则0

本题中，函数f（x）=|x2-2x-3|的图像是确定不变的，函数g（x）=a的图像可以是任何一条平行于x轴的直线。因此，借助于几何画板软件用动画的形式展示当a的值发生变化时，函数的零点个数就会发生改变。这种教学方式有利于将几何图形的变换过程直观的展示在学生眼前，有利于学生归纳求这一类抽象函数的零点个数的方式方法。

四、 结束语

数学抽象思维能力的培养是解决高中数学抽象问题的关键，这既是一个系统的过程，也是一个缓慢的过程。教师要充分考虑高中生的数学抽象思维特点，让学生进行合理的思维活动。

参考文献：

[1] 仲崇猛.在反例中求正解[J].黑龙江教育（理论与实践），2015（2）：53-54.

作者简介：黄渝夏，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院；

叶小红，重庆市，重庆市江北中学校；

李坤，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院。