Hertz点接触参数的工程计算方法

杨咸启,荣超,邹星波

(1.黄山学院,安徽 黄山 242700;2.安徽日飞轴承有限公司,安徽 铜陵 244000)

在球轴承零件受力分析时，需考虑2个零件的相互接触力，该接触力通常为Hertz点接触应力分布。Hertz点接触是指在空载状态下2个物体初始接触为一个点的二次光滑曲面的接触。在计算接触力的大小时首先要利用接触表面的曲率系数，再计算椭圆积分函数，但该计算过程相对复杂[1-4]。鉴于此，给出了近似的Hertz点接触参数的近似计算方法，从而方便分析接触应力分布情况。

1 Hertz点接触参数理论计算方法

一般Hertz点接触模型和接触区域如图1所示。分析接触应力时需要计算的接触参数有：接触区域椭圆长、短半轴和2个接触体的弹性趋近量。

图1 Hertz点接触模型Fig.1 Hertzian point contact model

利用弹性力学接触理论，可以得到点接触区域上的表面压应力分布为[4]

(1)

式中：a，b分别为接触区域椭圆长、短半轴；Q为法向接触载荷。

假设相互接触的轴承零件材料均为GCr15，其弹性模量E=207 GPa，泊松比ν=0.3, 则接触椭圆长、短半轴分别简化为

(2)

(3)

式中：F(e),E(e)分别为第一、二类完全椭圆积分；e为接触椭圆率；∑ρ为曲率和函数；对于凸面±取+,对于凹面±取-;RⅠ1,RⅠ2分别为接触体1，2在第Ⅰ主曲面内接触点的曲率半径；RⅡ1，RⅡ2分别为接触体1，2在第Ⅱ主曲率面内接触点的曲率半径。

2个接触体的弹性接触趋近量为

δ=2.791×10-4δ*(Q2∑ρ)1/3,

(4)

为了计算接触区域参数，需要采用曲率比函数，即

(5)

式中：ρⅠ1,ρⅠ2分别为接触体1，2在第Ⅰ主曲面内接触点的主曲率；ρⅡ1，ρⅡ2分别为接触体1，2在第Ⅱ主曲率面内接触点的曲率。

曲率比函数又可表示为

(6)

当已知接触表面的主曲率后，首先计算出F(ρ)，再定出接触椭圆率e。进一步计算出第一、二类完全椭圆积分F(e),E(e)及a*，b*，δ*，但该计算过程复杂。实际工程问题计算中是给定参数e计算出F(e),E(e),将计算结果制成图表。利用图表直接查找和插补方法来进行快速近似计算。

2 点接触参数近似计算方法

由于理论计算方法过程复杂，主要步骤是确定接触椭圆偏心率及椭圆积分，再通过(2)～(4)式确定接触参数a，b，δ，最终得到接触应力分布情况。下面介绍3种接触椭圆率及椭圆积分的近似计算方法。

将接触区域的主曲率面设为坐标面，第Ⅰ主曲率面内包含y轴方向(接触椭圆短轴方向)，第Ⅱ主曲率面内包含x轴方向(接触椭圆长轴方向)。将接触点处的综合曲率表示为

1/Rx=ρx1+ρx2，

(7)

1/Ry=ρy1+ρy2，

(8)

ρx1=ρⅡ1，ρx2=ρⅡ2，ρy1=ρⅠ1，ρy2=ρⅠ2，

式中：Rx,Ry为接触体表面的综合曲率半径参数；ρx1，ρx2，ρy1，ρy2为接触体的主曲率面内接触点的曲率。

由(5)式可得曲率比函数为

(9)

显然，这里要求Rx>Ry。

2.1 第1种近似计算方法

根据文献[4]，接触椭圆半轴比值和椭圆积分的近似计算方法为

(10)

(11)

(12)

(13)

通过(11)～(13)式可得到接触椭圆率及椭圆积分。在上面的计算过程中，需要注意接触区域的长轴和短轴与坐标轴之间的位置对应关系。

2.2 第2种近似计算方法

文献[5-6]给出了接触椭圆率e的一种近似计算方法，即

，(14)

通过(14)式计算出e后，再对椭圆积分进行近似计算，即

F(e)≈1.386 294 4+0.111 972 3(1-e2)+

0.072 529 6(1-e2)2-

[0.5+0.121 347 8(1-e2)+

0.028 872 9(1-e2)2]ln(1-e2)，

(15)

E(e)≈1.0+0.463 015 1(1-e2)+

0.107 781 2(1-e2)2-

[0.245 272 7(1-e2)+

0.041 249 6(1-e2)2]ln(1-e2)，

(16)

通过(14)～(16)式可得到接触椭圆率及椭圆积分。利用此方法计算时需要注意0

2.3 第3种近似计算方法

(14)式计算过程还是比较复杂，且参数F(ρ)趋近于零时为一种不定式，需要取更多的项才能准确计算F(e),E(e)值。为避免不定式计算,对椭圆积分进行变换,即

(17)

(18)

令

(19)

则

E(e)=(1-e2)F(e)+e2Δ(e)。

(20)

上面各式中，e的取值范围为0≤e≤1，则π/2≤F(e)<∞，1≤E(e)≤π/2 ，π/4≤Δ(e)≤1。

由(6)式经变换可得

(21)

将(20)式代入(21)式可得

(22)

(22)式表示椭圆率与椭圆积分和曲率比函数的关系。利用这种曲率比函数关系，对e，F(e),E(e)进行近似计算如下

(23)

(24)

(25)

通过(23)～(25)式可得到接触椭圆率及椭圆积分。利用此方法计算时，允许0≤F(ρ)≤1。

3 实例分析

以某深沟球轴承为例，采用上节介绍的近似方法进行接触参数计算，其中的接触模型如图2所示。轴承主要结构参数为：球径Dw=22 mm，球组节圆直径Dpw=162 mm，内、外沟曲率半径系数fi= 0.515，fe= 0.520，接触角α=0。

图2 深沟球轴承接触模型Fig.2 Contact model of deep groove ball bearing

在内圈沟道接触点处

(26)

(27)

(28)

(29)

γ=Dwcosα/Dpw。

在外圈沟道接触点处

(30)

(31)

(32)

(33)

通过(26)～(33)式，可得Rx，Ry，F(ρ)，见表1。

表1 Rx，Ry，F(ρ)的计算结果Tab.1 Calculated results of Rx，Ry，F(ρ)

再用上述3种近似计算方法计算e,F(e)和E(e)，结果见表2。3种近似计算的接触椭圆率e比较接近，而第1种和第2种近似计算方法的F(e)，E(e)较接近，第3种计算方法计算过程更为简化一些。

表2 e，F(e),E(e)的计算结果Tab.2 Calculated results of e,F(e)，E(e)

4 结束语

介绍了Hertz点接触的理论计算方法，将Hertz点接触参数计算过程进行了近似计算。拟合出Hertz点接触曲率函数与接触椭圆偏心率e、椭圆积分之间的关系函数。在接触计算工程中省去了复杂的计算过程，使得接触计算变得相对简化。最后以深沟球轴承为例进行实例分析，并对比分析了3种近似计算方法。说明介绍的近似方法是有效的。