许婷婷 陈云鹏
摘要:大学物理初学者很容易混淆最概然法和平均值法,这将影响大学生在统计物理学后续学习中的思路。本文分别从物理和数学两个思维角度分析两种方法的区别与联系,阐述了两种方法所蕴含的基本统计思想——特殊和平均。
关键词:最概然分布法;平均值法;特殊;平均
中图分类号:G642.0 文獻标志码:A 文章编号:1674-9324(2018)18-0223-03
在平衡态统计物理中,主要有两种普遍性的统计理论——玻尔兹曼分布理论和系综理论。玻尔兹曼分布理论研究了孤立定域粒子系统的统计规律,而系综理论研究了微观相互作用粒子系统的统计规律[1,2]。一般地,玻尔兹曼分布理论适用于玻尔兹曼分布,而系综理论适用于几乎所有的系统。然而,在两种理论的出发点上存在着一些很重要的区别,玻尔兹曼分布理论使用最概然分布方法,系综理论使用了平均值法。
大学物理初学者很容易混淆这两种方法的区别与本质,导致对后续统计物理学相关问题的研究思路产生了极大的阻碍,但是目前几乎所有相关教材都没有清晰地解释这个问题。很多学生会认为这两种方法之间并没有显著的区别,都使用了等概率原理。但实质上,满足这两种方法的基本条件以及两种方法所蕴含的思想都是不同的,下文将会从物理和数学两种角度探讨两种方法之间的主要区别、联系及其思想本质。
一、物理意义分析
玻尔兹曼分布也称最概然分布,其认为一个系统的宏观量是当微观状态出现最多时的微观量的统计值,然而系综分布认为一个系统的任意宏观量是当一定的宏观条件任意给定时相应的所有可能微观量的一个统计平均值[3]。事实上,对于玻尔兹曼分布,偏差的分布是非常小的,与最概然分布微观状态数相比其微观状态数几近为零,这意味着最概然分布微观状态数相当接近所有可能的微观状态数。由此,认为平衡态系统中的孤立系统粒子处于玻尔兹曼分布是合理的,其误差可以近似忽略。与此同时,在一个系综里,相对涨落也是很小的,因此其概率分布函数有一个非常陡峭的极值曲线,所以一个子系统的微观状态的相应宏观量的最可能值大体上与统计平均值相等。
玻尔兹曼统计运用了最概然分布法,系综统计应用了平均值法,我们可以通过两种方法很接近地推导出系统的分布状态,但是两者基本的数学原理是不同的。前者近似地以最概然值替代分布的微观状态的统计值,而后者认为一个系统的统计值粗略的与平均值相等。
两种分布图如图1所示,很明显的,最概然分布看起来就像一个点的分布,系综分布的图与最概然分布很相似。但是当能量E被限制在横轴上很小的范围上时,系综分布曲线的曲率其实还是很小的,这段曲线就像一个平行于横轴的小段,由于能量差ΔE此时小,以致这个小段在整个分布上看起来像一个点,这意味着平均值与最概然值近似相等。所以,两种统计分布的曲线也很相似。
二、数学分析
1.最概然分布法。为了清楚的理解系统的分布情况,我们通常会引入能级分布,定义为al,表示能级l上占据的微观粒子数。介绍过al后,一个玻尔兹曼系统的总微观状态的一般形式即:
Ω= (1)
考虑到在一个孤立系统中存在的两个分别与粒子数量、能量相关的限制条件:
N=∑a (2)
E=∑aε (3)
应用斯特林公式并引入拉格朗日算子,会得到:
a=e (4)
根据求解平均值的原则,会有al的统计平均值的表达式如下:
= (5)
同时,改变Ωl的形式:
Ω=ωωω…ω… (6)
在(4)式中,εl表示衰减因子,(5)式可以写作为:
=ω (7)
并且,会有:
-()=+ω (8)
(8)式中最后一项为偏差因子。结合以上分析,当N趋于无穷时,这个偏差因子与al的统计平均值相比可以忽略不计,以致可以采取以下近似:
-()==a (9)
这个表达式暗示着这个偏差及涨落属于正态分布的情形。
因此,当N和al的统计平均值趋于无穷时,这个近似处理意味着,虽然对于最概然分布存在着一个偏差分布,但是与最概然分布的微观状态数相比,偏差分布的微观状态数几近为零,这也意味着最概然分布可以描述孤立定域粒子系统的分布。
2.平均值法。如上述部分所述,我们知道εl除了应该满足(3)式之外,还会有其他的限制条件,且在一个系综里会有一点不同,因此总能量需要满足表达式:
H=E (10)
H是由广义坐标和广义动量决定的哈密顿能量。
与(6)式类似,在一个系综里,会有:
∑Ωl=ωωω…ω… (11)
为了(11)式计算方便,我们暂时不考虑除此之外的第二个以及更多的限制条件,并做出如下定义:
f(Z)=∑ΩlZ (12)
其中Z是一个任意的复数,根据留数方法,使用最速下降法可以得到:
∑Ω=Zf(Z)dz (13)
当z在正实轴上移动,将会存在Z0,使被积函数的一阶偏导等于0,二阶偏导是一个可以按期望赋值很大的数值。现在,由赋予一阶偏导为零的条件推导Z0的值,构造函数g(Z)如下:
e=Zf(Z) (14)
接下来,可以得到一个系综里微观粒子的平均数量:
=ωg′(Z)+-lng(Z) (15)
取平均能量:
U= (16)
当N和E趋于无穷时,平均能量U是不会变化的。根据以上公式变换,在一个系综里可以得到:
-()=ω
ωg′(Z)+-lng(Z) (17)
在这个表达式中,由前面推倒可知:g(Z0)的一阶偏导等于0,右侧括号中最后一项的大小与其他项相比可以忽略不计,经过变形可以得到:
-()=ω (18)
在坐标空间,Z也与ωl相关,因此这个微分式变成:
-()=+ωN-+ - (19)
令所有ωl取值为1,(19)式经过变形会得到:
-()=1+(ε-U)- (20)
观察上述表达式右侧中括号内的项,当N和al的统计平均值趋于无穷时,相对涨落会趋于0。
通过第1部分和第2部分的分析可知,不管是在最概然分布还是在系综分布里,当N和al的统计平均值趋于无穷时,分布曲线变得非常陡峭,相对涨落会趋于0,平均值、最可能值或者概率不等于0的其他值都是一样大的,这也就是系综统计的结论在玻尔兹曼分布中可行的原因。
三、结论
通过前面的部分,我们知道在最概然分布法与平均值法之间存在很多相似性,两者都应用了统计近似和等概率原理。然而,包含在两种方法中的思想是有一点不同的,当使用最概然分布法时,我们认为最可能值或者数学极大值可以替代系统分布的相关统计值,而系综包含了很多的系统,因此相比最概然分布法,平均值法更适合于系综。而本质上,两种方法正代表了两种重要统计思想——特殊与平均。
参考文献:
[1]汪志诚.热力学与统计物理学[M].北京:高等教育出版社,2008.
[2]林宗涵.热力学与统计物理学[M].北京大学出版社,2007:250-271.
[3]E.薛定谔.统计热力学[M].徐锡申,译,陈成琳,校.北京:高等教育出版社,2014:33-59.