巧解多面体内切球和外接球问题

韩晓娟

摘 要：多面体的内切球和外接球问题是一直困扰广大高考考生的一个数学难点，但作为球体与多面体的一个综合运用，它又是高考的热门考点，它不仅对空间图形的想象力有很高要求，而且对不同问题之间的转化能力也有一定难度.如何找到多面体的内切球与外接球与多面体结构之间的关系？如何运用多面体几何特征与球的半径之间的关系？是高考备考的一个重要考点，如何将这个重点让学生既轻松又灵活地掌握是探究的主要任务。

关键词：内切球；外接球；多面体；体积；面积

多面体的内切球和外接球问题是一直困扰广大高考考生的一个难点，又是高考的热点，如何快速简单地解决这个问题呢？下面谈谈我的几点认识。

巧解一：用特殊图形体对角线求直径

1.与正方体或长方体的外接球的有关问题

3.正棱锥的外接球与内切球的问题

题3.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的内切球的表面积为_____________。

解析：如图2正四面体中，M为顶点P在下底面的射影，也就是底面三角形ABC的重心，

题4.已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？

解析：依题意，过顶点P做下底面的垂线，垂足为M，则外接球的球心在线段PM上，设为O点，连接OA，在RT△OMA中，OA=R，PM==3，OM=PM-R=3-R，MA=3，又OA2=OM2+MA2，解得：R=3

巧解二：补形法（出现相互垂直的“墙角”时，可补形为正方体或长方体）

巧解思路：如果在一个三棱锥中，同一顶点处有三条互相垂直的侧棱，就可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径。出现互相垂直的三條共点棱或互相垂直的三个共点面结构时用补形方法，联系长方体可将复杂的问题巧妙转化为简单问题从而轻松解决。

题5.如图3为某四棱锥的三视图，则求该四棱锥的外接球的表面积为___________

注：本文系2017年甘肃省教育科学“十三五”规划“陇原名师”专项课题“中学数学教学中图形教学的策略及效果研究”（立项号：GS[2017]MSZX057）的成果之一。

编辑 鲁翠红