从历史的角度看“讲理”的数学课堂

彭如武

“杂交水稻之父”袁隆平院士曾说过，他最喜欢外语、地理、化学，最不喜欢数学。袁隆平不喜欢数学的缘由来自其在少年时期的一些求学经历。当他去问老师“为什么负负得正”，老师蛮不讲理地告诉他“不要问为什么，记住就行”。后来他又去请教一个定理时，得到的结果还是一个不讲理的回答。由此，袁隆平就觉得数学“不讲理”，没有亲和力，对数学学习就失去了兴趣，成绩也不尽如人意。综观我们如今的教学现象，有多少孩子喜欢我们的数学，特别是“放宽了尺度”的基础“学科数学”。这就印证了章建跃教授说过的一句话：以逻辑性著称的数学学科，“不知所以然”的教学，“把原本讲道理的数学搞成了‘不讲理的学问，使原本最容易学的学科变成了最令人惧怕、生厌的学科”。

近日，笔者观摩了一堂由重庆市特级教师郭莉老师上的“用字母表示数”的课，让笔者的认识有了较大的转变，不是“数学不讲理”，而是我们没有上到“讲理”的那一层面，如果我们知道了所授知识的“前世今生”，知道了科学教学方法的掌握和运用，知道了教学知行合一的过程，我们的课堂就是讲道理的课堂，也是学生乐意接受的课堂。“用字母表示数”是代数知识的第一堂“正式”课，也是小学阶段的“种子课”，它是对学生认识上的一种颠覆，也是学生从算术过渡到代数知识的转折课。学生对这个知识点是很不乐意接受的，因为历史上从算术到代数的过渡经历了一千多年，漫长的过程浓缩到一堂课，让学生的认识发生改变，难度是够大的（学生在这之前对于代数知识也并不是一片空白）。怎么在课堂上用好代数的演变过程，这就是教师智慧的体现。

课堂上，郭老师分三个层次让学生理解用字母表示数。第一个层次，通过4张扑克牌玩“24点”的游戏，引出字母可以表示“具体的数”；第二个层次，通过师生的年龄差，引出字母可以表示“一定范围的数”及“数量关系”；第三个层次，通过摆三角形计算小棒的根数，引出字母可以表示“任意一个自然数”。其中在第二个层次中，郭老师为了引出一个“万能的式子”将学生的思维历程如同字母的历史演变过程一样，让学生自己“陈述”在黑板上：“学生的年龄+31”“X+31”“B+31”“a+31”……其中“X”特指“学生的年龄”（“学”字的第一个大写字母就是“X”）。郭老师通过对比、演示及学生的质疑，让学生“乖乖”地回到共识中来——“a+31”。三个层次中对于第一个层次“字母可以表示具体的数”，学生很乐意接受，因为它与学生的认识一致，算术的教学就是具体性教学，而后两个层次是代数的符号性教学，它与学生的认识相悖，数量关系还勉强能接受，特别不能接受的是“a+31”怎么会是一个结果呢？平常的教学学生往往一直在寻找a+31=。究其原因，是因为长期算术的思维方式让他们关注加工数的结果，而代数的思维方式更为关注不断变化的结果背后是依据什么数量关系加工出来的。这个转折性的认识不是一堂课所能完全转变的。郭老师就是认识到这种转折的不易性，在第二层次中，学生用一个式子表示老师年龄时，学生开始呈现的式子是乱七八糟的，经过郭老师有心的排序展现在学生面前的是“从算术到代数的发展过程”——“文辞代数”→“缩写代数”→“符号代数”，其实，数学史的发展过程也就是学生学习数学的认知过程。

“文辞代数”历史阶段的代表人物是8世纪阿拉伯数学家花拉子米，他用普通文辞来表达数学，比如其书中有这样一道题：把一个正方形面积加上其中一边的长度之10倍等于39时，此正方形必是什么？（用现代符号表示即为x2+10x=39）他的解答用语言描述就更为复杂。鉴于此种表达，不仅烦琐而且易起歧义，已经彻底抛弃，我们现在只是享用他提出的“代数”“移项”“合并”等术语，但他是当时人类的一个进步。郭老师课堂上学生的“学生的年龄+31”表示老师年龄的方法，就如同当时人类的认知一样，虽然烦琐但接近学生的最近发展区，更利于他们的接受与理解。

“缩写代数”历史阶段的代表人物是3世纪古希腊数学家的丢番图，他用音节的首字母缩写来表示数。在其著作《算术》中首先用符号“ζ”表示未知数，据说这是因为在用字母表示数的希腊计数制中，只有这个字母还没有用来表示数。在此基础上，丢番图又给出了表示未知数各次幂（到六次幂）的符号，并创造了表示相减的符号以及表示相等的符号。丢番图的符号虽然不完美，但毕竟是代数学发展史上的一个创举。而且我们现在还在用缩写的办法来表达意义，比如，长度单位“米”的英文单词是“meter”，所以单位“米”用字母“m”来表示；在“meter” 加前缀“centi”就表示米的百分之一，所以厘米“centimeter”就缩写为“cm”。课堂中学生用“X+31”（X特指学生年龄“学”字的第一个字母）表示老师年龄的方法，它比用文辞表示有了更大的优越性，学生的认识又推进了一层，只不过它具有特定性，不具有普遍性。

16世纪的法国数学家韦达提出了“字母表示数”的思想，引领了“符号代数”历史阶段。韦达是历史上第一個有意识、系统地使用字母的数学家，他用统一的字母表示未知量、已知量及其运算，被公认为对世代代数传统的突破，是代数学发展历史上的一座重要里程碑。韦达的符号还不彻底，也不成体系，但韦达超越了各类数量的具体特点，从一般意义上用字母来表示它们，省略了数学关系的实际情境，去掉了实际语言带来的差别，字母只是一个符号而已，若用一个小方块、一个小花图也丝毫不影响所列代数式的意义，它将人的认识和推理提高到一个更高的理性水平，呈现了代数化本质——抽象，是数学思想的进化。在郭老师巧妙地引导下，部分学生说出用“B+31”“a+31”来表示老师的年龄时，说明这部分学生已经步入了代数的“佳境”，郭老师没有就此停步，而是通过对比、质疑、辩论，让更多的学生触及代数的本质，人人都接受用字母表示数。

“文辞代数”（8世纪）与“缩写代数”（3世纪）的再现历史与数学内部逻辑不一致，说明数学的发展与数学内部逻辑有时不会并驾齐驱，它充满着反复、曲折、直觉乃至错误。历史的顺序不是数学内部的顺序，也不是教育的顺序。郭老师很好地把握了这一点，将学生的思维成果按内部逻辑展示、评价、顺应、提升，最终趋向抽象。

三个层次的教学，实际上就是一个从具体到抽象的过程，数字到字母的提升，实际上就是一个完整版的数学发展史。我们了解了数学的发展史，实际也就懂得了学生获得数学的思维历程，只要我们遵循学生学习数学的认知过程那我们就是一个“讲道理”的好老师。反之，我们就会被应试教育所左右，课堂上就会出现不求数学本质的理解，不问知识的来龙去脉，采用精讲多练、变式训练来掌握解题技艺，缺乏对数学本质及思想真正感悟的现象。

（四川省南江县东榆镇小学 636600）