球形装药内爆岩体破坏效应的准静态模型

刘先斌,蒋志刚,詹昊雯

(国防科学技术大学 基础教育学院,湖南 长沙 410072)

深埋地下的国防工程通常利用岩体作为遮弹层。抗侵彻性能和抗爆性能是评价岩体遮弹性能的重要指标,其中岩体抗侵彻性能已经得到了较多研究,而对岩体抗封闭内爆性能的研究较少。

目前,在封闭内爆条件下岩土介质爆腔尺寸的预测方法有半经验公式、准静态理论和动力理论三类。根据相似理论及大量模型试验建立的半经验公式与其适用范围内的情况能够较好地吻合,但是外延性较差。准静态理论忽略爆生气体渗漏并基于爆生气体爆炸前后的绝热关系求解爆腔尺寸,相对于半经验公式适用性较好,且比动力理论更加简单,计算耗费时间短,但不能体现爆腔的形成过程。动力理论根据冲击波理论和波阵面后介质不可压缩假设,求解爆腔尺寸,并能给出爆腔的动态形成过程,但需要较多岩石力学性能参数,且计算复杂。于成龙等[1]基于岩体的弹性—破裂—粉碎响应模式,对粉碎区采用Mohr-Coulomb(M-C)准则,得到了球形装药内爆破坏区域的准静态公式,其爆腔尺寸预测结果与岩土类介质封闭内爆的试验吻合较好。宗琦[2]和吴亮等[3]基于多向应力条件下岩石破坏强度经验公式,得到了柱形装药的准静态理论。唐庭等[4]基于岩体的弹性—裂纹—粉碎响应模式,对破碎区采用M-C准则,结合准静力解,得到了柱形装药内爆破坏区域的动力理论。宗琦等[5-6]基于岩体的弹性—裂隙—压坏—粉碎响应模式,建立了柱形装药内爆破坏区域的动力理论。张奇[7]基于岩体的弹性—裂纹—粉碎响应模式,得到了柱形装药和球形装药内爆破坏区域的动力理论。M-C准则可描述无围压或低围压岩石介质的剪切破坏,但不能体现高围压对岩石破坏的影响。Hoek等[8]在Griffith强度准则的基础上,考虑围压对岩石破坏的影响,通过大量三轴试验,建立了Hoek-Brown(H-B)准则,该准则可较好地应用于岩石-混凝土类介质的侵彻问题[9]。在封闭内爆条件下,粉碎区为三向受压应力状态,与侵彻解的粉碎区类似,因而采用H-B准则较为合理。

本文基于弹性—裂纹—粉碎响应模式,粉碎区采用H-B准则,建立了岩石介质封闭内爆条件下球形爆腔的准静态模型,得到了爆腔尺寸、粉碎区尺寸和裂纹区尺寸,与文献试验结果及已有相关准静态理论的计算结果进行比较,验证了模型的适用性。

1 基于H-B准则的球腔准静态模型

1.1 基本假设与基本方程

耦合装药的岩石介质内爆是一个复杂的动力过程。装药爆炸瞬间产生爆轰波和爆生气体,一方面爆轰波作用于孔壁并产生冲击波,导致孔壁周围岩石被压碎,形成粉碎区、裂纹区和弹性区;另一方面,爆生气体快速膨胀,并以准静态的方式作用于爆腔壁,导致岩石介质进一步破坏。在爆腔内压与岩石介质围压共同作用下,相应的响应状态达到静力平衡时,扩腔运动停止。

为简化求解,本文采用准静态理论的通常做法,即忽略爆生气体渗漏;针对爆生气体爆腔内压与岩石介质围压作用达到准静态平衡状态,通过绝热定律和弹塑性力学求解破坏区域半径,并假设岩石介质为弹性—裂纹—粉碎响应模式,如图1所示。图中,r,rc,rp,rcr和re分别为球坐标系径向半径、爆腔半径、粉碎区外半径(裂纹区内半径)、裂纹区外半径(弹性区内半径)和弹性区外半径。作如下假设:粉碎区服从H-B准则;裂纹区的环向应力为0,且其内半径处径向应力达到岩石介质的单轴抗压强度σu;弹性区为小变形,服从广义Hooke定律,且其内半径处环向应力达到岩石介质的单轴抗拉强度σf。

对于图1,各响应区的平衡方程均为

(1)

式中:σr,σθ分别为径向应力、环向应力,皆以受压为正。

粉碎区采用H-B准则[9]:

(2)

式中:σ1为最大主压应力;σ3为最小主压应力;m为无量纲经验系数,对于岩石类介质,可按经验公式计算[8]:

(3)

在r=re处,考虑边界条件:

r=re,σr=0

(4)

在r=rcr处,考虑岩石拉伸断裂强度条件、径向位移连续条件和径向应力连续条件,有:

σθ=-σf

(5)

u(rcr+)=u(rcr-)

(6)

σr(rcr+)=σr(rcr-)

(7)

式中:u为质点的径向位移;rcr+表示与边界rcr相邻且位于弹性区的半径;rcr-表示与边界rcr相邻且位于裂纹区的半径。

在r=rp处,考虑岩石极限抗压强度条件、径向位移连续条件和径向应力连续条件,有:

σr=-σu

(8)

u(rp+)=u(rp-)

(9)

σr(rp+)=σr(rp-)

(10)

式中:rp+表示与边界rp相邻且位于裂纹区的半径;rp-表示与边界rp相邻且位于粉碎区的半径。

1.2 破坏区域半径

当爆生气体内压与岩石围压达到静力平衡时,基于弹性—裂纹—粉碎响应模式,根据弹塑性力学可求解爆腔半径、粉碎区半径、裂纹区半径与爆腔内压之间的关系式,结合球形装药的绝热定律,从而得到爆腔半径、粉碎区半径、裂纹区半径与装药半径的关系式。

根据绝热定律,球形爆腔壁上的压力关系式为[10]

(11)

对于图1所示响应模式,弹性区采用广义胡克定律,代入平衡方程式(1)求解,并根据边界条件式(4)和拉伸断裂强度条件式(5),得到应力场和位移场;裂纹区采用广义胡克定律,将σθ=0代入式(1),并根据强度条件式(8)和径向位移连续条件式(6),得到径向应力和位移;粉碎区采用式(2),代入式(1),并根据径向应力连续条件式(10),得到粉碎区径向应力方程:

(12)

考虑r=rcr处径向应力连续条件式(7)及re→∞,可得rp和rcr的关系:

(13)

假设粉碎区质量守恒,考虑r=rp处位移连续条件式(9)及re→∞,可得:

(14)

式中:ν为泊松比;E为弹性模量。

将式(14)代入式(12),并取r=rc,σr=σrc,可得到爆腔壁径向压力σrc的方程[9]为

(15)

令σrc=p,rc=Rγ,联立式(11)和式(15)可得:

(16)

粉碎区半径与爆腔半径的关系为[9]

(17)

可得粉碎区半径与装药半径的关系为

(18)

裂纹区半径与粉碎区半径的关系为[9]

(19)

可得裂纹区半径与装药半径的关系为

(20)

2 算例分析

参照文献[11-13]岩石类介质封闭内爆试验,取岩石和装药的参数如表1所示。文献[12]未给出砂岩的内聚力K、内摩擦系数f、单轴抗压强度σu、单轴抗拉强度σf和密度ρm;本文按文献[14],取K=6 MPa,f=0.84;按文献[15]取σu=67.9 MPa,σf=2.537 MPa;按文献[4]取ρm=2 405 kg/m3。文献[10-12]均未给出岩石材料的纵波波速vp,本文根据文献[10]计算得到;文献[13]未给出岩石材料的单轴抗压强度σu、单轴抗拉强度σf、弹性模量E、泊松比ν和剪切模量G,本文按文献[5]取值;文献[11,13]采用TNT装药,其密度ρ0和爆速vD按文献[1]分别取为1 650 kg/m3和6 900 m/s;m按式(3)计算,取值范围为4.8～25.9。

表1 试验工况及岩石参数

注：“*”表示3号煤矿抗水炸药。

表2给出了表1工况下爆腔尺寸(rc/r0)式(16)计算结果与试验结果的比较,令ηc=rc/r0,m按式(3)计算所得结果记为m1。m取值对爆腔尺寸计算结果有一定影响,m越大,σu/|σf|越大,抗压性能越好,爆腔尺寸越小。文献[11]有机玻璃爆腔尺寸取m=5的误差最小为-5.8%,取m=25的误差最大为-10.6%,而取式(3)m值的误差为-9.2%,表明式(3)高估了有机玻璃的抗压性能,但与m=5的差别小于4%;文献[12]砂岩爆腔尺寸取m=10的误差最小为-0.2%,取m=25和取式(3)m值的误差最大为-2.7%,表明式(3)略高估了砂岩的抗压性能;文献[13]花岗岩、玄武岩和辉长岩爆腔尺寸取m=5的误差最大分别为7.1%,8.8%和11.4%,取m=25的误差最小分别为1.2%,2.6%和5.5%,而取式(3)m值的误差分别为7.1%,7.5%和10.5%,表明式(3)低估了花岗岩、玄武岩和辉长岩的抗压性能,但与m=25的最大差别小于6%。

表2 式(16)爆腔尺寸ηc计算结果

表3给出了表1工况下爆腔尺寸(rc/r0)的本文计算结果与试验及相关文献方法计算结果的比较。其中,式(16)计算结果取表2中误差最小时的最佳计算结果;文献[1]为粉碎区采用M-C准则的准静态球腔模型;文献[3]为采用多向应力条件下岩石极限抗压强度经验公式的准静态柱腔模型;式(22)由经验公式(21)得到,即取岩石的极限抗压强度σs为

(21)

式中:vp为纵波波速;σc为岩石单轴抗压强度,即σc=σu。

令p=σs,Rγ=rc,联立式(11)和式(21),得到爆腔半径与装药半径的关系为

(22)

表3 爆腔尺寸ηc计算结果

注：“-”表示文献[1]方法不适用。

由表3可知:

①式(16)计算结果与试验结果吻合较好，误差范围为-5.8%～5.5%。

②除文献[13]玄武岩试验外,文献[1]的计算结果与试验结果吻合较好,误差范围为-2.7%～-10%。但是,由于文献[1]粉碎区采用了M-C准则,不能体现高围压的影响,导致按文献[1]求解文献[13]玄武岩得到的爆腔壁压力大于初始爆炸瞬时压力,爆腔尺寸(rc/r0)小于1,不符合绝热定律,即文献[1]公式不适用。此外,文献[1]爆腔尺寸计算结果均小于试验结果,其原因可能是M-C准则高估了岩石的抗压性能。

③式(22)和文献[3]计算结果均偏大,最大误差分别为21%和37.1%。其原因可能是式(21)经验公式低估了球形装药内爆条件下岩石破坏强度,而柱形爆腔公式不适用于球形爆腔。

表4给出了粉碎区尺寸(rp/r0)和裂纹区尺寸(rcr/r0)的本文计算结果与文献[1]计算结果的比较。m分别按式(3)和爆腔尺寸误差最小2种情况取值,分别记为m1和m2;令ηp=rp/r0,ηcr=rcr/r0。此外,文献[11-13]岩石封闭内爆试验未能得到粉碎区和裂纹区尺寸的试验数据。

表4 粉碎区尺寸ηp和裂纹区尺寸ηcr计算结果

由表4可知:

①本文方法2种m取值的计算结果很接近,最大相对误差约为5%,即m对rp/r0和rcr/r0的影响较小,可近似按式(3)计算m。

②本文与文献[1]比较,文献[1]粉碎区尺寸较小,最大相对误差约为42%;本文与文献[1]裂纹区尺寸较接近,最大相对误差约为18%。究其原因,可能主要是粉碎区准则不同所致。

3 结束语

本文基于弹性—裂纹—粉碎响应模式和H-B准则,建立了岩石介质在球形装药封闭内爆条件下的准静态模型,得到了爆腔尺寸、粉碎区尺寸、裂纹区尺寸。结论如下:

①本文基于H-B准则模型的爆腔尺寸计算结果精度较高,误差范围为-5.8%～5.5%,且适用性较好;m取值对爆腔尺寸有一定影响,m增大,爆腔尺寸减小,但m对爆腔尺寸、粉碎区尺寸和裂纹区尺寸的影响不显著,可近似按式(3)计算。

②文献[1]基于M-C准则的准静态模型不能体现高围压的影响,导致爆腔尺寸的预测结果偏小,且存在爆腔壁压力计算结果过大而导致爆腔尺寸(rc/r0)小于1的不适用情况。

③式(21)岩石破坏强度经验公式低估了球形装药内爆条件下的岩石破坏强度,柱形爆腔公式不适用于球形爆腔。

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