数学：阅读是最好的学科教养

文 / 王耀杨（北京大学附属中学）

答案就在数学书里

10年前，当我以一位化学专业出身、有着3年高中化学教龄的教师身份开始攻读数学史专业的硕士研究生时，我对自己“学困生”的身份深信不疑，并做好了多次重修某些数学专业课才能毕业的心理准备。这时，一位同学帮助了我。他的帮助非常切实：一道不论多么简单的习题，先明确其核心概念，然后找到教材中对于此概念的界定与相关解释，最终将这些核心概念串联起来以形成完整清晰的说理过程。

那一阵子，我经常有恍然大悟的感觉，虽然维持不久就又陷入新的迷惑之中。最终的结果可谓公平：我并没有一跃成为优等生，但总算成功达到了各科老师的基本要求而得以避免重修。

回想起来，这段经历对于我的教师生涯来说，最大的价值在于它迫使我不断思考：一位学业水平不那么出色的数学学习者，最需要什么样的帮助？我的答案是安全感。作为一个基础薄弱的学习者，我需要有人不断提醒我“这个概念的正确含义是什么”，不断指点我“这个过程应该这样书写才合理”，甚至要告诉我“这个符号应该这么写”……但是谁有这么高的水平还能这么清闲，甚至全天候地为我一个人答疑解惑？

很简单，就是数学书！有些难度较大的课，任课教师甚至会专门指定一本书作为参考读本，因为越难的东西越需要专心来“啃”。对于我来说，这本书简直就是万能的，有什么不懂的地方都可以向它求助，一遍读不懂就多读几遍；更重要的是，得到它的帮助后我通常还会收获一种“学困生”特别需要的东西——成就感。

这种成就感很好地支撑着我直到今天对数学仍然保持狂热的激情，我如饥似渴地阅读各种数学主题，哪怕它只是一个有趣但是相对零散的问题，或者是一种纯理论的整合与重写……重要的是，我能够从“自己努力读懂一些”这个过程中建立无与伦比的满足感，而且我相信，在过去的若干年时间中，我的学生们也很好地感受到了这种满足感。

帮助学生学会阅读教材

脑科学早有研究：阅读不是人脑任意单一区域的功能，而是必须通过多区域合作才能实现的功能。这在很大程度上意味着阅读本质上是后天的习得性技能，需要“学而知之”。作为教师，我认为自己有义务做好常规数学课堂中的阅读方法指导。

常规课堂中，最核心的精密文本就是人手一本的数学教材，而我的一项主要教学任务，就是帮助学生学会读这本书。实际上，教材是一份相当不错的阅读文本！

此外，帮助学习者掌握读教材的技能还有一项好处——建立自信心！对于基础薄弱的学生，有教材可以参照，无论是遇到概念模糊、方法或原理的遗忘，乃至种种书写细节要求的问题，都有最可靠的信息参照源。

在教学实践中我发现，一些原本对数学学习自我感觉不佳的学生，经过两到三次查阅教材解答疑惑的体验之后，便迅速建立起“原来学数学并没什么神秘啊”的感觉。而那些基础相对较好的学生，一旦发现“原来可以自己读书学数学”后，便会迅速转向自主阅读，并根据个人的趣味和需求选择合适的参考书。

相信很多初中数学教师都会有类似体会：新初一开篇的有理数章的教学，无论是就设计还是实施而言，都是越来越困难了。对于教师来说，在进行有理数章教学设计时，一项很重要的考虑就是帮助学生调整心态，让他们意识到需要投入体验的东西还有很多。下面是我的一些尝试。

图片中呈现了人教版七年级（上）教材第17页的部分内容。篇幅不大，但是包含非常丰富的信息。我曾请学生一起阅读并描述自己看到的东西，结果令人惊喜。以下是学生发言的概括整理：

① 如果用有理数表示运动，那么连续运动就可以表示成有理数加法，加法结果就是连续运动的总体效果（即多次运动的效果等同于一次运动）；这种加法可以不限于两次。

② 有理数加法的规律可以通过运动的具体实例归纳出来，结果是自然的。

③ 从运动角度来理解，验证了加法有交换律。

④ 有学生质疑说“有理数不是表示数轴上的点吗”，立即有学生提示说教材前文（同版教材第16页中部正文“一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正，向右运动5m记作5m，向左运动5m记作-5m”）有说明。进而有人提出“表示为数轴上的点”实际上是“表示为数轴上的运动”的特例，以为前者可以看成是从原点出发的运动结果。

⑤ “云朵”中的话指出：算式也可以直观呈现为动点。

⑥ 有学生很敏锐地发现：数学文本中的“句号”是一个点，这与语文书中常见的形式是完全不同的！通过翻查与对照，学生很快确认了这一书写规则。很快又有人指出：数学中表达式的写法是：先将正文另起一行，然后在下一行中间写表达式，该行最右端标记编号；这一规则也在教材中其他地方得到了验证。

从我提出问题“请大家谈谈自己阅读这段文字后想到的东西”到讨论结束，足足经过了20分钟！但是很值得，因为学生把需要思考清楚的事情都在头脑中整理了一遍。我备课时预想的结论是①～⑤这几条，原本以为学生考虑不周，就自己补充提出问题，但是整个过程中孩子们很积极，读书细心的孩子甚至主动发现并提出了我原本没有想到的结论⑥，最后所有学生还一起翻查教材来验证这个结论。这节课后，同学们对于“数学文本的书写有明确的格式规范”这件事留下了深刻印象。

文本的阅读能力本质上是习得性的技能，既然如此，学生由于以往经历和体验的侧重方式不同，未必都能快速找到自主阅读和思考的感觉。在这样的前提下，教师适当多提供一些引领和示范，并不简单等同于“全盘灌输”。

我们无须讳言“手把手地教”这样的教学方式，最关键的是要做到对文本内容的通盘把握，不论学生提出何种有价值的思考和疑问，我们都需通过精心的准备再尽量给予应有的回应和指点。这才是使每个学生阅读有所提高的保障。

布置一份假期阅读“作业”

课外阅读如何延伸？比如假期，指定几本书的某些相关章节作为阅读任务，学生可以从几项任务中选择一项作为自己的“必做项”阅读作业，还可以从这几本书中选取其他章节或者索性自己选一本书作为“选作项”阅读作业。

对于阅读作业，我会提供明确的完成要求，也是分成几个方向和层次的要求供学生选择。对于学生而言，这些要求大部分本就是常规课堂中已明确的，不过是根据自己假期的总体安排而选择具体的标准来操作而已。

在最新版的人教版数学教材中，首次出现的几何章节是第4章《几何图形初步》。它既要为整个中学阶段的几何学习内容打开一扇窗，又要为凸显初中阶段强调说理的要求做一个强有力的开场白。

我在假期作业中布置了一份“自主阅读＋动手探索”的作业，请学生阅读书籍《发展空间想象力》（刘培杰数学工作室组织编译，哈尔滨工业大学出版社）。这是一本包含极多立体几何趣味问题的书，我的作业是请学生从中选择一个感兴趣的问题，通过动手制作模型把道理研究清楚，以阅读报告的方式提交自己的研究成果。下面介绍一个女孩子提交的研究报告。

她选择了《发展空间想象力》第一部分的第119题，原问题如下：

按照她的说法，一看到这个问题就觉得很有趣，但又不得要领，不知从何入手。不过，当她用硬纸片和图钉亲手制作了一个模型之后，很快找到了诀窍：原来这只是“三角形稳定性”的一个类比推广。想明白道理之后，她发现要解决题目中的10个小问题原来花不了多少时间，因为最难的就是第一步！而迈进这一步的诀窍，就是亲手制作，在实际操作中感受和理解。

如何推荐数学阅读文本

以下原则是需要教师认真考量的：

1.被推荐的学习者对于精密数学文本的阅读已具有何种水平？

2.对于被推荐的学习者来说，该书所要求的预备知识是否到位？

3.对于被推荐的学习者来说，贯穿全书的价值观念是否为其所认同或希望认同？

最理想的情况是：教师引领学生掌握阅读特别是品鉴精密文本的能力，学生自己到大型图书馆或类似平台根据个人趣味自主挑选读本。

在我个人的实践中，一般会建议小学六年级毕业生尝试阅读一些入门级读物，其中最常推荐的是湖南科学技术出版社的《数学圈》，作者H. W. Eves是著名的数学史家，各种典故趣闻信手拈来，妙语点评随处可见，即使对于数学知识储备有限的读者，也仍然是一种激发兴趣的优秀读本。

适合于初中生的代表读物包括人民邮电出版社的《勾股定理：悠悠4000年的故事》和《三角之美：边边角角的趣事》。我本人最乐于推荐的则是上海科技教育出版社的《2的平方根：关于一个数与一个数列的对话》。该书模拟一位循循善诱的教师与一个充满好奇心和热情的学生之间的对话，展开了对根号2这个无理数的一系列研究，既有数值尝试、提出猜想和举例否定的种种探索过程，也有逐步形式化直至完整说理的清晰论证，是一本“授人以渔”之书。

一般人认为，“阅读”是语文的事，与数学关联不大，但在我看来，阅读是最好的学科教养，数学也同样如此。