基于弱可观状态分离估计的机载灵巧弹药快速传递对准方法

米长伟， 赵宏宇， 吴旭， 宋立平

(中国兵器工业集团有限公司 航空弹药研究院， 黑龙江 哈尔滨 150036)

0 引言

机载灵巧弹药适用的捷联惯性导航系统，其微机电系统(MEMS)的惯性测量单元(IMU)陀螺漂移误差比较大(国产MEMS IMU零偏可达300°/h以上)，因此需要开展机载武器国产低成本MEMS IMU的应用研究。

在已有的研究中，Kain等[1]分别建立了24维传递对准模型和18维次优传递对准模型，对陀螺零偏、标定误差等均进行估计补偿，并通过快速机动方法在10 s内实现状态的收敛，但该算法并未说明IMU误差的收敛速度。梁浩等[2]和夏家和等[3]提出了改进的速度+姿态匹配传递对准算法，以期从滤波算法模型的角度解决快速传递对准问题。秦峰等[4]在Kain等[1]的基础上建立了27维全维传递对准模型和18维降维传递对准模型，并进行了全维和降维对准算法验证，两种算法精度相当，安装误差角的收敛时间约为35 s. 基于Hermite矩阵谱分解的可观测分析方法，周本川等[5]分析了速度+航向传递对准算法的可观测度，并指出可观测程度较弱的天向陀螺漂移收敛时间为4 min.

关于非大机动条件下的快速传递对准算法，国内外学者均未提出有效办法。目前国内多型机载武器均采用延长对准时间的方法来保证精度[6-9]。

为填补非大机动条件下快速传递对准算法的空白，本文结合靶场试验工程经验，提出了基于弱可观测状态分离估计的灵巧弹药快速传递对准算法。其中，针对制约传递对准时间的关键因素(MEMS陀螺零偏)，提出MEMS IMU大零偏快速两点估计算法。首先，以可观测度为评价标准分析制约传递对准快速性的关键因素；其次，提出MEMS IMU大零偏快速估计算法——零偏两点估计法，以及基于弱可观测状态分离估计的灵巧弹药快速传递对准算法，并提出估计系统噪声方差矩阵Q的变分贝叶斯- 卡尔曼滤波(VBQ-KF)算法来抑制状态分立估计器中状态噪声统计特性变化对传递对准滤波器收敛的影响；最后，通过数学仿真和靶场试验来验证算法的有效性。

1 基于状态分离的灵巧弹药快速传递对准算法

传递对准算法采用Kain等[1]提出的速度+姿态匹配快速传递对准算法的降维改进形式。

1.1 传递对准算法降维模型

速度+姿态匹配传递对准算法模型降维改进形式[1]为

(1)

(2)

(3)

MEMS陀螺量测模型可以表示为

(4)

(5)

式中：τ为时间系数；nr为白噪声。

灵巧弹药在挂飞传递对准过程中已完成上电稳定，因此可以进一步简化其误差模型为常值漂移和白噪声随机漂移项:

(6)

式中：ε为常值漂移；υ为白噪声随机漂移项。

由于机载灵巧弹药传递对准过程可实现定高平飞，进一步忽略天向速度误差状态，选取降维状态变量为[δVe,δVn,φx,φy,φz,εx,εy,εz,φax,φay,φaz]T. 其中，δVe、δVn为东向和北向速度误差，φx、φy、φz为φm的3个投影分量，εx、εy、εz为εs的3个投影分量，φax、φay、φaz为φa的3个投影分量。

为节省传递对准时间、提高载机的安全性和快速反应能力，需要以可观测度为评价标准来分析待估计状态变量的收敛时间。可观测度表征了系统中可估的状态变量以及可估状态变量的收敛速度，即状态变量的可观测性和可观测度，国内外学者围绕该问题作了大量研究[6-8]。本文引入奇异值分解(SVD)和解析法来分析传递对准算法的可观测度，作为快速传递对准算法的理论依据。

1.2 可观测性分析

可观测性分析方法通常利用系统估计误差协方差中提取的特征值和特征向量以及可观测性矩阵的奇异值等来描述系统的可观测度；还可以用观测量及其高阶微分项为变量建立状态变量和观测量的函数关系，进而分析归纳系统的可观测性和可观测度。

1.2.1 基于SVD的传递对准可观测分析

采用基于SVD方法分析MEMS惯性导航系统传递对准可观测性，涉及的算法模型状态空间形式如下：

(7)

式中:X为状态变量；A为系统状态矩阵；W为噪声适量；Y为量测适量；C为观测矩阵。

由现代控制理论可知，系统的可观测矩阵H为

(8)

灵巧弹药挂飞传递对准过程中，需要保持定高平飞并保持匀速。为简化可观测性分析，分析时忽略天向通道。可观测性仿真中，载机速度设为200 m/s，载机经度与纬度为(105.325°，38.875°)，载机气压表高度为7 400 m，主惯性导航系统IMU精度为(0.01°/h，0.001×10-3g)，子惯性导航系统IMU精度为(100°/h，0.1×10-3g)。经计算可知H的秩为11，所有状态均可观测。对系统进行SVD，得到11个奇异值并计算各个奇异值对应的状态变量初值，绘制奇异值直方图如图1所示。

由图1可见，δVe、δVn作为直接观测量，其对应的奇异值为1，可将奇异值作为状态变量可观测度的分析依据。其中，φax、φay的可观测度为9.832 7和9.835 2，φaz的可观测度为1.005 3，由可观测度判断原则可知，3个安装误差的可观测程度较为理想。图1中只保留了可观测度较弱的4个状态变量φaz、εx、εy和εz的奇异值直方图。其中，图1(a)所示为状态变量εaz的可观测度，图1(b)和图1(c)所示分别为IMU陀螺零偏εx、εy的可观测度，图1(d)所示为εz的可观测度. 上述分析结果与实际挂飞试验结果一致，安装角可以得到快速估计。但是为了标校MEMS陀螺，实际上需要进一步延长挂飞传递对准时间。

1.2.2 解析式可观测度分析方法

根据(1)式～(6)式的传递对准状态模型，可以得到可观测分析模型如下：

(9)

(10)

(11)

式中：fn为导航系加速度值。

定义y1=δV,y2=φm. 通过可观测模型以及求导和方程组联立，可以计算得到：

(12)

进而可得

(13)

由(13)式确定出φa后代入(10)式，整理可得

(14)

综上所述可以判定4组状态向量的可观测程度依次为：δV和φm最高，φa居中，εs最弱。

本文采用的解析式可观测度分析方法与基于SVD的可观测分析方法得出了相同结论：MEMS陀螺零偏εs的估计是制约传递对准快速性的根本原因。

1.3 状态分离的快速传递对准算法

通过1.2节关于传递对准算法可观测度分析的结论可知，提高机载灵巧弹药快速作战响应的关键在于MEMS陀螺零偏的快速估计。下面借鉴文献[7]提出适用于机载灵巧弹药的快速传递对准算法。首先，采用本文快速传递对准算法对传递对准状态进行分离。从(2)式中分离出可观测程度较弱的状态εs并设计弱可观测状态的快速估计算法。然后，重组状态分离后的降维传递对准模型，进行状态量φa、φm滤波估计。

1.3.1 解析式MEMS陀螺零偏两点估计法

解析式两点估计法基于以下2个近似：

首先建立陀螺量测模型，零偏两点估计算法主要涉及常值零偏的处理，因此建立如下量测模型：

(15)

由于IMU安装中存在倒装问题，在处理过程中实际安装位置为：x轴指向弹体纵轴向后；y轴指向弹体纵轴向下；z轴指向弹体纵轴右侧。数学描述中，弹体系的坐标系为前上右(xbybzb)。因此，在数学解算时，要对实际IMU的x、y轴取反。即

(16)

而z轴保持不变，进而可得

(17)

零偏两点估计算法具体描述为

(18)

(19)

(20)

(21)

代入已知条件可得

(22)

(23)

(24)

进而可得

(25)

式中：Te为误差传递矩阵。

对于小角度误差角，其误差传递矩阵为

(26)

式中：φy为偏航方向误差角；φr为滚转方向误差角；φp为俯仰方向误差角。

由于忽略了挂点处灵巧弹药的小角度安装误差影响，上述误差角均由陀螺量测误差引起，此时结合建立陀螺的量测模型，对(17)式左侧常值零偏积分，得到：

(27)

由此进一步结合灵巧弹药IMU的安装方式，可得常值零偏估计值为

εx=-φr/(t1-t0),
εy=-φy/(t1-t0),
εz=φp/(t1-t0).

(28)

1.3.2 时间间隔Δt的选取

结合(6)式和捷联惯性姿态解算原理可得

(29)

基于上述理论分析，再结合实际工程经验，可确定Δt的选取原则如下：

1)基于姿态误差的周期性，时间间隔Δt选取不宜过长。

2)IMU数据中隐马尔可夫模型/递推最小二乘(HMM/RLS)随机漂移处理算法的迭代需要时间，因此Δt不宜过短。同时系统选择的IMU采样率为400 Hz，1～3 s即可保证足够的算法处理样本点。

3)约束载机的平稳飞行时间Δt为1～3 s，以期降低飞行员的操作复杂度。

综合以上因素可知，Δt取值可以确定，且需要结合IMU器件特性作进一步工程化选取。

1.3.3 VBQ-KF算法

MEMS陀螺量测模型(6)式中的随机漂移项υ可以通过HMM/RLS等处理方法得到有效处理[10-11]。HMM/RLS算法构建了MEMS陀螺仪的HMM模型，同时分析传统隐马尔可夫模型/卡尔曼滤波(HMM/KF)算法的核心是利用KF算法求解滤波增益矩阵，因此采用RLS算法迭代求解滤波增益。快速收敛的滤波器增益可以保证随机漂移处理算法的实时性和降噪效果，但是该方法对传递对准滤波算法的设计提出了新问题：即传递对准滤波器状态方程中系统状态噪声参数设置的不确定(由于状态噪声设计由IMU器件统计特性确定)，本文针对此问题，借鉴Sakka的量测噪声变分贝叶斯- 卡尔曼滤波(VBR-KF)算法[12](VBR-KF算法能够自适应量测噪声统计特性的变化)提出VBQ-KF改进算法，以达到对状态噪声的自适应。该算法相比于基于新息或残差的自适应卡尔曼滤波(IAR-KF)算法省略了数据的存储，降低了算法复杂度。

VBQ-KF算法步骤如下：

1)时间更新。

k|k-1=Fk,k-1k-1,
Pk|k-1=Fk,k-1Pk-1Fk|k-1+k-1,
αk|k-1=ραk-1,
βk|k-1=ρβk-1,

(30)

2)量测更新。可进行多次迭代，考虑到计算复杂度，本文仿真均只进行一次迭代:

(31)

k=diag(βk/αk)，

(32)

式中：αk=[αk,1,αk,2,…,αk,d]；βk=[βk,1,βk,2,…,βk,d]；k为k时刻状态噪声方差矩阵的估计值；d为k的矩阵维数。

利用变分贝叶斯参数αk和βk求得k，从而实现对状态噪声统计特性变化的自适应：

Kk=Pk|k-1HT(HPk|k-1+Rk)-1，

(33)

k=k|k-1+Kk(Zk-Hk|k-1)，

(34)

Pk=Pk|k-1-KkHPk|k-1，

(35)

βk=βk+(Zk-Hk)2/2+diag(HPkHT)/2，

(36)

式中：Kk为滤波增益；Zk为观测矢量；Rk为观测噪声方差矩阵(已知)。

1.3.4 快速传递对准算法

算法实现步骤如下：

1)利用本文快速零偏估计算法，在3 s时间段内完成对大MEMS零偏的估计。

2)补偿估计的MEMS陀螺零偏。

3)利用降维传递对准算法，结合本文所提出的VBQ-KF算法实现状态估计。具体状态向量为[δVe,δVn,φx,φy,φz,φax,φay,φaz]T. 该方法通过对传递对准滤波器进行降维处理，进一步降低算法复杂度。

4)通过φa、φm的时间窗方差特性收敛判据，判断步骤3的结束并补偿状态估计值，完成传递对准。

2 仿真及试验验证

2.1 算法仿真验证

为验证本文所提算法的有效性，首先按照数据发生器、主惯性导航系统数据模拟器、子惯性导航系统数据模拟器、快速传递对准算法及评估模块的仿真软件架构进行数学仿真。仿真设置条件如下：仿真时间2.5 s，步长2.5 ms，初始位置为纬度38.916 7°、经度105.276 8°、高度7 279.82 m，初始姿态滚转角0.5°、俯仰角0.5°、航向角-45°，对应的初始姿态误差为(0.6°，0.7°，2°)，姿态运动角速度为(0.025 rad/s，0.026 rad/s，0.027 rad/s)。

仿真中载机主惯性导航系统数据模拟器和灵巧弹药子惯性导航系统数据模拟器的具体参数设置如下:载机主惯性导航系统陀螺零偏(0.01 °/h，0.01 °/h，0.01 °/h)和加速度计零偏(0.01×10-3g，0.01×10-3g，0.01×10-3g)；弹载MEMS惯性导航系统陀螺零偏(140 °/h，150 °/h，160 °/h)和加速度计零偏(0.1×10-3g，0.1×10-3g，0.1×10-3g)。其中，传统算法采用静态测量值求均值，载体的任何角运动最终都反映到零偏估计值中，误差比较大；而解析式两点估计法需要在t0和t1时刻提取载机的位置数据、姿态数据，进而剔除角运动影响、提高估计精度。具体数学仿真零偏估计结果如表1所示。

表1 数学仿真零偏估计结果

从表1可以看出，两点估计法可快速估计出94%以上的零偏值，相比于传统算法，估计精度大大提高。图2表明了VBQ-KF相比于KF，能抑制IMU器件统计特性变化对传递对准滤波器收敛性的影响。

2.2 快速传递对准算法的靶场试验数据分析

利用本文方法进行靶场试验验证，靶场试验的MEMS IMU选用中国电子科技集团有限公司某研究所研制的国产高度集成MEMS IMU. 试验中，实际MEMS IMU零偏真值为：-846.666 4 °/h、137.295 9 °/h、8.726 4 °/h. 靶场试验零偏估计对比结果如表2所示。

表2 靶场试验零偏估计对比

图3～图6为靶场试验数据处理结果，同时结合表2可以看出：本文提出的两点估计法能够有效地处理陀螺漂移；对准第1阶段耗时2.5 s；安装误差角也得到快速估计，第2阶段耗时5 s，5 s内状态变量估计值已稳定收敛(见图6)。靶场试验过程中的弹体姿态角如图4所示。由图4可见，弹体姿态计算较为理想，滚转通道基本实现了无滚转，俯仰通道随动，弹体缓慢低头，偏航通道由于作了5°的离轴发射，最后也达到了实际效果。通过弹落点的位置也印证了上述过程分析的正确性。图6所示结合载机挂架安装误差信息获得的方位失准角误差曲线也验证了滤波算法的收敛特性。

3 结论

经仿真和靶场试验试验证明，本文提出的基于弱可观测状态分离估计的快速对准算法，能够有效节省传递对准时间，满足机载灵巧弹药作战应用。其中解析式零偏两点估计法，仅利用相隔Δt时间两时刻的载机姿态和位置数据，能够估计补偿不少于88%的陀螺零偏；VBQ-KF方法能自适应IMU器件特性变化，状态估计的收敛精度和收敛时间均优于传统算法。

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