一阶动态电路零状态响应公式的通用拓展

周 波 赵子瑜 谢天壤

(1.北京理工大学 集成电路与电子学院,北京 100081)(2.北京理工大学 徐特立学院,北京 100081)

一阶动态电路的三种响应及其公式是“电路分析”课程教学中的重要部分[1-5]。现有课程及教材,都提到一阶动态电路的零输入响应公式(1)及全响应(三要素法)公式(3)均适用于状态变量与非状态变量,而且全响应是零输入响应与零状态响应的叠加(代数和);但是零状态响应公式(2)却只适用于状态变量,不适合非状态变量[1-3]。这一结论让学生很困惑——既然式(1)和(3)适用于所有变量,而式(3)是式(1)和(2)的代数和,那么式(2)为什么对非状态变量不具有状态变量那样的普适性?

f零输入(t)=f(0+)e-t/τ

(1)

f零状态(t)=f(∞)(1-e-t/τ)

(2)

f全响应(t)=f零输入(t)+f零状态(t)

=f(0+)e-t/τ+f(∞)(1-e-t/τ)

=f(∞)+[f(0+)-f(∞)]e-t/τ

(3)

这里,τ定义为时间常数,是电路的固有特性,跟三种响应类型没有关系,在一阶RC电路中τ=RC,在一阶RL电路中,τ=L/R;f(t)代表t时刻任一变量的瞬时值,f(0+)代表变量在电路状态发生变化后瞬间的瞬时值,f(∞)代表变量在电路状态变化后再次进入稳态时的值。

为了解决学生的这一困惑,本文补充和拓展了一阶动态电路零状态响应的公式,使其不仅适用于状态变量,而且适用于非状态变量。并通过两个实例讲解,阐述了对于所有变量,该拓展公式在一阶动态电路分析中的应用价值。

1 零状态响应的局限性及公式拓展

为了后续进一步说明,这里先阐明三个基本概念:①状态变量(电容电压或电感电流)是不能突变的,即f(0+)=f(0-),而非状态变量是会突变的,即f(0+)≠f(0-);②零输入响应与全响应对应的同一变量的初始值未必相等,即式(1)和(3)的f(0+)未必相等,这是因为一个有电源激励(全响应),一个无电源激励(零输入);③零状态响应时,对于状态变量有f(0+)=0,对于非状态变量f(0+)不一定等于0。

基于这三个概念,对式(1)和(3)进行调整,得到式(4)和(5)。这里,f(0+无电源)指无电源情况下变量在换路瞬间的瞬时值 (对状态变量则为初始值),f(0+有电源)指带电源情况下变量在换路瞬间的瞬时值 (对状态变量则为初始值)。

f零输入(t)=f(0+无电源)e-t/τ

(4)

f全响应(t)=f(∞)+[f(0+有电源)-f(∞)]e-t/τ

=f零输入(t)+f零状态(t)

(5)

基于叠加定理,将式(5)与式(4)作差,得到零状态响应如公式(6)所示,这才是所有变量都通用的一阶动态电路零状态响应的拓展公式。

f零状态(t)=f(∞)(1-e-t/τ)+[f(0+有电源)-f(0+无电源)]e-t/τ

(6)

对比式(2)和(6),不难发现,对于状态变量的零状态响应,有f(0+无电源) =f(0+有电源) = 0,此时式(6)才简化为式(2),即现有的零状态响应公式(2)适用于状态变量;对于非状态变量的零状态响应,有f(0+无电源) ≠f(0+有电源),此时式(2)不等于式(6),即现有的零状态响应公式(2)不适用于非状态变量。

对于“电路分析”课程涉及的任一线性电路,在零状态响应下,f(0+无电源)=0恒成立,这是因为在直流电源及电容电压或电感电流初始值均为0的情况下,所有变量的初始值也为0。因此,式(6)可进一步简化为式(7)。

f零状态(t)=f(∞)(1-e-t/τ)+f(0+有电源,零状态)e-t/τ

(7)

考虑式(7)有三个要素:f(∞)、f(0+有电源,零状态)和τ,我们称之为零状态三要素法。提议的求解零状态响应的零状态三要素法跟教材讲授的求解全响应 (零状态+零输入) 的三要素法区别如表1所示。

如表2所示,分析比较了教材传统零状态响应公式与本文提议的通用零状态响应公式。至此,本文解决了学生的疑问。教材和课程讲授的式(2)是只适合状态变量的传统型零状态响应公式,而本文提出的式(7)才是既适用状态变量又适用非状态变量的、通用的零状态响应公式。

表2 零状态响应公式的对比说明

2 零状态响应拓展公式的实例验证

下面分别以一阶RC和一阶RL动态电路的非状态变量的零状态响应计算为例,对比教材所述的方法 (先用式(2)求状态变量的零状态响应,然后间接求出非状态变量的零状态响应,称为传统方法) 与本文提议的方法 (直接用式(7)计算非状态变量的零状态响应,称为零状态三要素法),来验证所提议的拓展公式的合理性,以阐述该拓展公式在一阶动态电路分析中的应用价值。

传统方法在众多教材中有详细的操作步骤,不再赘述,这里给出提议的零状态三要素法的详细操作流程:①计算f(∞),此时电容C开路或电感L短路,电路带直流电源;②计算τ(τ=RC或L/R),电源除源 (电压源短路,电流源开路),计算C或L两端并联电阻R;③计算f(0+有电源,零状态),此时电源保留,电容短路,电感开路;④得到上述三个要素后,直接套用式(7)计算。

2.1 一阶RL电路零状态响应实例验证

如图1所示,给出了一阶RL动态电路的零状态响应i(t)的计算实例。式(8)～(10)给出了基于传统方法的i(t)求解过程。

图1 一阶RL电路零状态响应实例

(8)

iL(t)=3.5×(1-e-24t)A

(9)

(10)

式(11)～(12)给出了基于提议的零状态三要素法求解i(t)的过程。两方法计算结果完全相同,但计算过程不同,成功验证了所提议的拓展公式及零状态三要素分析法。

(11)

i(t)=2.5×(1-e-24t)+0.4e-24t=2.5-2.1e-24tA

(12)

2.2 一阶RC电路零状态响应实例验证

如图2所示,给出了一阶RC动态电路的零状态响应u(t)的计算实例。式(13)～(15)给出了基于传统方法的u(t)求解过程。

图2 一阶RC电路零状态响应实例

(13)

uC(t)=5×(1-e-100t)V

(14)

(15)

式(16)～(17)给出了基于提议的零状态三要素法求解u(t)的过程。两方法计算结果完全相同,但计算过程不同,再一次成功验证了所提议的拓展公式及零状态三要素分析法。

(16)

u(t)=5×(1-e-100t)+4e-100t=5-e-100tV

(17)

3 结语

在一阶动态电路零状态响应的分析过程中,对于非状态变量,无法利用已知条件套用公式直接求解。我们通过转换思路,将普适的零输入响应和全响应公式先行给出,再利用叠加定理反向推导出零状态响应的普适性拓展公式 (零状态三要素法)。再给出两个具体实例讲述零状态三要素法的操作步骤,验证并阐述该方法在一阶动态电路分析中的应用价值。通过以上论述,彻底解决了本科生在“电路分析”课程学习中遇到的相关困惑,具有极其重要的教育教学参考价值。