VDF850数控机床主轴动态特性分析

(安徽工业大学机械工程学院，安徽马鞍山243032)

主轴系统包括主轴、轴承、刀具和刀柄等零件，是数控机床的关键部件。其中主轴部件在自身转动和切削力作用下易引起自激和强迫振动，致使主轴系统的加工精度和工件的表面质量降低，其动态特性直接影响数控机床的加工性能。因此，研究主轴动态特性对机床的优化设计和制定合理的切削加工参数有重要的现实意义[1-2]。有关主轴系统动态特性分析主要采用集中参数法、传递矩阵法、实验测试法和有限单元法等方法。其中集中参数法对主轴模型分析来说过于简单，目前在主轴线性动力学研究中鲜有采纳，但在主轴非线性动力学行为研究中该方法能简化问题，抓住非线性特征[3]。传递矩阵法存在模型精度问题，吴文镜等[4]提出的拓展传递矩阵法提高了主轴动力学建模精度，可满足工程需要。实验测试法是主轴动力学研究的常用方法之一，但在主轴设计阶段实验无法进行，且约束方式也影响测试精度[5-6]，目前其多作为理论动力学模型的验证手段。随着计算机软硬件的日益发展，在主轴动力学研究中，有限元法已成为主轴动力学研究的主要方法，学者们运用有限元法对主轴动力学开展了系列研究，Wang等[7]考虑轴承单元的径向刚度，利用弹簧单元模拟轴承，采用有限元法对某机床加工中心进行动力学分析；谭峰等[8]以某数控机床主轴为研究对象，将主轴约束简化为刚性约束，同时考虑轴承结构的弹性变形对主轴的影响，利用ANSYS Workbench软件对主轴进行静动态特性仿真分析。

现有研究文献表明，在主轴建模过程中多考虑轴承约束、预紧力等影响,限于固有频率和模态分析[9-10]，实际加工过程中主轴对激励(动态切削力)的动力学响应是影响切削加工质量的重要因素，需考虑具体工况和主轴动力学特性的耦合作用。鉴于此，笔者综合考量切削工况、轴承预紧力、主轴转速等影响主轴动态特性的因素，建立主轴单元动力学模型，且对主轴进行模态与谐响应分析，以期为下一步的切削稳定性研究提供理论基础。

1 主轴单元的动力学模型

由结构动力学的知识可知，主轴单元自由振动的动力学方程为

式中：M表示主轴单元质量矩阵；C表示主轴单元阻尼矩阵；K表示主轴单元刚度矩阵；x(t)表示位移向量。

1.1 主轴单元的模态分析

模态分析是将动力学微分方程组的物理坐标转化为模态坐标进行解耦，形成由模态坐标和模态参数构成的独立方程组，求解特征方程式(2)可得主轴单元的固有频率和相应的振型。

其中：ωi表示第i阶固有振动的圆频率；φi表示第i阶振型向量。

1.2 主轴单元的谐响应分析

主轴受周期性切削激振力作用，强迫振动运动微分方程为

其中P(t)为激振力。周期性激振力可展成傅里叶级数形式，故线性系统只需考虑简谐激振力的响应，简谐激振力可表示为

式中：θ表示相位角；p表示激振力的振幅；ω表示激振力的圆频率。

采用模态叠加的方法可得到主轴单元的动力响应，如

2 主轴单元的有限元模型

基于主轴动力学模型，采用有限元法(finite element method,FEM)对VDF850数控机床的主轴单元动力学特性进行分析。由三维软件Solidworks构建的主轴三维模型如图1。将建立的三维实体模型导入有限元软件ANSYS，主轴材料选用45号钢，材料属性设置为：密度7.8×103kg/m3；弹性模量2.1×105MPa；泊松比0.3。采用Solid45三维实体单元对主轴划分网格。图2为网格划分后的主轴有限元模型。主轴网格划分后节点数为18 348，单元数为16 820。

图2 主轴单元有限元模型Fig.2 Finite element model of spindle unit

主轴单元包括主轴和轴承，主轴的动力学特性和轴承的位置及刚度紧密相关。VDF主轴的前轴承(两个串联使用)、后轴承(两个背靠背使用)型号分别为7012A5TYNSUMP4和7011A5TYNSUMP4的角接触球轴承，接触角为25°。在主轴单元有限元分析建模时，由4个周向均匀分布的弹簧模拟轴承结构的弹性支承，单元类型为Combin14，如图3。并假定预紧后的轴承只有径向刚度。对弹簧单元一端(连接主轴)的节点(图3中T5,T6,T7,T8)自由度进行轴向约束，另一端(连接主轴箱)的节点(T1,T2,T3,T4)进行自由度全约束，约束情况和实际约束一致。图2为采用弹簧模拟轴承作用的主轴单元有限元模型。

图3 虚拟弹簧模拟轴承对轴的弹性支承Fig.3 Virtualspringsimulationofbearing’s elastic support to spindle

3 主轴单元动力学仿真分析

3.1 预紧力与主轴固有频率

基于上述的主轴单元有限元模型进行主轴模态和谐响应仿真分析，轴承预紧力通过径向接触刚度对主轴固有频率产生影响。文中以VDF850数控机床主轴装配的角接触轴承计算径向接触刚度，预紧力和径向刚度关系方程式如下[11]

式中：kr为轴承径向刚度，N/m；D为轴承滚动体直径，m；Z为轴承滚动体数目；α为轴承接触角，°；Fa为轴承预紧力，N。

对轴承施加0～500 N的预紧力，运用式(6)计算轴承的径向刚度。有限元模型中，根据轴承位置输入不同预紧力作用下的刚度系数，通过ANSYS软件对主轴单元进行仿真计算，提取前7阶固有频率，图4为主轴在不同预紧力作用下的固有频率变化曲线。由图4可得出：主轴的第2与第3阶，第4与第5阶，第6与第7阶固有频率相同，振型表现为正交，可将其看作重根，重根和主轴的轴对称特性有关；轴承在0～500 N预紧力作用下，主轴的各阶固有频率均随预紧力增加而增大，第6，7阶固有频率变化幅度最小。增大预紧力对提高系统的高阶固有频率作用有限，其一般不作为提高系统动刚度的主要方法。

图4 不同预紧力的固有频率变化曲线Fig.4 Variation curves of natural frequencies with different preload forces

3.2 主轴模态分析

将150 N预紧力下的径向刚度输入主轴单元的有限元模型，在有限元软件ANSYS中进行模态仿真计算，各阶振型如图5。由图5可看出：第2，3阶振型分别对应xz和yz平面的一弯模态，模态的节点位于主轴后端，主轴前端(安装铣刀处)振型幅值最大，可见该模态对切削精度的影响较大；第4，5阶振型也是xz和yz平面的一弯模态，但模态的节点位于主轴前端，对切削精度的影响相对较小；第6阶振型为yz平面的二弯模态，该模态最大幅值也位于主轴后端，对主轴前端的影响不大。

图5 主轴模态振型Fig.5 Modal vibration mode of spindle

主轴为回转构件，第i阶临界转速对应主轴的第i阶固有频率，由式(7)计算

式中：ni为第i阶临界转速，r/min；fi为主轴第i阶固有频率，Hz。

不考虑刚体模态，实际工况中，如果主轴转速与临界转速相近，主轴将获得最大的挠度，产生共振，严重影响加工质量，在铣削加工过程中应避免。临界转速是表征回转构件动力学特性的重要指标之一，主轴前阶临界转速见表1。VDF850数控机床主轴最高工作转速为8 000 r/min，通过表1可看出，主轴的一阶临界转速远大于最高工作转速，在实际铣削加工过程中应考虑多齿铣刀对激励频率的放大作用，以本文的四齿铣刀为例，最高工作转速对应的激振频率为32 000 r/min，低于一阶临界转速36 009 r/min。表明主轴单元能有效避免共振区，动力性能良好。

表1 主轴前6阶固有频率和主轴临界转速Tab.1 The first 6 natural frequencies of the spindle and spindle critical speed

3.3 主轴谐响应分析

数控机床加工时，主轴受到的激励是工件传递到输出轴上的动态切削力，该激励为周期性激励，激励周期与主轴转速、铣刀齿数有关。主轴刀柄型号BT40，刀具选用直径为22 mm的4齿立铣刀加工45号钢，加工方式为顺铣，铣削力计算公式如∶下[12]：

式中：CF为铣削力系数，取669；ae为切削宽度，取16.5 mm；af为每次进给量，取0.22 mm；ap为背吃刀量，取1.3 mm；N为铣刀齿数，取4；d为铣刀直径，取22 mm；Fx为周向切削力；Fy为径向力；Fz为轴向力。据此求出三向切削力的幅值Fx=911.49 N；Fy=729.19 N，Fz=546.89 N。

根据模态分析的固有频率范围，取0～3 000 Hz区间段的频率对主轴进行谐响应分析，主轴前端在x(周向)、y(径向)、z(轴向)3个方向上的动柔度幅值和频率的关系如图6。由图6可知，激振力作用下，在x，y和z3个方向动柔度幅值频率响应曲线有3处峰值，说明在600，971，2 512 Hz附近发生明显的共振现象，这和模态分析的前6阶固有频率的数值吻合；其中600 Hz附近的动柔度幅值最大，模态分析也表明第2，3阶模态对刀尖处的影响最为显著；x和y方向的动柔度幅值相近，这和主轴的轴对称特性有关，而z方向的动柔度幅值较x，y方向小，说明轴向动刚度最大，故主轴的动力学模型时往往忽略轴向振动，建立xy两自由度的铣削动力学模型。

图6 主轴动柔度谐响应谱线Fig.6 Harmonic response spectrum of spindle dynamic flexibility

4 结 论

以VDF850数控机床主轴为研究对象，利用弹簧单元模拟主轴轴承的弹性支承，并以改变预紧力的方式改变其接触刚度，借助ANSYS有限元软件对主轴进行模态分析和谐响应分析，所得主要结论如下：

1)主轴轴承在0～500 N预紧力作用下的模态频率总体呈上升趋势，主轴的各阶固有频率随预紧力增大略有增大；

2)模态分析和谐响应分析皆表明影响切削质量主要是第2，3阶的模态，后期主轴动力学优化和减振分析中应重视；

3)主轴第一阶非零固有频率对应的临界速度为36 009.6 r/min，实际铣削加工过程中应考虑多齿铣刀对激励频率的放大作用，主轴所受激励的频率在600，971，2 512 Hz附近时易产生共振，加剧刀具的磨损，影响零件的加工精度，在制定切削工艺参数时应避免。