从对数感的表现性分析谈小学生数感的有效培养

闫云梅

【编者按】建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。可以看出，数感是学生应当具备的一种数学素养，其掌握程度直接影响到学生能否以“数学的方式”观察、思考生活中实际问题。本期话题“小学阶段学生数感培养途径”展开。

一、对数感的理解与认识

数感易于理解，但是很难界定。目前，国内外学者对数感的内涵有“意识说”“感知说”“直觉说”“能力说”等不同认识，这为数感的深入研究带来了困难。茱莉娅.安吉莱瑞（英）指出：对数字之间关联的意识，以及灵活地解决数字问题的能力称为其对数字的“感觉”或“数感”。霍雨佳、郭成、杨新荣认为：数感是一种对数量非精确、快速的知觉过程。这种知觉过程具有以下两个特点：第一，数感具有非精确性。第二，数感具有快速性。张力雄指出：数感是对数字关系和数字模式的意识，以及运用这种意识灵活地解决数字问题的能力。郭民、史宁中认为：数感是人们对数和数的关系的一种感悟，以及运用数字关系和数字模式进行推理与解决问题的能力。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数感主要指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。这里将数感定义为一种“感悟”，对广大一线教师而言似乎缺少可观察、可操作的描述。在《义务教育数学课程标准（实验稿）》中，对数感的主要表现给出了详细的表述：理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。这为我们观察、研究与培养学生的数感提供了可参考的依据。

二、数感的表现性分析框架的构建

数感由哪些成分构成？数感有哪些具体的表现？有了关于数感的表现性分析框架，才会使数感的培养有的放矢。

张力雄认为，数感的成份有以下6个方面：对数的意义的理解；对数与数之间关系的理解；对运算意义的理解；用数表达与交流信息；选择适当算法解决问题；灵活使用计算策略（包括估算、心算、笔算），并对结果的合理性作出解释。郭民、史宁中认为，数感的构成要素应该包括以下6个方面内容：数的意义；数的表示；数的关系；数的运算；数的估算；数的问题解决。霍雨佳、郭成、杨新荣的观点：数感是由数、运算、估计和情境所组成的一个四面体形状的结构模型，数感的大小由四面体体积的大小所决定。（图1）

与其他学者不同的是，霍雨佳、郭成、杨新荣强调了情境的重要作用。PISA测试中最为突出的一个特点，也是强调了试题的“情境”。参考PISA测试中对情境的分类及小学生的身心特点，结合《课程标准（实验稿）》和上述学者对数感构成要素的分析，本文构建了对数感的表现性分析框架。

构建对数感的表现性分析框架有以下两方面价值：1. 对数感的构成要素进行了清晰的分解，将不好把握的“感觉”与“感悟”用可观察、可操作、可测量的表现性行为描述出来，使模糊的“数感”变得清晰可见。2. 便于教师反思、改进自己的教学。针对学生数感的培养，教师可反思自己已经做了什么，做的怎么样，还有哪些方面没有重视，及时跟进，使数感的培养更有实效。

三、人教版教材中有关数感学习内容的梳理

应用数感的表现性分析的框架，笔者对人教版小学阶段教材中有关数感学习的例题（不包括练习题）进行了梳理，各方面内容数量整理如表1。

从上表可以看出，人教版教材在数感培养方面有以下一些特点：

1. 在教材整体编排上重视数感的培养。在小学阶段，共计148道例题（不包括练习题）的编排都体现了对学生数感的培养，而且无论是从“构成要素与表现”的维度看，还是从“情境”的维度看，都有所涉及，覆盖比较全面。

2. 在“数与关系”方面编排内容较多，在“运算”和“估计”方面编排的内容较少。教材在“数与关系”方面编排的例题共99道，在“运算”方面编排24道，在“估计”方面编排25道，题目数量差异较大。实际上，数感的培养不仅仅体现在有关“数”的学习中，更多的体现在数的应用中，也就是选择合适的算法和估计方面的内容应有所增加。

3. 学习的情境较为单一。

教材中所编例题的学习情境大多为“个人生活情境”和“社会生活情境”，数量分别为58道和65道，且“社会生活情境”中所涉及的内容也都是学校生活、游乐场及购物情境，而“科学情境”和“职业情境”均为11道，题目数量明显不足，应引起教育者对这两方面情境的重视。另外，由于目前所倡导的学习情境力求真实，根据儿童的学习特点和心理特征，童话情境可以适当编排但不宜过多。

四、培养小学生数感的教学策略

1. 开发与积累丰富的学习情境，为数感的培养提供多样化的教学资源。

研究表明，数感的形成和发展与学习情境有着密切的联系，学习情境越丰富多样，学生的数感发展越好。因此，教师应在尊重教材的基础上，不断开发与积累更为丰富的学习资源，特别是有关“科学情境”和“职业情境”方面的素材，让学生在丰富的现实情境中进一步体会数的意义，感悟数与数量的关系，并在用数解决问题的过程中，不断提升数感发展的水平，同时也使学生其他方面的素养（如科学精神、实践创新等）得以培养。

2. 加强数的意义的学习，为数感的发展夯实基础。

学生对数的意義的理解是数感发展的基础。数的意义的学习包括数的数学意义和现实意义两方面内容。数学意义主要指的是“数”是由计数单位及其计数单位的个数构成的，其背后渗透的是十进制和位值制。除数学意义外，数概念还蕴含着丰富的现实意义，例如自然数、小数和分数表示数量的意义；自然数表示顺序的序数意义；分数还具有表示“关系”的“率”的意义等。学生理解数的多维多重含义的重要表现就是能用多种方法表示数，即数的多模式表征与数的等价性表征。数的多模式表征是指用实物、不同的学具（如点子图、几何图形、小棒、第纳斯木块、计数器、数线图等）、数学符号等多种方式表示数。学生对数的表征模式越多，并能实现多种表征模式的相互转换，对数的理解就越深刻。数的等价性表征形如：24=20+4=12+12=6+6+6+6=4+4+4+4+4+4=25-1=30-6=3×8=4×6=12×2=48÷2=……数的等价性表征越多越灵活，在解决问题时，学生才会根据数的特点灵活选择某种形式解决问题。因此，重视数的意义的教学，鼓励学生用多种方法表示数，是培养学生数感的首要条件。

3. 增强培养学生数感的意识，让数感的培养渗透在各方面。

教材中有关培养学生数感的例题共148道，但实际教学时远不止这些，关键还要看教师如何使用教材。教师如果具备了培养学生数感的意识，面对同样的内容，采用不同的处理方式，效果会截然不同。例如：在有关统计的学习中，面对搜集与整理后的数据，引导学生结合情境体会数的现实意义，感悟数与数之间的关系，再作出分析和判断，既发展了数据分析观念，也发展了学生的数感。在计算教学中，教师不急于计算方法的教学，可以组织学生先对数据进行观察，对运算的结果进行估计，再根据数据特点选择合适的算法；在图形与几何的学习中，教师可以组织学生进行估测，体会数量的实际意义；在问题解决中，让学生对结果进行估计，也可以对结果的合理性作出解释……这些都是对学生数感的培养。无心的教师会认为数感看不见、摸不着，有心的教师会发现数感无处不在，因此增强自身培养学生数感的意识至关重要。

4. 转变教学评价方式，确保数感培养的有效落实。

数感是学生重要的数学素养，对它的评价也不能用“对”与“错”或者“好”与“不好”来区别，如何判断学生数感的发展水平？这就需要教师能设计展现学生数感的“表现性任务”，包括解释性任务、设计性任务和问题解决性任务，将学生“内隐”的思维“外显”出来，再依据学生的不同表现，将他们的作品划分为不同的层次水平，即表现性评价。通过展示、交流、研讨不同水平学生的作品，让学生看到低水平与高水平之间的差距，引领学生由低水平向高水平发展。运用表现性评价，既可以促进教师教学内容与方式的变化，又使学生在数感某一方面的发展水平清晰可见，确保数感培养的有效落实。

（作者单位：北京教育学院石景山分院）