浅析数学高考在解题方面的指导

摘要：著名数学大师波利亚说：学数学就意味着解题。数学教育中盛传一句话：掌握一个好的解题方法比做一百道题更重要。可见学好数学解题在数学学习中的重要地位。我们首先应该广泛涉猎知识，然后在整理、归纳知识中形成数学思想，进而在运用知识解决实际问题中捕获灵感，探求方法。

关键词：数学；教学；解题研究

高考数学命题始终坚持源于课本、高于课本这个基本原则，高考数学的命题者们努力地使用数学科目中最基本的原材料精心加工烹制出一道美味诱人的大餐，无论是全国卷或是地方卷。

我跟学生说：数学问题的解题技巧源自问题的特殊结构。我们要学会观察问题的结构，然后联想我们所学知识，技巧与方法就自然地形成了。因此，我向学生提出过一系列的解题理论如学生在数学解题中的思维，我将它们划分成固体思维（机械地死搬硬套型），气体思维（不着边际地胡思乱想型），液体思想（能根据问题特点调整思维解题型）。要弄清数学问题的因果联系，努力探求方法缩短因果间的距离，按照问题的需要来决定运算的走向，要让数学解题中的思维像水一样的自由的流动，要设法揣摩命题者的思想，提高解题效率，缩短解题周期。高考数学题大致分成知识型、运算型、思维型、应用型、能力型、创新型，不同类型的问题采用不同的方法去解决它。高考中选择、填空这些小题的做法，我强调建立典题本，运用典题本，整理、归纳源于课本高于课本的结论，多总结课本典型习题引申出来的课本间接结论，在平时学习考试中设法运用它，高考题往往是运用这个原理命制出来的。我向学生们提出过解决小题的十六字方针：排除干扰、挖掘隐藏、抢点突破、快速求解。错误往往是干扰产生的，干扰有问题本身的、也有学生不良习惯中带来的，排除干扰就是不给自己犯错误留机会。高考数学问题的条件有明条件、暗条件两种，我们要善于发现、挖掘暗条件，慎防暗箭伤人。一个问题中考查了多个知识点，我们选择某一个恰当的知识点去实施解题显得方便快捷。在指导学生解决高考大题时，为扭转学生在高考中草稿纸演算太多的局面，我向学生提出了零距离地书写，大题的运算书写应清晰透明，上一步与下一步零距离，别人一看就非常清楚，尽量减少在草纸上演算，这样就避免了学生在考试中注意力过多的分配与转移，既减少了犯错误的机会，又大大地提高了解题效率。湖南省高考数学考纲在2003年提出加大考生运算能力的考查，我向学生提出运算能力的表述为：设计运算的能力，转化运算的能力，表达运算的能力。并指出要重視设计运算与表达运算的能力训练及培养，运算前的设计，运算中的转化及操作运算时的表达都是运算能力的体现。在解题教学中，我还积极引导学生原生态解题、立体解题，让学生寻找解题的钥匙，寻求解题的刺激，营造快乐学习、愉快解题的氛围。例说解题如下：

【例1】计算cot10°-4cos10°的值。

思考一：原式=cos10°-2sin20°sin10°=sin（50°+30°）-sin（50°-30°）-sin20°sin10°=……（拆项拆角）；

思考二：原式=cos10°-2sin20°sin10°=cos10°-2sin（30°-10°）sin10°（利用非特殊角组合出特殊角）；

思考三：令cos10°=x，sin10°=y，由2xy=sin20°=sin（30°-10°）=12x-32y利用代数的策略求解；

思考四：将cot10°，4cos10°转化成几何量求解，设计 Rt△ABC，∠C=Rt∠，∠A=10°，BC=1，则AC=cot10°，作BD使∠BDC=30°，则 DC=3，DB=2，

由正弦定理2sin10°=ADsin20°，

AD=4cos10°，∴cot10°-4cos10°=3。

【例2】求y=x+x2-3x+2值域，观察问题结构，在x2-3x+2=（x-1）（x-2）的因式分解上展开思维。

思考一：y=x+（x-1）（x-2），显然（x-1）（x-2）≥0，

即x≥2或x≤1。

（1）x≥2时，y≥2

（2）x≤1时，令1-x=t，则2-x=1+t（t≥0）

γ=1-t+t（t+1）

=1+t（t+1）-t

=1+tt+1+t∈1，32

即f（x）值域为1，32∪[2，+∞）。

思考二：由x2-3x+2≥0x≥2或x≤1。

方程可化为：y-x=x2-3x+2

∴y-x≥0（y-x）2=x2-3x+2

即y-x≥0y2-2xy=-3x+2

即x=y2-22y-3≥0即y2-3y+22y-3≥0

解不等式得值域1，32∪[2，+∞）。

思考三：利用导数研究，思考四：实施三角化策略。均围绕因式分解展开。

【例3】x=5-12，求x5+4x4+3x3+2x2+x+1的值。

我在瑞华学校招聘高中数学教师曾用此题考查师大数学系毕业的三位应聘教师，仅一人做出且运算复杂。应该怎么去思考呢？x=5-12既是分式又是跟式，要代入求值的多项式项多、次数高，如何解决这个矛盾？我们想：缩短因果间的距离。将x=5-12变形为（2x+1）2=5进而化为x2+x=1，再将原式代为：x3（x2+x）+3x2（x2+x）+2（x2+x）-x+1，进而用整体代入求值，则变得简单明了。

对称、旋转、和谐称为数学美的符号，利用问题中数学美的信息来实施解题往往可以收到极佳的效果。

参考文献：

[1]李海龙.高中数学例题教学研究[J].考试周刊，2014（83）.

[2]王弟成.解题教学重要的是要教给学生分析方法[J].数学教学研究，2013（10）.

作者简介：

宋学祎，湖南省永州市，湖南省永州市新田一中。