巧解含1个或多个参数的方程或不等式

何治宣

参数方程和不等式是初中数学教学的重要内容，同时也是学生学习的重点和难点.本文结合初中教学实践过程，对巧解含1个或多个参数的方程或不等式的方法进行了阐述，以让学生学会用简单方法解答问题，提高解题的效率.

一、整体代入思想方法解参数方程

整体代入思想是一种非常重要而又常见的方法，特别是在解含一个或多个参数的方程或不等式中真实地显现出了它的优越性.

例1解关于x的方程：ax+b=bx+a（其中a≠b，且a，b为常数）.

分析：该方程是关于x且含有两个参数的一元一次方程，要想分别求出参数a，b的值是不可能的，故而采用整体代入思想.

解：∵ax+b=bx+a，

∴（a-b）x=a-b.

又∵a≠b，

∴a-b≠0.

∴x=a-ba-b=1.

因此，原方程的解为x=1.

例2已知1a-1b=1，求a+2ab-ba-4ab-b的值.

分析：该题是一个方程含两个未知数，同样，要分别求出a，b的值是不太可能，因此可考虑将待求式适当变形，然后将已知条件整体代入.

解：∵1a-1b=1，

∴b-aab=1，即b-a=ab.

∴a-b=-ab.

∴原式=a-b+2aba-b-4ab=-ab+2ab-ab-4ab=ab-5ab=-15.

二、最值法解含参数的不等式

最值法就是首先考虑函数的最大值或最小值，只要我们所求的参数大于该函数的最大值或小于函数的最小值便可以求出参数的取值范围.

例3若关于x的不等式|x|+2≥a对一切实数恒成立，则a的取值范围是多少？

解：令y=|x|+2.

∵x∈R，

∴y=|x|+2≥2.

∴ymin=2.

∴只需a≤ymin=2，即可恒成立.

∴a≤2.

例4若关于x的不等式-x2-2x+3≤m对一切实数x恒成立，则a的取值范围是多少？

解：令y=-x2-2x+3，显然该表达式是y关于x的一元二次函数，所以只要我们求出该二次函数的最大值即可.

∵y=-x2-2x+3，

∴y=-（x+1）2+4.

∵x∈R，

∴ymax=4.

∴只需m≥ymax即可.

∴m≥4.

三 、利用判别式△=b2-4ac≥0解参数的取值

范围

一元二次方程是初中的重要知识，在中考中占有很大的分值，所以是学生学习的重点.其中判别式的应用是解决二次函数的有力工具，教师在教学过程中要重点关注.

例5已知关于x的方程x2-2ax+a2+a-1=0.

（1）若该方程有两个相等实根，求a的取值范圍；

（2）若该方程有两个相异实根，求a的取值范围；

（3）若该方程无实根，求a的取值范围.

解：（1）由题意知△=（-2a）2-4（a2+a-1）

=4a2-4a2-4a+4

=-4a+4.

由△=0得-4a+4=0.所以a=1.

（2）由题意得：△=-4a+4>0，得a<1.

（3）由题设可得：△=-4a+4<0，得a>1.

含参数的方程或不等式问题对于学生来说的确存在一定的困难，但只要掌握一些常用的解题方法和技巧，遇到问题时认真分析，解决问题也是很轻松的事情.