刘保义
(天水师范学院 电子信息与电气工程学院,甘肃 天水 741001)
在一般普通物理学中,[1-2]对长直载流螺线管外部磁场,认为无限长直,且是细导线均匀密绕,给出的结论是管外磁感强度很小,可以看作零。应该说,这些结论是在近似条件下得出的,是一种近似值,与绝对等于零性质不同。有一些文献对此进行了探讨,文献[3]、[4]论证相对较深刻,但对电流密度的认识和正交分解不准确,对电流强度得出并应用了I=Icosα+Isinα这样的结论,这显然是不正确的,因为电流强度是标量而不是矢量。本文精确分析长直均匀密绕载流螺线管上电流的分布,给出计算螺线管外部磁场的一种简明方法。
长直载流螺线管是指均匀密绕在长直圆柱面上的螺旋形线圈,如图1所示,设其半径为R,长度为L,螺旋线切线方向与圆周平面的夹角为α,螺距为h,每单位长度有线圈n匝,通过导线的电流强度为I,当L>>R时,可视为无限长载流螺线管。取螺线管中心轴线为z轴,z轴正方向与载流导线电流成右手螺旋关系,x轴沿圆周半径方向向外,如图2所示。
电流密度是一个矢量,该矢量在导体中各点的方向代表该点电流的方向,其数值等于通过该点单位垂直截面的电流强度,[1]电流强度与该点电流密度的关系为:
图1 载流长直螺线管
图2 螺线管电流密度的正交分解
而其中d为导线半径。载流螺线管的导线可看作圆柱螺旋线,电流密度方向也就沿圆柱螺旋线的切线方向。建立柱坐标系在选取的电流元处单位矢量沿圆半径向外,沿圆周切线方向,与轴线平行。电流密度在柱坐标系中正交分解得
-→某点电流密度在过该点处的密切平面内,所以在eρ方向的分量为零。切向电流密度与轴向电流密度大小为
法线方向与电流方向相同,沿圆柱螺旋线的切线方向,大小为导线截面,把它在柱坐标系正交分解
即有
所以
积分得出圆环电流与轴向电流
上两式相加得出
上式表明,螺线管上沿圆柱螺旋线方向的电流,可看作沿圆周切线方向的圆环电流与轴向电流两个分电流并联组成,这也符合电流的叠加原理。由三角函数关系可得出
由几何关系可知,tanα=h(2πR),所以有
这样就得出两个分电流的大小,即圆环电流和轴向电流为
若单位长度有n匝线圈,总匝数为N,螺线管长为L,则有 n=N/L,又L=Nh,所以有h=1/n,则(10)式可表为
对密绕螺线管(相邻导线紧密切靠在一起),螺距h与导线直径2d的几何关系是:sinα=2d(2R),由(6)式把圆环电流和轴向电流还可表述为
当R>>d时,这是一种极限情况,也是我们求解长直载流密绕螺线管磁场常用的方法,数学方法简单,与实际情况接近。
螺线管上沿圆柱螺旋线方向的电流正交分解为圆环电流与轴向电流,则磁场也看作是圆环电流与轴向电流分别产生并叠加形成。圆环电流线密度为:nIφ=nIcos2α,圆环电流在管外的磁场为零,在管内形成匀强磁场,方向沿轴向,与电流成右手螺旋关系,大小为
当R>>d时,由上式可得出Bzmax=μ0nI,与我们常见的结论一致。
轴向电流可看作均匀分布在螺线管外面,形成一个圆筒电流,电流密度为
具有轴对称性,由环路定理可知,此电流在螺线管内不产生磁场,在螺线管外的磁场与长直载流导线形成的磁场性质相同,关系式为
在螺线管外表面处,r=R,磁场最强为
螺线管外表面处的磁场强度与管内场强之比
举例计算螺线管外表面处的磁场强度,如果有n=5/cm,R=3cm,上式比值为1.2×10-6,非常小。
从本文可以得知,无限长直均匀密绕载流螺线管的磁场分布为:其管内磁场是由圆环电流所产生,方向沿螺线管轴向,并与圆环电流成右手螺旋关系。其外部磁场是由轴向电流所产生,磁感应强度很小,方向沿圆周切线方向并与轴向电流成右手螺旋关系。尽管管外的磁场趋向于零,但与绝对等于零的性质是不同的,在磁AB效应中,把管外磁场按照绝对等于零对待,是不对的,从(15)式可看到,管外表面附近的场强与螺线管半径成3次方反比关系,当R很小时,螺线管外表面附近的场强并不小。在磁AB效应中,由于电子的波长很短,限制磁场在很小区域内,螺线管半径R不但必须很小,长度还不是无限长,螺线管外表面附近的场强是存在的,不能当作零处理,实际上这就是磁AB效应产生的原因。
[1]赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]郭硕鸿.电动力学[M].北京:高等教育出版社,1997.
[3]柳建国,陈钺.长直载流螺线管的磁场的研讨[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2010,(3):72.
[4]蔡子勇.长直螺线管磁场的全空间解[J].大学物理,1986,(1).