备课：从深度分析教科书练习题的设置入手

许洪斌　盘如春　张晓斌

摘 要：备课是教师有效组织教学的前提，备课要考虑的因素很多，所有准备常常都是基于教科书进行的.教师在备课时，要从课后练习题的设置出发，仔细体会教材的文本意图，吃透教材内容的逻辑结构，把握知识的重难点，深挖学科内涵，再结合教科书文本和教师自己掌握的其他资料进行备课，从而设计出高质量的教学方案.

关键词：教科书；备课；练习题

备课是教师有效组织教学的前提，备课越充分，教学效果就越好.备课要考虑的因素很多，既要备知识，备课程，又要备教材，备学生，还要备教法，备学法.而所有这些准备，常常都是基于教科书进行的，虽然备课时，教师的资料不仅限于教科书，但无疑教科书是教师有效组织教学、学生系统学习知识的载体，是师生共同对话的基础.

几乎所有的教科书在阐述知识发生、发展的同时，课后都辅之以必要的练习题，以供学习者对所学重要知识、方法的再理解、再应用.这里的练习题是编者认为必要的，不可或缺的，是对教者执行文本的一种检视，同时，还要为执教者提供必要的教学空间，也不能太多.这就要求编者对所配练习题做详细考虑、字斟句酌、精益求精、形成体系，这既有对学科重点知识、方法的应用练习，又有对学科思想、学科内涵的渗透与培养，而绝非仅供一般的练习之用.因此，教师在备课时，就可以从编者所给课后练习题的设置出发，充分发挥练习题的检视作用，仔细体会教材的文本意图，吃透教材内容的逻辑结构，把握知识的重难点，深挖学科内涵，再结合教科书文本和教师自己掌握的其他资料进行备课，从而设计出高质量的教学方案.虽然教材习题的功能是多方面的，但从研究视角上看，不失为一种深度检视教者对教材文本内容的理解和对教材编者意图把握的好方法，使教学设计更科学，更能有效促进数学教师的专业成长.

一、教材分析

以下以人教版高中数学教科书选修2-2第一章《导数及其应用》中的“1.3.1函数的单调性与导数”为例，来说明如何发挥教科书的课后练习题在备课中的检视作用.

首先让我们来看看本节课的课后练习题：

1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.

（1）f（x）=x2-2x+4 （2）f（x）=ex-x

（3）f（x）=3x-x3 （4）f（x）=x3-x2-x

2.函数[y=f（x）]的图象如图所示（图1），试画出导函数[f'（x）]图象的大致形状.

3.讨论二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的单调区间.

4.证明函数f（x）=2x3-6x2+7在[（0，2）]內是减函数.

编者在这里为什么会选择这些题目或这类题目作为本节的练习题，其用意如何？这值得我们认真分析与体会.经研究，我们发现编者至少从以下四个方面，来给我们的教学设计提供检视的思路与方法.

从数学知识层面分析，通过题组1，让学生理解导函数的正负与函数单调性之间的关系.这四个函数都是有具体的表达式，能较容易地求其导函数，并通过解不等式，得出导函数正负的条件，从而判断原函数的单调性.这不仅巩固了学生求函数的导函数、解不等式等知识，又加深了学生对应用导函数的正负来判断函数单调性的理解，这是本节课重要的知识目标.

从数学方法层面分析，通过题组3、4，让学生掌握判断函数单调性的基本方法：图象法、导数法，即常说的几何法、代数法.这为学生从不同的视角来研究函数的单调性，拓展了不同的思维空间，从而发展了学生的直观想象，培育了学生的数学素养，这是本节课重要的方法目标.

从数学思维层面分析，通过题组2，让学生通过对实际函数图象的直观探究，在观察、分析、概括的过程中，进一步体验原函数的增减与导函数正负之间的关系，培养了学生画图、识图、用图的方法与观念，这是本节课重要的能力目标.

从数学核心素养层面分析，从题组1的第（1）题与题组3以学生最为熟悉的二次函数为背景，让学生充分体验函数图象的直观性与导函数的正负性在判断函数单调中的一致性，从而培育学生的直观想象与数据分析的数学素养，再到题组1的第（2）（3）（4）题与题组4的函数，这些函数是学生陌生的，直接画图学生会有困难，从而迫使学生进行数学抽象，在已有的数学经验（题组1的第（1）题与题组3）的基础上，应用导函数的正负性来判断其单调性，加深学生对知识、方法的感悟，使学生的数学抽象、逻辑推理与数学运算能力得以培养与提升，同时也培养了学生学会用数学的思维来思考问题，用数学的语言来表达问题的能力[1].

二、教学设计

基于以上分析，我们结合教科书的表述与例题，以知识为载体去检视、落实培养学生的数学核心素养，进行如下的教学设计.

（一）教学目标

1.知识技能目标：结合实例和一些基本初等函数，探讨函数单调性与其导数正负之间的关系，能利用导数确定函数的单调性和求函数的单调区间，体会并认识导数在研究函数单调性中的作用（体现练习题1的功能）.

2.数学思考目标：通过数学实例提出问题，在观察、分析、联想、归纳的探究过程中，渗透数形结合、从特殊到一般的数学思想方法（体现题组1的第（1）题与题组3的功能）.

3.问题解决目标：能运用导数的正负判断函数的单调性与求单调区间，体会导数在研究函数单调性中的作用，构建导数研究函数单调性的基本模型（体现题组1的第（2）（3）（4）题与题组4的功能）.

4.情感态度目标：培养学生的自主探究意识、合作精神，体验函数单调性与其导数正负关系的研究过程，体会数学语言的简洁和严谨（体现题组2的功能）.

（二）重点难点

1.重点：利用导数研究函数的单调性和求函数的单调区间（解决练习第1、3、4题）.

2.难点：通过具体实例和一些基本初等函数，探究函数单调性与其导数正负的关系（解决练习第2题）.

（三）教学过程

1.情境引入

视频播放[10m]高台跳水运动员的跳水过程，尽量慢动作演示，分析运动员在跳水过程中，离水面高度[h]与时间[t]的变化关系.让学生初步感知，从起跳到最高点这段时间内，随时间[t]的增加，离水面的高度[h]也在增加，速度为正；从最高点到入水这段时间内，随时间[t]的增加，离水面的高度[h]却在减少，速度为负.

在这一过程中，教师提出有价值的数学问题：随时间[t]的增加，离水面高度[h]是如何变化的？其速度的正负是如何变化？

【设计意图】数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础[2]，反映数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的全过程中.本环节根据跳水运动员从起跳到落水这一物理过程的运动状态变化这一事实，数学地抽象出离水面高度与速度两个概念.在播放视频的过程中，通过生动的画面与动作，直观地得到了离水面高度与速度的变化过程.

2.新知探究

（1）初步形成函数的单调性与其导函数正负的关系

如图2（1）表示[10m]跳水运动员的高度[h]随时间[t]的变化函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图象.

教师引导：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过分析，完成下述表格，初步得到函数的单调性与其导数正负的关系.

在某个区间[（a，b）]内，如果[f'（x）>0]，那么函数[f（x）]在这个区间内单调递增；如果[f'（x）<0]，那么函数[f（x）]在这个区间内单调递减.

在这一过程中，教师要指导学生思考、计算、填表，并进行交流、讨论、归纳得出结论.

【设计意图】数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程[3].本环节从分析跳水运动过程的状态变化，离水面高度与速度随时间的变化规律，建立两个函数，并给出图象；通过图象的直观，提出对函数单调性与导数正负两个概念的思考，并通过进一步的探究发现函数的单调性与其导数正负之间的关系.这一过程的探究基本上体现用数学的眼光观察思考问题的思维特征：基于背景事实—数学语言表述问题—建立数学模型—到数学问题解决的过程[4].

（2）观察图象，进一步探讨函数的单调性与其导数正负的关系

通过上面的探究，教师提出问题：函数的单调性与其导数正负的关系是什么？

（3）用几何画板从导数的几何意义解释函数的单调性与其导数正负的关系

①回顾导数的几何意义；

②请同学们认真观察动画，体验切线斜率的正负与函数单调性的关系.

在这一过程中，教师演示几何画板，学生观察、体会、领悟，形成新知.

（4）新知的形成

一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下的关系，在某个区间[（a，b）]内连续的函数[f（x）]：

如果[f'（x）>0]，那么函数[f（x）]在这个区间内单调递增；如果[f'（x）<0]，那么函数[f（x）]在这个区间内单调递减.

【设计意图】逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要是演绎.本环节让学生观察已学过的几个基本初等函数的图象，计算与判断导数的正负，进一步巩固2.1中发现的函数单调性与导数正负的关系，这是从特殊到一般，属于归纳推理.并再应用几何画板，从导数的几何意义解释函数的单调性与其导数的正负关系，联想导数的几何意义，类比切线的上升与下降的特征，从本质上领悟微观上函数图象上每点处的切线特征，到宏观上函数图象在区间上的升降特征，从而得出函数单调性的特征.同时借用几何画板的动态变化展示，进一步深化了对关系的认识与理解，属于类比推理.

3.理论迁移

例1 （1）已知导函数[f'（x）]具有下列信息：

当[10]，当[x>4]或[x<1]时，[f'（x）<0]，当[x=4]或[x=1]时，[f'（x）=0].

试画出函数[f（x）]图象的大致形状（图3）.

（2）设[f'（x）]是函数[f（x）]的导函数，[y=f'（x）]的图象（图4）所示，则[y=f（x）]的图象最有可能是（ ）

A B

C D

例2 判断下列函数的单调性，并求出單调区间.

（1）f（x）=2x3+3x2-24x+1；

解：因为f（x）=2x3+3x2-24x+1，

所以[f'（x）=] .

当[f'（x）>0]即 时，函数f（x）=2x3+3x2-24x+1 ；

当[f'（x）<0]即 时，函数f（x）=2x3+3x2-24x+1 .

所以函数[f（x）]的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .

（2）f（x）=x2-2x-3；（3）[f（x）=x-lnx].

【设计意图】数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.例1的两个小题主要解决根据导数的正负判断函数的单调性，从直观的符号到函数图象的辨识，强化关系运用的直接性；例2的三个解答题主要解决利用导数的正负求函数单调区间的问题，通过第（1）题的填空示范，明确解题思路与步骤，形成解题方法，第（2）（3）题的设置在进一步巩固方法的同时，突出方法的适用性与选择性，强化定义域在解题中的首要性.

4.課堂反馈

判断下列命题是否正确，正确的在括号里打√，错的在括号里打×.

（1）如果函数[y=f（x）]在某个区间内恒有[f'（x）=0]，那么这个函数为常数函数.（ ）

（2）如果函数[y=f（x）]在定义域内有[f'（x）<0]，那么函数[f（x）]在定义域内为减函数.（ ）

（3）在区间[（a，b）]内，[f'（x）>0]是函数[f（x）]在该区间内单调递增的充要条件.（ ）

学生在这个过程中进行判断、讨论、表述，教师进行点拨.

【设计意图】逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.本环节设置三个判断题，挖掘关系认识中的几个误区，进一步探究与辨析关系，举一反三，突破难点，深化了对关系的透彻理解，在逻辑推理能力的培养过程中，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强了学生的数学交流能力.

5.课堂小结

（1）函数的单调性与其导函数的正负关系；

（2）运用导数研究函数单调性的一般步骤；

（3）通过这节课的学习，你有什么体会和感悟？

在这个过程中，教师点拨，学生归纳、总结、表述.

【设计意图】此环节是每堂课的一个结束步骤，具体操作中往往名存实亡，或是教师主演.如果此环节在课堂教学中常态化，交由学生自主合作完成，那么学生在数学抽象的能力形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验，常常能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，并能在其他学科的学习中，主动地运用数学抽象的思维方式解决问题.

备课是教师有效组织教学的基础，备课的角度也很多，这里仅从以反思教科书课后练习题的设置意图，来检验我们的教学设计是否科学、合理，是否充分领悟了编者的用意，为教师更好地体会教材、用好教材、把握教材的重难点提供一种备课的检视思路.

参考文献：

[1]岳定权.课堂教学设计点的获得方法——以课堂导入为例[J].中小学教师培训，2016（11）：38-40.

[2]张晓斌.创设问题情境唤起学生的创新思维[J].数学通报，2003（2）：7-10.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：4-7.

[4]章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报，2015（1）：61-63.