数形结合思想的应用

摘 要 本文主要介绍怎样应用数形结合来解决一些数学问题。

关键词 数形结合 数形结合思想 以形助数 以数解形

数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

实现数形结合，通常有以下途径：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）有序数组与坐标平面（空间）上的点的对应关系；（3）函数与图象的对应关系；（4）曲线与方程的对应关系；（5）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、复数、三角函数等；（6）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

运用数形结合研究数学问题，加强了知识的横向联系和综合应用，对于沟通代数与几何的联系，具有指导意义.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果.数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

以下我具体介绍数形结合思想方法在解题中的应用。

1在方程、函数问题中的应用

方程f（x） –g（x） = 0的解情况，可化为f（x）=g（x） 的解情况，也可看作函数y = f（x） 与y = g（x） 图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标。

例1【2017江苏】设f（x）是定义在R且周期为1的函数，在区间[0，1）上，

其中集合，

则方程f（x）lgx=0的解的个数是 .

【分析】画出函数草图，图中交点除（1，0）外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期部分，且x=1处

，则在x=1附近仅有一个交点，因此方程的个数为8个。

【总结】对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.

2在最值问题中的应用

最值问题，一般就是求某个代数式或函数的最大值或最小值了，当然有些题目是可以借助于重要不等式等知识直接解决的，但有些题目用这些方法都比较复杂，而且计算量很大。这时我们就要换一种方法来考虑问题了，不要思维定势。我们可以考虑一下这些代数式的几何意义了，再结合代数式中所隐含的几何图形，应用几何知识来求其最大值或最小值。代数式的几何意义有很多，在这我主要地介绍以下几种：一是表示直线斜率的——转化为求直线斜率的问题；二是表示两点间的距离——转化为求两点距离的问题；三是表示直线的纵截距——转化为求直线的截距问题；四是表示圆锥曲线的——转化为利用圆锥曲线的定义来求的问题。

2.1用直线斜率公式求最值

例2.求函數y=的最值。

【分析】函数解析式可看作过点A（2，3）与B（cos%a，sin%a）的直线的斜率，动点B的轨迹是圆x2+y2=1。如图，容易地看出，当且仅当过A点的直线与该圆相切时，直线AB的斜率才会取得最大值和最小值。设直线AB的方程为y3=k（x2），则由直线AB与圆x2+y2=1相切可知：=1解之得k=2彼詙max=2+和ymin=2

【总结】在考虑形如y=或y=的这一类代数式，我们可以结合它们的几何图形（如图）圆与直线有交点的模型，用几何的方法来求最值，它们的最值，就是当直线与圆相切时直线的斜率。

2.2转化为两点距离问题

例3.设P（x，y）是圆（x-2）2+y2=1上的任意一点，则（x-5）2+（y+4）2的最大值为（ ）

A.6 B.25 C.26 D.36

【分析】（x-5）2+（y+4）2表示点（5，-4）与圆上的点的距离的平方，故用数形结合法求解

因为圆（x-2）2+y2=1的圆心坐标为（2，0），该圆心到点（5，-4）的距离为=5，所以圆（x-2）2+y2=1上的点到（5，-4）距离的最大值为6，即（x-5）2+（y+4）2的最大值为36。

【总结】 （x，y）为圆上任意一点，求形如t=（x-a）2+（y-b）2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题，即把（x-a）2+（y-b）2看作是点（a，b）到圆上的点（x，y）的距离的平方，利用数形结合法求解。

2.3转化为直线的纵截距问题

例4.若x2+（y-1）2=1，则3x+4y的最大值是________，最小值是________。

【分析】设3x+4y=t，则当直线与圆相切时取得最值，即，=1，即|t-4|=5，解得t=9或t=-1，所以3x+4y的最大值为9，最小值为-1。

【总结】已知（x，y）满足的平面区域，求z=ax+by的最值问题时，因为该式可化为y=x+z，且b是常数，所以求z的最值就是求z也就是直线在y轴上的纵截距的最值。因为已知（x，y）满足的平面区域，区域是有范围的，所以我们只要对直线做平移，移到区域的边界即相切时，就可以求出其纵截距的最值。其实，这种问题就是一个线性规划最优化问题，它的解法就是线性规划最优化问题的解决方法之一。

2.4用圆锥曲线的定义来求最值

例5.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B（3，2），则|PB|+|PF|的最小值为________。

【分析】将|PF|转化为点P到准线的距离，然后利用三点共线时距离最短求解.

如图，过点B作BQ垂直抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|=|P1F|。

再结合题意，则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即|PB|+|PF|的最小值为4。

【总结】根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式，这是解决此类问题的一般方法。

作者简介：黄文根（1974-），男，汉族，江西永丰县人，学士，中学一级教师，主要从事高中数学教学。

参考文献

[1] 林玉粦.用数形结合求函数的最值[J].福建中学数学，2001（04）：24-25.

[2] 苏元东.浅谈“以形助数”解题[J].福建中学数学，2005（02）：27-28.

[3] 朱恩九.“以形辅数”的解题途径[J].数学通报，1994（04）：33-35.