例谈直角坐标系中三角形和四边形的面积最值问题

吴金粮

(福建省泉州第五中学 362000)

在近几年各省市的中考试题当中，经常发现有一类试题，它们都是以直角坐标系、二次函数为背景，结合动点问题求斜三角形面积最值问题、或不规则四边形的面积最值问题.此类问题对学生而言具有一定的挑战性，通常可以作“水平宽”或“铅垂高”的方法进行求解.下面就以作“水平宽”或“铅垂高”的方法求解这一类问题的几个例题进行探究.

基本图形和面积公式：

一、特殊位置

(1)求b的值；

(2)设以线段BC为直径的圆的圆心为点D，试判断点A与⊙D的位置关系，并说明理由；

(3)设P是抛物线上一动点，且点P位于第一象限内，求当四边形PAOC的面积最大时，求点P的坐标．

∴点A在⊙D上.

∴当x=4，即P的坐标为(4,6)时，S四边形PAOC最大．

二、面积最值已知

例2 如图4，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；

(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

分析(1)A(-1，0)，直线l的函数表达式为：y=ax+a.

(2)中三角形的面积最值已知，只需将△ACE的面积表示出来，再列方程可得．

解(2)过点E作EF∥y轴，交直线l于点F.设E(x，ax2-3ax-3a)，则F(x，ax+a).

EF=ax2-3ax-3a-(ax+a)=ax2-3ax-4a.

三、面积最值待求

例3 如图5，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，-3)点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．

(1)求这个二次函数表达式；

(2)连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，当四边形POP′C为菱形时，求点P的坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC面积最大？求此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

解(1)二次函数的表达式为：y=x2-2x-3．

(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P(x，x2-2x-3).

由x2-2x-3=0得点A坐标为(-1，0).

又已知点B和点C的坐标，从而直线BC的解析式为y=x-3.

点Q的坐标为(x，x-3)，则AB=4，CO=3，BO=3，PQ=-x2+3x.

S四边形ABPC=S△ABC+S△BPC

以上几例，不管是三角形面积问题还是四边形面积问题，最终都是转化为利用直角坐标系中三角形的面积公式进行解答，此法简洁方便，值得进一步归纳和总结一些典型例题、习题，使学生能熟练掌握和应用．

参考文献：

[1]陈永明.数学习题教学研究[M].上海:上海教育出版社,2014.