陆汉俊
(江苏省邗江中学(集团)北区校维扬中学 225100)
反比例函数是初中数学的重要内容之一,更是历年中考的热点.近年来各省市中考都有考查反比例函数的难题.由于此类型的题目不仅要考察反比例函数的相关性质,而且常与其它几何图形相互结合考察几何图形特征,因此考察面较广又比较复杂.解决此类问题最常用的方法是根据“k”的几何意义,即模型法.而反比例函数具有两重性:代数表达式和几何图象,因此解决相关问题时,往往可以通过设出点的坐标,建立方程来求解,即坐标法(也称解析法). 笔者归纳出有以下三种题型可以使用坐标法来解决.
图1
解析本题纷繁复杂.虽有面积特征,但与基本三角形转化联系不大,所以考虑用坐标法:设点坐标,建方程.
特征1:S△BCE=2S△ADE,E是中点.
而S△BCE=S△ACE,S△ADE=S△BDE,则S△ABC=2S△ABD.
因两三角形等高(均与CD相等),
所以,AC=2BD.
特征2:CD=k.
CD=CO+DO=3x0⟹3x0=k=x0y0,则AC=y0=3.
特征3:AB=2AC.由两点间的距离公式,
评注通过设点的坐标,结合两点间的距离公式,可以解决很多关于线段关系问题,包括面积问题.
图2
(1)k的值为____;
(2)在点A运动过程中,当BP平分∠ABC时,点C的坐标是____.
如图2,过点A作AM⊥x轴于点M,过点C,作CN⊥x轴于点N.
评注大凡涉及到函数的动点问题,应该首先想到设点的坐标,建立方程,可以揭示问题的实质,更易于解决问题.
(1)求双曲线C及直线l2的解析式;
图3
(2)求证:PF2-PF1=MN=4.
(2)此问至少涉及五个点,其中三个动点.而三个动点P、M、N所在直线垂直于y轴,也就是说纵坐标相等.
综合分析,设点坐标,建方程.
但PF2-PF1如何表示呢?只要用两点间距离公式,但心中要有信念:最终未知数必然能抵消掉.
到了这一步,感觉进展下去有点难.怎么办呢?最终未知数必然能抵消掉.说明这个表达式很有可能是完全平方式.
综上,PF2-PF1=MN=4.
评注题目若涉及到多个动点问题,则要设主动点的坐标,从而根据动点之间的关系,得出其他从动点的坐标,问题就会迎刃而解.
从以上三例可以看出,抓住反比例函数的双重性,只要能设出点的坐标,通过列方程或关系式,很多反比例函数难题就会比较容易地得到解决.
参考文献:
[1]许磊.“反比例函数的图象与性质”教学设计[J].中国数学教育,2011(1-2):32-34.
[2]杨晨光.“反比例函数的图象与性质”听课思考[J].中国数学教育,2012(6):23-24.