利用充分必要法求参数的取值范围再探究

福建省漳州实验中学 许毅翔

一、研究背景

在参考文献[1]中的作者对充分必要法求参数的取值范围做了比较全面系统的分析，利用高考试题以及自编例题总结了此类问题的通式通法，读完觉得受益匪浅，对此也进行了深入的思考，近日，我在高中的数学教学中也出现了类似的问题，所以我在此再做一下探究。

2010年全国卷理科数学，2011年全国卷Ⅰ理科数学的压轴题，这是在参考文献[1]中探究的例题，近几年的各地高考试卷当中也有不少压轴题都是要求参数的取值范围，2016年省质检理科数学第21题也是此类问题，求参数的取值范围可以用分离参数、分类讨论、放缩等方法，各种方法都有利有弊，比如用分离参数法时会出现用高中知识不能得出答案（需要高数求极限的知识，如洛必达法则），分类讨论有时又会过于麻烦，所以用充分必要法来进行求解，对于函数中求解参数范围问题起着重要的作用。

二、方法对比与分析

例1 （2010全国理科21）设函数f(x)=ex-1-x-ax2。

（1）若a=0,求f(x)的单调区间;

（2）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围。

解：（1）f(x)=ex-x-1，令

则x＞0，即f(x)的单调递增区间是（0，+∞），f(x)的单调递减区间是（0，-∞）。

分析：（2）如果立足学生的角度，对这个函数进行分析：

总结：解题之前要先对函数进行分析，考题的设计一般都是恰到好处，利用充分必要法解题比较容易找到解题的突破口，可以避开复杂的讨论，确实是一种基本的、有效的方法。

三、好方法百试不厌

例2 （2016年福建省质检理科数学第21题）已知函数f(x)=ax-ln(x+1)，g(x)=ex-x-1，曲线y=f(x)与y=g(x)在原点处的切线相同。

不符合题意，舍去。

点评：在本题的解答中，充分性也容易求出，在证明必要性时，单调递减区间不容易计算，这时可以利用零点存在定理进行说明。用这样的充分必要法求解参数的取值范围，比较贴近学生的思维方式，本人觉得值得推荐。

四、方法总结

含参函数f(x)在某个范围D有f(x)＞0或f(x)＜0恒成立（不妨设范围D的端点为x0）且满足f（x0）=0，那么考虑用f'（x0）＞0或（f'（x0）＜0）解得参数的取值范围；若f'（x0）恒为零，那么考虑f''（x0）＞ 0（或f''（x0）＜ 0）解得参数的取值范围，若f''（x0）恒为零，反复用上述方法，直到高阶导数在x=x0处不为零，然后根据题目不等式方向令此时的导数f'（x）＞0或（f'（x）＜0），即可解得参数取值范围，此为充分性。接下来需要说明此范围的补集均不符合题意，即存在某个区间D1∈D,使得f(x)＜0（或f(x)＞0），一般为区间（x0，x1）或（x1，x0）。

[1]黄万志．函数中求解参数范围的通法：充分必要法． https：//wenku．baidu．com/view/4123644c376baf1ffd4fad61．html