预学后教，小学数学“思维训练”课堂教学的新尝试——以“打电话”教学实践为例

（浙江省杭州市萧山区浦阳镇中心小学 浙江杭州 311255）

“实践与综合应用”是基础教育数学课程的四大学习领域之一，与其他的三个学习领域相比较，具有“实践性”与“综合性”这两个特点，它不是以获得新的数学知识为目的，而是结合具体的情境，灵活地综合地应用数学知识解决现实问题为主要目的。我们分析了综合实践活动课在各册教材的分布及涉及的知识点（领域），并根据各个年级涉及的综合实践课知识点根据特点分为三个类型，“思维训练式”实践活动、“算用结合式”实践活动、“作品创作式”实践活动。我们对“思维训练式”实践活动进行了尝试。下面以“打电话”的教学为例，阐述具体的做法。

一、自主预学，形成个性的思考

“思维训练式”实践活动，是让学生综合应用所学的基本知识技能和数学思考方法，去寻求解决生活实际问题的策略。在解决生活实际问题的过程中，通过观察、实验、分析、尝试、反思、交流、讨论、辨析等活动，提高综合应用数学的能力，提升数学思维。因此，在“思维训练式” 实践活动中，应当要让学生经历“真正的独立思考”。真正的独立思考应当是“初步思考——自主尝试——自我反思——自我改进——形成个性思考”这样一个完整的寻求解决问题的数学思考过程。

五年级下册《打电话》的教材呈现也体现出了这种思路：

据此，我们设计了如下的一份预习单，引导学生经历“独立思考——自主尝试——自我反思——自我改进——形成个性思考”的过程。具体设计如下：

“打电话”预学单

班级：_____姓名：_____

同学们都打过电话吧，下面是一个与“打电话”有关的数学问题，请你试着做一做。

试一试：

一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮助老师设计一个或几个打电话的方案。

（请画图表示，老师用“□”表示，学生用“○”表示，用“——”表示打电话，并把每一分钟打电话的情况记录在表格中。）

方案1：

时间（分钟） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12通知的人数知道通知的总人数

想一想：

（完成上一个方案后请思考：怎样安排能让打电话的时间更少一点？并对方案作出修改，形成方案2……用画图和表格的形式记录下来。）

方案2：

时间（分钟） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112通知的人数知道通知的总人数

再反思：

（完成上一个方案2后请思考：打电话的时间能不能再少一点？如果有新方案请用画图和表格的形式记录下来，形成方案3。）

方案3：

时间（分钟） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12通知的人数知道通知的总人数

回音壁：

反思刚才的设计、修改过程，你有什么发现和疑问？请记录下来。

“思维训练式”实践活动预学案的设计，要充分考虑到不同层次学生的思维能力，力求满足不同学生的需要，让每一个学生都能有展示自己思维成果的平台，都能有属于自己的个性的思考所得。

1.设计要让学生有“路”可“循”

“思维训练式”实践活动，往往具有一定的难度，许多学生会感到无从下手。因此，在预学案的设计中，我们要给予合适的提示，让学生明白该如何去操作、思考。如：预学案中的提示“请画图表示，老师用“□”表示，学生用“○”表示，用“——”表示打电话，并把每一分钟打电话的情况记录在表格中。”通过这样的帮助学生能顺利的开始独立的研究。再如：预学案中的后两个提示“完成上一个方案后请思考：怎样安排能让打电话的时间更少一点？并对方案作出修改，形成方案2……用画图和表格的形式记录下来。”；“完成上一个方案2后请思考：打电话的时间能不能再少一点？如果有新方案请用画图和表格的形式记录下来，形成方案3。”通过这两个提示引导学生去进一步的反思从而提高个人的思维素养。

2.设计要让学生有“话”可“询”

思维的提升，离不开不同思考的交流、讨论、辨析等。因此，预学案的设计要满足不同思维层次的学生，使每一个学生通过自主预学后都能有他的个性思考，都能参与之后的集体讨论。预学案的第一题“试一试”通过提示，让每个学生都能知道怎样去表达自己的思路，且对打电话的方案并没有过多的要求，只要能成功通知到15个人方案就是成立的，因此每个学生都会有属于他的第一个方案诞生，这就是属于每个学生自己的个性的初步思考。第二题“想一想”通过“完成上一个方案后请思考：怎样安排能让打电话的时间更少一点？”这样一个要求，促使学生反思自己的第一方案，进而从合理安排的角度去思考改进方案。在这一步中也没有具体要求时间要最少，只要通知到15个人花的时间比第一方案少，方案就是比第一方案更合理的。因此不同思维层次的学生都会针对自己的第一方案进行再次个性的反思与改进。第三题“再反思”，通过“打电话的时间能不能再少一点？”，再次引导学生对第二方案进行改进，促使学生进行更细致更深入的去思考，从而最终形成相对于学生自己而言最合理的方案。

3.设计要让学生有“迹”可“寻”

任何一个项目的研究与思考都需要不时的记录研究所得到的阶段性成果，有利于在研究过程能整体把握研究的方向、进度等，以便于最终的整理、分析、归纳。这是一种严谨求实的研究态度。因此，在预学案的每一个环节中，都设计了表格让学生记录每一阶段思考，也为自己的对比反思做好准备。让学生做一次务实的思考、研究。

当完成整个自主预学的过程后，透过整个预学案，学生也能发现自己不断改进的过程；通过对比自己不同方案的思考，发现自己思路的发展全过程，从中也窥探出打电话节约时间的奥秘。

二、阅读辨析，形成集体的智慧

通过自主预学，学生完成了自我的思维提升，形成了学生个性的思考结果。这个思考结果是建立在学生原有思维水平之上的，因此这个结果有可能已经是最合理的统筹安排了，也有可能与最合理的状态非常接近了，也有可能离最合理状态还有差距但对于学生最开始的思考已经有很大的提高了。这些预学的成果就是课堂学习的资源。通过展示学生中的典型思路，组织学生小组或全班交流讨论，在阅读他人思路、辨析不同方案的过程中，逐步发现“打电话”的本质，进而总结出规律。

1.阅读不同思路，发现异同、取长补短

在课堂中展示出不同的思路，学生在阅读不同“打电话”方案的过程中，比较各种方案，从而发现各种方案之间的异同，优劣，对自主预学阶段形成的个性思考进行再次反思，完善。为进一步讨论、辨析做好准备。

下面是展示的几种方案：（复印每人一份，投影展示问题）

让学生带着问题阅读每一种方案，并简要记录自己的想法。

① 请说一说每一个方案分别是怎么通知15个学生的？

② 有些方案的时间是一样的，它们的共同点在哪里？

③ 有些方案的时间是不一样的，它们的特点是什么？

④ 怎么通知时间会最少？为什么？思考它有什么规律？

四个问题的设计意图，问一：读懂每一个方案；问二和问三：剖析不同方案间的异同，发现“打电话”要节约时间的要点；问四：对统筹安排的阅读学习，剖析其中的奥秘。

2.听取不同意见，辨析异同、发现本质

小组交流是第一次学生的思维碰撞，通过听取不同意见，表达不同想法，发现自己个性思考中的不足、偏差、优点，兼收并蓄形成一个小组的集体智慧。

班级反馈以小组为单位进行，可以是代表形式的，也可是各司其职式的。学生在全体同学前展示自己小组的思考，激发更大范围的思维碰撞，进行再次的反思、辨析，再次的兼收并蓄，完善思考，最终形成正确、完整的集体智慧。下面是班级反馈中其中一个小组的阐述时的情况。

生1：（边说边指投影）这几个方案都是一个一个通知的。这两个方案是由老师一个个通知的，只是画的方式不同；这个方案是老师通知第一个学生，第一个学生再通知第二个学生这样接龙的。这两个方案共同点都是老师先打给几个同学，然后这几个同学在同时通知另外的同学，只不过这个是由两个同学去通知，这个是由三个学生去通知。最后，三个是一样的，他们都是由老师通知一个学生，接下去老师和这个学生再打给两个同学，再接下去老师和这三个同学在同时打给四个同学……

生2补充：（边说边指投影）这三个是一个个通知的，这几个是老师给同学分好任务再让同学去通知的，这个就是先是老师打给一个同学，接下去每一次都是已经知道通知的人都打电话给不知道通知的人。

……

通过几次小组的展示、辨析，逐步发现了统筹安排的奥妙，以及其中的规律。学生的思维也从个性思考逐步发展到小组智慧再发展的一个完善的集体智慧。

3.反思预学过程，寻找缺漏、自我修补

在形成集体智慧的基础上，引导学生独立或小组合作的“寻”着预学案中的“迹” ，结合自己的图、表去反思预学过程，发现思维过程中的缺漏，对方案进行修改。在反思的过程中，巩固集体智慧、提升思维能力。

通过这样一个寻着自己预学思维的痕迹反思预学的过程。从而完成整个“预学形成个性思维——阅读思维自我提升——合作交流形成智慧——运用智慧反思预学”的思维实践过程，学生的思维也从个性思考到集体智慧再逐步提升到个人智慧。

三、巩固应用，感受数学的神奇

数学来源于生活，并且应用与生活。数学只有在应用中才能体现出它的价值。通过对打电话的研究学生已经初步体会到统筹安排的妙处。如何让学生更加感受数学的神奇甚至让人惊叹？于是，我们设计了两个层次的练习。

第一层次：学生对规律的掌握程度。

如果老师要通知50个人，请你计算一下需要几分钟？

第二层次：规律的应用，感受数学的神奇。

如果老师要通知1000个人，需要几分钟？先猜一猜，然后在算一算看看你猜的对不对。

如果老师要通知10000个人呢？请你再先猜一猜，然后在算一算看看你猜的对不对。

“你有一种思想，我有一种思想，彼此交换，我们就有了两种思想。”从中这句话中我们可以想到：思维的提升需要交流，只有交流的才能不断的完善自己的认识与思考。思维的交流需要我们都有思想——“你有一种思想，我有一种思想”。因此“思维训练式”的实践活动，我们首先要让学生有一种思想，然后引导学生在交流、讨论、辨析中逐步整理、完善形成智慧。