围绕概念的核心方法设计问题

江苏省靖江市第一高级中学 王国军

理解概念是一切数学活动的基础。如果学生对数学概念的理解不清楚，就无法进一步学习相关内容。因此我们除了要重视概念新授课的教学外，在后续的教学活动中，特别是高三复习时还必须强化核心概念的复习。笔者的做法是围绕数学概念的核心内涵、核心思想和核心方法设计有价值的问题，以问题驱动学生厘清概念的内涵和外延，完善知识网络结构。下面对一节高三复习课的课堂观察加以分析。

一、“直线与平面平行（复习）”教学案例及分析

师：今天我们复习直线与平面平行。请同学们完成刚发下去的导学案中的“知识回顾”模块。

知识回顾：

1.直线和平面位置关系有___ 、___、___三种。

课堂观察：少数学生回答的是平行、相交、垂直。教师强调垂直是相交的特殊情形。

2.填表：

___位置_______关系_____直线________在平面内_直线与平面相交 直线与平面平行____________________________________________________________公共点___符______________________________________________________号表示___图______________________________________________________形表示

3.直线与平面平行的判定定理：

文字语言：___________________________________________________ 。

符号语言：___________________________________________________ 。

图形语言：___________________________________________________ 。

教师强调：“平面外”“平面内”“平行”这三个关键词。

4.直线与平面平行的性质定理：

文字语言：___________________________________________________ 。

符号语言：___________________________________________________ 。

图形语言：___________________________________________________ 。

笔者观察到只有少数学生能熟练地写出来，大部分学生只是将课本上的内容抄到讲义上。

师：根据判定定理可知，由“线线平行”可得“线面平行”；根据性质定理可知，由“线面平行”可得“线线平行”，即“线线平行⇔线面平行”。将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想。

基础检测：

1.判断下列命题的真假，并说明理由：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与该平面平行。

②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行。

③一直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线与该平面平行。

④若一直线与平面内无数条直线平行，则这条直线与该平面平行。

⑤若一直线与平面内任意一条直线都不相交，则这条直线与该平面平行。

课堂观察：学生在第③、第⑤两小题的出错率较高。

2.已知直线a,b和平面a，则下列命题中正确的是____________。

（

（（3）

课堂观察：学生在第（1）（3）问上出现错误。

4.已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，求证AC∥平面EFGH。

课堂观察：学生能顺利完成这两道题。

分析：这种“简单罗列概念+几道基础检测题”的方式是目前高三概念复习课中比较普遍的模式。实践证明，这种复习方式的效率不高。在复习直线与平面的位置关系时，教师首先应问学生分类的标准是什么，然后引导学生做出正确分类。空间两条直线的位置关系是通过两次分类（是否共面、是否有公共点）得出两条直线的三种位置关系的，类比到直线和平面中，也可以通过两次分类（线是否在面内、是否有公共点）得到三种位置关系，其次强调定义的关键点在于公共点的个数。

另外，在新授课时，学生是通过直观感知、操作确认获得对判定定理的认识，并没有给出严格的逻辑证明，高三复习时我们必须补上。原因有二：（1）数学学科的特点要求。数学定理是推出来的，而不是看出来的；（2）学生已具备这样的认知结构。高二阶段已经学过间接证明，对反证法的原理、步骤也比较熟悉，因此学生完全能够接受和理解。笔者以为，除了给出证明外，教师还应当向学生解释为什么可以通过“线线平行”推出“面面平行”。“线面平行”的判定定理的源泉是“线面平行”的定义，在判定定理中，之所以可以用平面内的某一条直线来代替该平面，是因为“线动成面”：平面可以看成是由这条直线平行移动而形成的。因此将这组平行线中的一条“移”到平面外（即线线平行），就可以保证它与该平面没有交点（即线面平行）。这就是判定定理的本质。

例题解析：

例1 已知α，β，γ是平面，设

例2 如图1，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，M,N分别是AB,PC的中点，求证：MN∥平面PAD。

图1

图2

教师展示学生的思路。

思路一：如图2，取PD的中点E，连接AE，NE，通过证明四边形AMNE为平行四边形，得到MN∥AE，从而得到MN∥平面PAD。

思路二：如图3，连接CM并延长交DA的延长线于点Q，连接PQ。通过证明MN∥PQ得到结论。

思路三：如图4，取CD的中点F，连接MF，NF，通过证明平面MNF与平面PAD平行，得到MN∥平面PAD。

图3

图4

课堂观察：对于例1，少数学生混淆了判定定理和性质定理。对于例2，大部分学生能想到思路一，少部分学生想到思路三。想到思路二的同学中，有一些学生连接CM后与PA相交。

教师强调：证明直线和平面平行的问题，只要在平面内找到一条直线与已知直线平行。可以通过构造平行四边形，或寻找三角形。另外，还可以作辅助平面，转化为平面与平面平行的问题。

巩固练习：如图5，在正方点N在线段平面AC1B。

图5

图6

课堂观察：学生的思路有如下几种：

（1）受思维定式的影响，大部分学生试图构造平行四边形，但思路受挫；

（2）有学生想到连接并延长A1B1交于点E，连接AE，如图6，

同理，AM=2ME，由相似三角形知识可

由判定定理可知，MN∥平面AC1B。

（3）有一些学生想到构造辅助平面，通过面面平行得到线面平行。思路如下：

如图7，作NE∥A1B1，交A1D1于点E，作MF∥A1B1，交AA1于点F，连接EF，接下去不会证明平面MNEF∥平面AC1B。

图7

师：思路二有没有问题？

（学生摇头）

师：A，M，E三点共线吗？换句话说，直线在平面内吗？

学生：必须证明三点共线。

师：怎么证明？

学生：假设AE，A1B交于点M'，只要证明两点M,M'重合。

师：思路三接下去怎么做？

学生：可以先证明EF∥AD1，因为AD1∥BC1，所以EF∥BC1，就可以证得平面MNEF∥平面AC1B。

师：很好。请同学们自己订正。

分析：直觉思维能力不足常导致学生对定理之间、定理与其他知识联系薄弱，往往会出现无从下手或思维中断，或在思辨论证时出现错误的现象，久而久之，学生就会对自己的推理能力丧失信心。因此，在教学时，我们应让学生多观察、多思辨，引导学生总结规律。空间问题平面化的思想是解决立体几何中证明平行问题的核心方法，因此平面的寻找或构造就显得尤为重要，而学生的寻找往往表现出盲目性和投机性，这是教学设计时应当重点解决的问题。从教学过程中学生反馈的信息来看，学生更习惯于寻找平行四边形或三角形中位线、这符合学生的知识结构，因为“平行线分线段成比例定理”在初中教材中已删去，移到高中选修4系列“平面几何证明选讲”中，高中教师必须关注到这点。

二、案例的改进

“直线与平面平行”是立体几何中的核心概念之一，它是学习“平面与平面平行”的基础。其核心思想是转化思想（即将空间问题转化为平面问题），核心方法是“搭平面、得交线、线线平行”。高三复习课时，教师可以围绕一根主线设置一些旨在揭示核心思想和核心方法的问题。通过问题引领，让学生牢固树立构造辅助平面的意识，掌握“搭平面”的方法。本案例在两个定理的复习环节可做如下改进：

问题1：已知直线和平面平行，点P是平面内一点，请你在平面内过点P作出直线的平行线，并说明理由。

问题2：如图8是一个长方体实心木块，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？

图8

设计意图：从简单问题和实际问题出发，一方面让学生进一步熟悉“确定平面的条件”， 掌握“搭平面”的方法，另一方面强化问题化归意识，通过问题引领学生把已有的数学知识梳理成知识网络，理解知识间的内在联系，使数学知识与方法联系成链，有助于学生形成良好的认知结构，从而促进知识的内化并完善补充。

在此基础上，教师让学生完成导学案上两个定理部分的复习。

问题3：将一本书打开，如图9所示放在桌面上，则书与桌面的交线互相平行，为什么?

问题4：将一本书打开竖立在桌面上（如图10），P，Q分别是AC,BE上的点，请思考：（1）若P,Q分别是AC,BE上的中点，试判断直线PQ与桌面的位置关系，并说明理由；（2）若AP=BQ，上述结论还成立吗？

图9

图10

设计意图：“直观感知、操作确认、思辨认证、度量计算”是我们探索和认识空间图形及其性质的主要方法，对立体几何中核心概念的复习依然必须遵循这个原则。这两个问题实质上就是案例中的两个例题，只不过围绕“书本的摆放”这根主线，将它们串起来，显得结构紧凑。问题3是判定定理和性质定理的简单运用，有了问题1和2的铺垫，学生应当能够顺利完成。教学时教师要注意引导学生将图形语言转化为符号语言。关于问题4的处理，教师可以引导学生从不同的角度探究解决方案，同时帮助学生固化“搭平面”的方法：“直线和直线外一点可以确定一个平面”“两条相交直线可以确定一个平面”“两条平行直线可以确定一个平面”等，准确地画出两个平面的交线是难点。对于文科生和基础不太好的理科生，教学时可以适当安排几道画两个平面交线的练习题，帮助学生克服这个难点。

学生练习：

1.如图11，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是A1B和CC1的中点，求证：MN∥平面ABCD。

2.如图12，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是AB上一点，且AM∶MB=1∶2，试问在PC上是否存在一点N，使得MN∥平面PAD？若存在，请确定点N的位置；若不存在，说明理由。

3.案例中的巩固练习题。

图11

图12

设计意图：设计这组练习的目的是为了巩固与深化定理的运用，培养学生的识图能力，让学生在不同的图形背景中体验和感悟共性的东西，掌握不同问题的相同解法，逐步提高学生分析问题、解决问题的能力，形成有效的解题策略，积累解题经验。练习2将证明题改成探究题，进一步帮助学生掌握“搭平面”的方法。

基于对螺旋式课程的认识，笔者在案例改进中，紧紧围绕其核心方法，将教材中的一些问题精心改编成相应的问题串，引导学生思考、概括、提炼数学方法，不仅能让学生熟练地解答本模块的常见问题，还可以帮助学生对教材中一些有重要应用的基本图形和解题方法形成基本模式，养成从常见问题发现一般规律的习惯和能力。在问题解决过程中，教师要在学生思维的基础上适时介入，帮助学生明确思维走向、清除思维障碍、纠正错误经验，促使学生完善知识结构，从而实现真正的有效教学。

[1]陆学政.“直线与平面平行的判定”的教学设计与思考[J].中小学数学，2014（3）.

【备注：基金项目——江苏省教育科学十二五规划课题“高中数学核心概念后续教学的实践研究”（B—a/2013/02/038）】