CAE软件操作小百科（42）

收稿日期： 2018-03-21

作者简介：

詹思远（1995—），男，湖南益阳人，硕士研究生，研究方向为锂电池电极材料扩散/反应应力及其耦合本构关系，

（E-mail） 2013sssy@tongji.edu.cn

1 有限差分方法

有限差分方法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法通过泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

有限差分方法是一种直接将微分问题转变为代数问题的近似数值解法，其数学概念直观，表达简单，发展较早且较成熟。有限差分格式分类：从格式的精度来划分可分为1阶格式、2阶格式和高阶格式；从差分的空间形式考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件决定。构造差分的方法有多种形式，主要采用泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有以下4种形式：1阶向前差分、1阶向后差分、1阶中心差分和2阶中心差分等。其中，前2种格式为1阶计算精度，后2种格式为2阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，得到不同的差分计算格式。

2 有限元法

有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写为由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，即可构成不同的有限元法。

有限元法最早应用于结构力学，随着计算机的快速发展，流体力学的数值模拟也采用有限元法。在有限元法中，把计算域离散划分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合逼近单元中的真解。整个计算域上总体的基函数可认为是由每个单元基函数组成的，整个计算域内的解可看作是由所有单元上的近似解构成的。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元法也分为多种计算格式。

从权函数的选择来看，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法；从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格；从插值函数的精度来划分，有线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合构成不同的有限元计算格式。伽辽金法将权函数取为逼近函数中的基函数。最小二乘法令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小。在配置法中，先在计算域内选取N个配置点，令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，最常用的为多项式插值函数。有限元插值函数分为2类：一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日多项式插值；另一类不仅要求插值多项式本身，还要求其导数值在插值点取已知值，称为哈密特多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的無因次坐标是一种局部坐标系，其定义取决于单元的几何形状：一维看作长度比；二维看作面积比；三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用最早，四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用插值函数有拉格朗日插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

3 有限体积法

有限体积法又称为控制体积法，其基本思路是将计算区域划分成不重复的控制体积，并使每个网格点周围有1个控制体积；将待解的微分方程对每个控制体积积分，便得到一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量数值。为求控制体积的积分，必须假定因变量值在网格点之间的变化规律。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简而言之，子区域法属于有限体积法的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。 有限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域自然也得到满足。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间产物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（即插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得到离散方程之后，便可弃之。如果需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。

（摘自同济大学郑百林教授《CAE操作技能与实践》课堂讲义）

（待续）