机械类硕士生有限元法课程教学方法研究

朱维兵　晏静江

摘要：有限元法已广泛应用于工程实际的各领域中，已成为强有力的数值计算工具。本文结合笔者在实践教学中的经验和思考，从教学目的、教学模式和教学内容的选择、教学方法的改进以及考核方式等方面进行了探讨和总结，着力增强学生学习有限元法课程的兴趣，提高教学效果，培养采用有限元法解决实际工程设计问题的能力。

Abstract： Widely used in various fields of engineering practice， finite element method has become a powerful numerical tool. This article， combined with the practical teaching experience and thinking of the author， the teaching objective， the choice of teaching mode and teaching content， teaching method improvement， and the appraisal way are discussed and summarized. The course objective focuses on enhancing students interest in learning the finite element method， and improving the quality of teaching， training students ability of solving engineering problem with finite element software.

关键词：有限元法；教学方法；工程实践

Key words： finite element method；teaching method；engineering practice

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）30-0111-03

0 引言

有限元法起源于50年代中期，是求解各种复杂数学问题最有效的数值计算方法之一，是在求解弹性力学问题的基础上发展起来的，可以分析固体力学、流体力学、传热学、电磁学等领域的复杂工程问题[1]。目前，有限元法已经发展成为一种在工程设计中广泛应用的分析方法。有限元法课程是为西华大学机械类专业硕士研究生开设的一门重要专业选修课，主要介绍有限元法的起源、基本思想和应用领域；有限元分析软件的发展历程、功能和计算分析步骤，用有限元法分析的工程问题；利用弹性力学求解平面问题原理，介绍有限元法的基本原理，包括单元插值函数的构造、单元分析、整体分析、载荷施加与约束简化；轴对称问题的有限元法；等参单元的优缺点及应用；基于稳态传热原理的加权余量有限元法；同时结合工程结构实际分析应用，为学生进一步学习或实际应用及参加科研项目工作打下基础。经过多年的教学实践，积累了一些体会和认识，现就课程的教学目的、教学模式和教学内容的选择、教学方法的改进以及考核方式等方面进行了探讨和总结。

1 明确教学目的

西华大学机械类硕士生有限元法课程的教学目的，是从数学力学基础、有限元软件、工程应用几个方面开展教学工作，使学生从较高层次（数力原理）上掌握有限元方法的基本原理，熟练使用有限元分析软件，具备初步分析工程设计问题的能力；给学生提供一个自主建模分析的优良环境；以培养研究生的综合素质和创新能力。结合工程实际，精选和设计具有代表性的课堂Project，在国际上先进的有限元分析软件平台（如ANSYS）上，进行几何建模、单元划分、约束处理、外载处理、参数设定、计算设定以及结果分析等环节的教学。

2 选择合理的教学内容和教学模式

开设有限元法课程，在介绍抽象的有限元分析理论和方法的同时，必须与实际工程问题分析相结合。教学效果取决于在教学过程中如何找到平衡点，提高教学效果的关键在于教学内容的广度、深度和适应度的把握。

关于有限元法课程的教学模式，一般有两种：侧重于分析理论的教学和学习，目的是培养理论研究能力；侧重于工程实际应用的教学和学习，目的是培养工程技术应用能力，教学内容偏重于有限元分析模型的建立、单元类型选择及网格划分、载荷施加、边界条件简化处理、收敛方法选择及计算结果分析和应用等[2]。第一种模式比较适合研究型或研究教学型大学采用，可在本科高年级或研究生基础知识学习阶段开设此课程，而第二种模式则适合教学研究型或教学型大学的本科和硕士生。西华大学机械类硕士生的培养目标是培养具有较强工程实践能力和创新能力的高层次、复合型工程技术和工程管理人才，所以我们选用第二种教学模式。无论选择哪种教学模式都必须注意，有限元法课程要根据学生的实际情况，处理好理论教学与工程实践应用的轻重关系。鉴于西华大学大多数机械类硕士生没有弹性力学的基础知识，因此课程的教学主要从以下几个方面使学生得到训练。

2.1 有限元法基本原理及计算步骤

有限元法的基本思想，用简单问题代替复杂问题：首先将连续分布结构离散成数目有限的有限单元。各单元仅在有限个结合点处相联，用单元组合体近似代替原来的连续结构。在结点上引入等效结载荷代替作用在单元上的实际动载荷。对每个单元，选择简单的位移模式来近似地表达单元位移的分布规律，并按弹性力学的变分原理建立单元结点力与结点位移的关系，即单元分析，最后把所有单元的这种关系集合起来，得到以所有结点位移为未知量的动力学方程组。给定初始条件和边界条件，就可求解动力学方程。

对于不同数学模型和物理性质问题，具有相同的基本分析步骤，但是具体公式和运算求解方法是不相同的。基本步骤一般为：定义问题及求解域；离散求解域；状态变量及控制方法的确定，将微分方程转化为等价的泛函形式；构造单元合适的近似解，即建立单元矩阵；整体总装求解；求解联立方程组和结果分析、应用。

2.2 有限元软件的使用

早在60年代，国内外众多机构就开始开发有限元算法和分析程序，但真正比较成熟的有限元软件诞生于70年代初期，而近30年则是有限元软件商品化的快速发展阶段。目前有通用有限元分析软件（如ANSYS、MARC、ADINA等）、专用有限元分析软件（如ADAMS等）和嵌套在CAD/CAE/CAM系统中的有限元分析模块（如嵌套在I-DEAS、Pro/ENGINEER、UNIGRAPHICS等系统中的有限元分析模块）。目前主流有限元软件的发展特点主要表现在：与CAD三维建模软件无缝集成，强大的自动网格划分能力，由求解线性问题领域发展到非线性领域，由求解结构场发展到多耦合场，程序具有二次开发功能。ANSYS有限元分析软件通用性好，是融结构、流体、电场、磁场、温度场、声场和医学工程分析于一体的通用分析软件，擅长于多物理场、线性和非线性问题的工程问题分析，在机械、材料成型、汽车、桥梁和建筑等领域应用最广。

本课程先介绍ANSYS有限元分析软件的基本使用方法，然后通过后续的工程实例分析练习，使学生掌握软件的基本使用及分析问题简化、三维建模、单元划分、载荷施加、约束的简化、分析、感兴趣结果的输出、结果的理解判断与应用的一般步骤，熟悉有限元分析的整个过程。

2.3 典型工程分析案例剖析

近年来，随着工程设计、科学研究等要求的不断提高以及计算机运算能力的快速发展，有限元分析方法已成为解决复杂工程问题的重要分析手段，主要表现在：提高设计产品和工程的可靠性；在产品设计阶段发现潜在的问题并加以改进；经过模拟分析计算，采用优化设计方法，降低产品设计成本；缩短产品开发周期；模拟物理试验，减少试验次数，从而降低试验经费。

结合实际工程问题，介绍典型的工程分析案例，加深学生对有限元方法在实际工程应用中的感性认识。工程案例主要包括：结构设计分析，主要包括静、动态分析，结构拓扑优化设计，振动模态分析，齿轮接触应力分析，液压单体冲激振动分析，曲屈和失稳分析等；热分析，主要包括柱塞密封摩擦副热传导分析、对流散热分析和热辐射分析等；流体分析，主要包括机械密封端面流场分析、热固耦合分析等。

3 改进教学方法

3.1 学习兴趣的激发

西方教育家夸美纽斯说：“兴趣是创造一个欢乐光明的教学途径之一。”激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，是“以学生为主体”的现代教学理念的落脚点[3]。我们在讲授有限元法课程绪论时，通过公元3世纪，我国数学家刘徽提出的用割元法求圆周长的方法即是有限元基本思想的体现，以及“曹冲称象”典故所反应的离散逼近思想等，使学生对“有限元法”有感性认知，激发学习兴趣。同时，对发现问题、分析问题和解决问题也有感性认识。

有限元法在实际工程分析中的典型应用，也可以激发学生的学习兴趣。例如，1952年，Clough建立了由一维梁与桁架组拼成的delta翼模型来模拟结构的振动和颤振分析；1990年，波音公司对新型客机B-777进行无纸化设计，仅用三年多时间，就成功开发了新一代波音客机，这是设计、制造史上划时代的成就，有限元分析起了相当重要的作用。此外，利用有限元分析软件，可以建立人体三维骨骼和肌肉等器官模型，并能够模拟其生物力学特性。对模型进行仿真，可模拟拉伸、弯曲、扭转和疲劳等力学性能，从而掌握在不同工况下的变形、应力、应变分布及极限破坏等情况。这些都是“有限元法”的典型工程应用案例。

3.2 注重实践

有限元法涉及弹性力学、泛函分析、矩阵运算和数值计算方法等，其中不乏有抽象、复杂晦涩的公式。因此，单纯讲解有限元分析理论，就会因为繁琐的公式推导，使学生对其有“望而生畏”的感觉。通过介绍有限元法在实际工程分析中的应用，不但可加深其对基本原理的理解，而且可使其真正体会到有限元法解决工程分析问题的能力，激发学习兴趣，从而培养其利用有限元法分析具体问题的能力，提高课教学质量。以往在教学过程中会花绝大部分课时讲解理论基础知识。

目前“有限元法”的教学资源比较缺乏，常用简单平面问题及杆梁结构很难让学生掌握结构简化、有限单元选择与网格划分、边界约束处理与载荷施加、计算结果分析等具体环节，缺少利用有限元技术解决实际工程问题的例子。为此，笔者结合承担的多项项目的研究，对所研究的典型机械密封、钻井筛箱、液压单体以及机载设备安装架等结构进行简化处理，将案例分析引入到教学环节。通过介绍分析问题的来源及工程背景、筛箱动态特性分析、液压单体冲激振动分析、安装架拓扑优化、机械密封流固耦合分析等，激发学生的兴趣和求知欲。同时，通过后续的实际工程分析操作，让学生掌握有限元分析的基本步骤，初步具备利用有限元软件分析实际工程问题的能力。

3.3 多种教学手段结合

利用网络资源、引进多媒体和现代利用信息技术进行教学手段和教学方法的改革，进行多媒体课件的研制工作，完成了《有限元法分析》课程的多媒体课件，所用素材内容丰富、经典生动，学生反映良好，使用方便省时高效；使教师授课空间由二维的黑板扩展到了更真实、自然的多维空间，为改革传统的教学方法和教学手段提供了新的发展机遇。利用校园网提供的网络教学平台，为学生提供了教学课件、学习指导、复习思考题、练习题等大量的学习资源，节省了学时，提高了教学效率和教学质量，也培养了学生的自学能力。最后通过完成简单工程问题的实际分析以达到熟练操作软件的目的。

3.4 改革考核方式

本课程考核的重点是有限元基本原理及其在实际工程分析中的应用。考虑到课程教学内容的应用性强，课程的考核力求体现综合性、应用性和多样性，重点考核学生运用所学有限元原理、分析方法解决实际工程问题的能力。结合西华大学机械类研究生专业特点，精选出难度适中、具有代表性的实际工程分析问题，要求学生利用ANSYS软件自主完成有限元建模和分析计算，并撰写简单的工程分析报告。此部分内容侧重考核学生独立思考、工程分析和动手等综合能力，单纯依靠笔试难以实现。另外，课程考核中还包含要求学生根据所学专业、专长或根据导师科研的要求，选择实际工程问题，撰写出利用有限元软件分析的初步技术路线。学生最终成绩的评定将根据大作业、上机操作以及笔试等情况并按一定比例综合评定。

4 结语

课程教学改革的关键在于更新教学理念。实践新的教学理念，就必须从精选教学内容，改革教学方法和手段以及注重工程实际应用等方面着手。针对有限元法课程应用性强的特点，笔者根据西华大学机械类硕士生的培养目标，结合承担的多项项目的研究成果，探索将最新分析成果融入教学内容，通过典型机械密封、钻井筛箱、液压单体以及机载安装架等实际的工程分析案例剖析，提高了学生的学习积极性，增强了学生对有限元方法在实际工程应用中的感性认识，培养学生具备初步分析工程设计问题的能力，为后续的专业课程学习打下了良好的基础。

参考文献：

[1]王勖成.有限单元法[M].北京：清华大学出版社，2003.

[2]安治国.机械有限元分析课程教学方法研究[J].青春岁月，2010（18）：56.

[3]吴翊.启发式教学再认识[J].中国大学教学，2011（1）：67-68.