κ−μ阴影衰落信道下非数据辅助的误差矢量幅度性能分析

杨凡，曾孝平，毛海伟，简鑫，杜得荣，谭晓衡，高乙文

（1. 重庆大学通信工程学院，重庆 400044；2. 重庆金美通信有限责任公司，重庆 400030；3. 中国移动通信集团重庆有限公司，重庆 400044）

1 引言

κ−μ阴影衰落信道作为一种广义的衰落信道，由Yacoub[1]首次提出，它具有与实际信道测试数据一致性好且能退化为多种典型衰落信道（Rice信道和Nakagami-m信道等）的特点[2]。κ−μ阴影衰落信道下的性能预测可为自适应调制策略设计、传输容量优化等无线通信中的关键技术提供有效的理论参考而受到国内外的广泛关注。但由于在κ−μ阴影衰落信道下尚未给出理论的性能界限，无法给实际的系统设计提供有效的理论依据，因此，如何选择信道评估参量并在κ−μ阴影衰落信道下进行性能分析就成为研究的核心问题。

信道质量分析的关键在于评估信道的物理量能够实时准确地反映信道变化。一般常采用误比特率（BER, bit error rate）和接收符号的信噪比（SNR,signal to noise ratio）来进行准静态信道的质量评估[3]，而应用在κ−μ阴影衰落信道下，BER因为需要根据译码后的结果进行统计，统计结果远滞后于信道变化；SNR估计常依赖于辅助数据（如前导符号和导频符号）完成，也存在由于辅助数据间的固定时间间隔导致信道评估的非实时性误差。随着研究的深入，研究人员提出将误差矢量幅度（EVM, error vector magnitude）作为特征参量，在时变衰落信道下评估信道质量的变化[4～6]。将EVM应用于评估信道质量的研究尚处于起步阶段，有限的研究也仅基于辅助数据符号的EVM（DA-EVM, data-aided error vector magnitude）的测试与计算[7～9]，并没有从理论上建立衰落信道下EVM的数学模型，无法推广到更为一般的κ−μ阴影衰落信道中；文献[10]利用SNR作为中间变量，推导了DA-EVM在基于MRC传输模型下κ−μ阴影衰落信道的理论表达式，并在此基础上进行退化，给出了几种典型信道下的DA-EVM闭合式，文献[10]首次建立了利用DA-EVM分析κ−μ阴影衰落信道的理论体系架构，但由于辅助数据固定间隔带来的非实时统计误差，文献[10]中DA-EVM的解析式不能有效地应用于κ−μ阴影衰落信道下的快时变场景。针对上述问题，并考虑到实际通信系统多采用非辅助数据接收，有学者提出采用非辅助数据符号的 EVM（NDA-EVM,nondata-aided error vector magnitude）对衰落信道进行分析[11]。NDA-EVM有以下优点：1)NDA-EVM对于无线信道衰落极为敏感，衰落引起接收符号的细微变化即会引起NDA-EVM较大的波动；2)不同于数据辅助的SNR和EVM估计，NDA-EVM估计不需要对比译码后的辅助数据，这样即使在数据传输失败的场景下，依然可以获得NDA-EVM信息，并据此预测出当前信道条件下通信系统可能达到的性能（如误符号率和吞吐量）[12]。目前，衰落信道下的NDA-EVM理论分析仅针对某些典型信道，如文献[11]给出了NDA-EVM在Reyleigh信道下的计算模型，测试结果表明理论值与实际测试值有很高的一致性，可对Reyleigh衰落信道下系统的性能进行有效预测，然而文献[11]并未将NDA-EVM对典型衰落信道表达式推广至更为一般的κ−μ阴影衰落信道，其难点在于NDA-EVM对衰落信道定量分析需要给出闭合的解析式，而NDA-EVM在衰落信道下的建模具有很强的复杂性；同时NDA-EVM对κ−μ阴影衰落信道解析式也需要建立NDA-EVM与κ−μ分布关系，但此关系迄今依然是一个公开的问题，尚未有明确的解答。

据此，本文给出了SISO系统中利用NDA-EVM分析κ−μ阴影衰落信道的理论方法。以信道的衰落因子为中间变量，建立了κ−μ阴影衰落信道与NDA-EVM的联系；通过最大似然准则推导了MQAM符号在衰落信道下NDA-EVM的闭合式；并在上述基础上给出NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道下的理论下限，通过灵敏度分析进一步研究了信道参数对所推导下限的影响程度。经过仿真模拟，表明推导的下限值与理论值一致性较好，特别在低信噪比下有紧下界，且下限值对信道变化非常敏感，可为系统接收性能的准确预测提供理论支撑。

2 NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道的理论界限

κ−μ阴影衰落信道下NDA-EVM理论分析的基本思路是以MQAM信号在单输入单输出（SISO,single-input single-output）系统传输为系统背景，推导κ−μ阴影衰落信道下衰落因子的概率密度函数以及NDA-EVM的计算模型，以信道衰落因子为中间变量建立NDA-EVM与κ−μ阴影衰落信道之间的联系，由此推导出NDA-EVM的理论界限。

2.1 信道衰落因子在κ−μ阴影衰落信道下的概率密度函数

在SISO系统中，MQAM信号在κ−μ阴影衰落信道下的模型可表示为

其中，n均值为0、功率谱密度为的复高斯随机过程，；信道归一化衰落因子为α，信号包络能量的概率分布函数[13]为

其中，1F1(·)为Kummer超流函数。由文献[13]的结论和SISO系统单天线接收的特性，式(2)可以表示为

其中，为双变量合流超几何函数。由于2z=α，由式(3)可以进一步推出衰落因子α在κ−μ阴影衰落信道下的概率密度函数为

2.2 MQAM信号的NDA-EVM闭合解

NDA-EVM反映了接收符号与发送符号星座点的均方误差，在实际的系统中，收发信机的非理想状态（如功放工作在非线性区、载波泄露、I/Q不平衡等）和无线信道衰落是影响系统性能的2个典型方面，均会对NDA-EVM的评估产生影响。实际的通信系统，由于收发信机的工作状态确定，所以设备的非理想状态对NDA-EVM的影响是固定的，这种影响可采用射频线缆连接收发信机的方式，通过仪器准确地度量出来。而信道的随机特性，信道衰落对NDA-EVM的影响不是固定的，是随信道参数改变而变化的。

接收端NDA-EVM的误差评估是收发信机的非理想状态和信道衰落这 2个方面影响的“线性叠加”，由于这 2个方面的因素彼此独立，通过测量得出设备对NDA-EVM的影响后，就可以得出信道变化对NDA-EVM的影响。利用接收符号来计算NDA-EVM，由于接收符号受设备非理想和信道衰落的影响，估计出的NDA-EVM也反映了这2类影响因素的叠加，在除去测量得到设备非理想状态下的NDA-EVM，就可以得出信道对NDA-EVM的影响。基于此，为了方便分析，本文假设收发信机是理想状态，NDA-EVM仅受信道衰落影响，通过NDA-EVM来评估信道质量[11]，它可表示为

其中，y[i]是第i个接收符号，是由接收符号通过最大似然准则估计出的发送符号，为不失一般性，设P0=1。发送符号Si为M阶的MQAM符号，可表示为

其中，因为MQAM符号实部和虚部具有对称性，下文仅考虑实部用下标R表示，且省略收/发符号的索引号i，简化式(5)为为归一化幅度

由式(1)可知，接收符号的实部yR的条件概率密度函数可表示为

其中，ϕ(·)为标准正态分布的概率密度函数。在最大似然准则下，由接收符号yR估计出发送符号为的概率为

其中，Di,R为发送符号Si,R的判决域

由于发送符号等概率出现，可由条件概率求出

将式(9)和式(11)代入式(7)，可得

其中，Q(·)为互补累计分布函数，λji,R=−Si,R+αRSj,R。至此，式(12)给出了衰落信道下各调制阶数NDA-EVM的统一计算模型。式(12)表示当调制阶数为M的星座点被接收端依概率判决在Di,R域中3个区域时，每个区域中对应的EVM值的累加。

根据其物理意义，NDA-EVM可分为2个部分，第一部分为式(12)右边中第一和第二个累加项，表示Di,R域中2个边缘区域D0,R和Dk,R的EVM值，第二部分为后面2个累加项的差，表示1 ≤i≤k−1的中间区域Di,R的EVM值。由于第二部分恒为正值，且远小于第一部分的EVM值。由式(12)可以表示为

考虑到μjk,R=b[α(j−k) + (αj−k)]＜ 0和Q(x)的单调递减性，可得。又由于

同理，，式(13)可以进一步放缩为

根 据 Cauchy–Schwarz–Buniakowsky 不 等 式[14]，令bk=1，可得，由此，式(14)可表示为

其中，，化简式(15)最终可得出NDA-EVM的下限为

2.3 κ−μ阴影衰落信道下NDA-EVM的下限

κ−μ阴影衰落信道下NDA-EVM的下限表示在该信道下NDA-EVM估计所能达到的最小值，它反映出当前信道环境MQAM信号在最佳接收时的星座点偏移，由此可以推算出在此信道状态下系统可达到的最优性能（如自适应调制系统在当前信道条件下的最高调制阶数以及系统可以达到的最低误码率），NDA-EVM下限可为无线传输系统的设计提供一个量化指标。

上文推导了衰落因子α在κ−μ阴影衰落信道下的概率密度函数，以及NDA-EVM在衰落信道下的解析式，以衰落因子α为中间变量，可以建立NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道下的模型。它可由κ−μ阴影衰落信道下的每一个瞬间衰落对应的NDA-EVM在该衰落因子α概率分布上的加权来量化。即

可以看出式(17)下限可由NDA-EVM的下限决定，由此将式(4)、式(16)代入式(17)可得2

令，将式(18)做积分变量替换后，可以表示为

其中，。在满足的条件下，2(k)p1α≥ 。

由此，式(19)可进一步化简为

利用文献[15]中的性质

对式(20)进行化简，最终得到不同调制阶数的

NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道的下限成立的条件，需满足0＜p＜μ。由此，式(22)的p最优值p∗可通过对p进行优化求取。

值得注意的是，为了满足

通过数值搜索的方法，不同调制阶数的NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道的最紧下限可由最优的p∗值确定。

2.4 NDA-EVM下限在几种典型信道下的退化

κ−μ阴影衰落信道可以退化为几种典型的信道，如Rice信道和Nakagami-m信道等，由此也可以得到NDA-EVM在这几种典型信道下的下限。

1) Rice信道

当μ=1时，κ−μ阴影衰落信道可以化简为Rice信道，此时的κ即为莱斯因子。由此可得

在Rice信道的下限可以简化为

p最优值p∗可表示为

为验证NDA-EVM及其下限在Rice信道的有效性，将由式(12)得到的NDA-EVM值、式(24)得到的下限值以及LTE-A标准3GPP TS 36.101定义的EVM值进行对比[16]。Rice信道下( 1, 10μ=κ= )，当SNR=0 dB，α=0.8时，三者对比如表1所示。

表1 在Rice信道下NDA-EVM及其下限与LTE-A标准EVM典型值的对比

由表1可以看出，当κ−μ阴影衰落信道退化为 Rice信道，由本文算法求取的NDA-EVM与 LTE-A标准下的典型值较为接近，且各阶调制模式下的NDA-EVM下限值与典型值的差异均小于8%。

2) Nakagami-m信道

当κ→0时，κ−μ阴影衰落信道可以化简为Nakagami-m信道。由此可得。将其代入式(22)，可化简为

由文献[15]可知

式(26)可进一步化简，得到NDA-EVM在Nakagami-m信道的下限值为

其中，p最优值p∗可表示为

同理，为验证所推下限的有效性，在Nakagami-m信道(κ= 0.01,μ= 1时)下，对 LTE-A标准下的EVM典型值、NDA-EVM以及其下限值进行对比。当SNR=0 dB，α=0.9时，三者对比如表2所示。

表2 在Nakagami-m信道下NDA-EVM及其下限与LTE-A标准EVM典型值的对比

由表2可以看出，在Nakagami-m信道，NDAEVM与LTE-A标准下的典型值较为接近，且各阶调制模式下的NDA-EVM下限值与典型值的差异均小于10%。

综上可知，在κ−μ阴影衰落信道退化为 Rice和Nakagami-m典型信道时，NDA-EVM与LTE-A标准下的典型值一致，NDA-EVM的下限值放缩误差小于 10%，可以对κ−μ阴影衰落信道进行有效的评估。

3 NDA-EVM特性的理论分析

3.1 下限的参数灵敏度分析

由式(22)可知，NDA-EVM下限受参数k、μ、κ的影响。参数灵敏度反映了信道参数κ、μ、调制阶数对NDA-EVM下限的影响程度，通过灵敏度分析可发现NDA-EVM下限对哪些参数变化敏感，从而为分析不同信道下NDA-EVM的性能提供理论支撑。

第二，垄断性国有企业的分类重组改造是国有企业混合所有制改革的必要条件。《关于国有企业功能界定与分类的指导意见》界定了三类国有企业，即主业处于充分竞争行业和领域的商业类国有企业；主业处于关系国家安全、国民经济命脉的重要行业和关键领域，主要承担重大专项任务的商业类国有企业；处于自然垄断行业的国有企业。这三类企业的混合所有制改革方向、路径和目标截然不同，需要分类处置。但是目前我们的国有企业，尤其是大型央企大多是三种业务兼而有之，甚至部分央企还承担社会公益服务，综合性业务采取一种混合所有制改革路径显然不适宜。因此，需要采取剥离、重组、整合、改造等手段，予以分类处置和归一化处理[3-5]。

为了量化单参数变化对下限值的影响程度，NDA-EVM下限的灵敏度分析采用各参数的灵敏度系数进行定量评估。根据文献[17]对灵敏度的定义，变量参数xi对系统y(x)的灵敏度系数Sxi可表示为

可以得到参数k、μ、κ的灵敏度系数，如表3所示。

图1分别给出了调制参数k、信道参数μ、κ的灵敏度分析曲线。它们反映了其中任意一个变量在其余2个变量固定时对NDA-EVM下限的影响程度。

从图1可以看出以下3点。1)，即调制阶数对NDA-EVM下限值的影响最大，信道参数μ影响次之，信道参数κ影响最小。2)Sk、Sμ、Sκ均为负值，调制参数k、信道参数μ、κ均与NDA-EVM下限负相关，即任一参数变大，NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道的下限均会减小。3) 调制参数k、信道参数μ、κ的值由小变大，其灵敏度系数的绝对值由大变小并接近 0，表明随着3种参数值变大，NDA-EVM下限趋于稳定，最终收敛。

表3 NDA-EVM下限的参数灵敏度

图1 NDA-EVM下限的参数灵敏度分析

图1 NDA-EVM下限的参数灵敏度分析（续）

3.2 低信噪比的紧下界

在求取NDA-EVM下限时，对NDA-EVM的闭合式进行放缩，放缩误差的主要来源于式(12)对后2项中“2个累加项的差”的处理，下面分析低信噪比下的放缩误差，记误差项为

由此可知，在低信噪比条件下，误差项趋近于0，其物理意义是：在信噪比很低的条件下，接收端的星座符号大量的偏离理想星座点，大概率的分布在Di,R域中2个边缘区域D0,R和Dk,R，分布于中间区域Di,R的概率很小，计算NDA-EVM时可以将其忽略掉。

图2给出了低信噪比情况下ε的变化情况，由图 2可见，ε在低信噪比区，各个调制阶数的NDA-EVM均趋近于0，与理论的分析吻合。

由于在低信噪比下，MQAM信号的NDA-EVM有紧下界，所以由式(16)推导出的NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道的下界在低信噪比区依然是紧下界。

3.3 NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道下的RMSE

为了验证NDA-EVM评估κ−μ阴影衰落信道的准确性，本节利用最小均方误差（RMSE, root mean square error）对比分析了NDA-EVM、DA-EVM和DA-SNR这3种信道评估参量。RMSE反映了信道估计值与真实值之间的差异，它定量给出了NDA-EVM、DA-EVM和DA-SNR的估计偏差。由于本文假设收发信机理想状态，在不考虑设备误差的情况下，RMSE的物理意义是3种信道质量评估参量受无线信道影响时的估计偏差。RMSE越小，表明信道质量评估值越接近实际值，越能准确地表征信道质量。由于实际信道具有随机特性，实际的测试也只能反映某一时刻特定状态的信道特征，无法反映所有参数变化对信道评估参量的影响，所以本文采用蒙特卡洛方法对不同的信道参数逐一扫描，模拟信道变化时NDA-EVM、DA-EVM和DA-SNR的评估准确性。为模拟信道的随机特性，将大量发送数据通过不同信道参数的κ−μ阴影衰落信道，并记录不同信道参数改变下，由式(12)估计算出的NDA-EVM值（记为Eξ），同时接收端利用蒙特卡洛算法，比较接收星座点与理想星座点的偏差，进行NDA-EVM测算，将其作为NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道下的真实值（记为ξR）。经过 105次测算后，由，可以计算出NDA-EVM的RMSE。同理，可得出DA-EVM和DA-SNR的RMSE。

图3和图4给出了NDA-EVM与传统的信道质量评估量（DA-SNR和DA-EVM）在κ−μ阴影衰落信道下估值的均方误差曲线。其中，辅助数据的分布为每100个数据符号插入1个已知序列的辅助数据符号。由图3和图4可知：随着信道参数μ的减小，3种估计量的RMSE均增加，但NDA-EVM估计值与真实值更为接近，RMSE明显低于传统评估量，且μ值越小，NDA-EVM与对比统计量在RMSE上的差距越明显，这是因为参数μ越小，信道衰落加剧引起的接收信号畸变越严重[18]，DA-EVM和DA-SNR估计速率受辅助数据固定间隔影响无法准确反映信道的快速变化；同理，随着信道参数κ的减小，表明衰落造成的信号能量耗散增加[18]，接收信号恶化，但NDA-EVM估计同样有最小的RMSE。说明NDA-EVM对κ−μ阴影衰落信道质量的评估更为准确，较传统评估量也更为有效。

图3 μ=1, κ变化时3种评估参量的RMSE

图4 κ=1, μ变化时3种评估参量的RMSE

可以看出，NDA-EVM估计在不同的信道环境下均有比DA-EVM和DA-SNR低的估计误差，其根本原因在于NDA-EVM不受辅助数据间隔的影响，信道质量评估实时性好。在实际的应用中，由于DA-EVM和DA-SNR是依靠辅助数据（如导频、前导）来完成信道质量的测算，辅助数据的间隔决定了信道质量评估的速度，DA-EVM和DA-SNR显然无法跟踪信道的变化。特别是应用到数据分组或自适应调制这类对实时性要求较高的系统中，系统需要对信道质量实时评估以调整传输参数，以DA-EVM和DA-SNR为信道质量评估参量就会因为实时性差导致传输参数的选择错误，影响系统性能。总之，NDA-EVM在信道质量估计的实时性和准确性上要优于DA-EVM和DA-SNR，可为实际通信系统中自适应调制门限的精确选取、时变信道下的传输策略优化以及系统接收性能的准确预测提供理论参考。

4 κ−μ阴影衰落信道下NDA-EVM的性能仿真

为了对NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道下可以达到的性能界限进行分析，本节采用蒙特卡洛法进行仿真实验。仿真模拟了 SISO系统，对通过κ−μ阴影衰落信道的MQAM信号进行NDA-EVM测算，将经过105次测算的NDA-EVM算术平均后作为其在κ−μ阴影衰落信道下的理论值，通过与文本估计值进行仿真对比，分析不同信道参数下NDA-EVM的性能。

4.1 不同调制阶数MQAM符号的NDA-EVM下限

图5给出了在κ−μ阴影衰落信道下NDA-EVM下限在不同调制阶数下的性能。信道参数为κ= 0.85，μ=0.55，在此信道参数下通过数值搜索确定出各调制阶数NDA-EVM下限值的最优p*，其中QAM(p*= 0.28)，16QAM(p*= 0.26)，64QAM(p*= 0.2025)。由图5可知：1) 低信噪比下NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道的下限接近理论值，这种特性在第3.2节中进行了详细的分析。值得注意的是，当信噪比不断增加时，NDA-EVM的下限值不断减小直至收敛；2)NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道的下限值受调制阶数的影响较大，调制阶数越高，NDA-EVM下限越低，这种现象可由调制阶数对NDA-EVM下限的灵敏度特性得出解释。

图5 不同调制阶数MQAM符号在κ−μ阴影衰落信道下的NDA-EVM下限

4.2 不同信道参数μ的NDA-EVM下限

图6比较了QAM信号在μ参数变化时NDA-EVM下限与理论值的性能差异。由图6可知：1) 低信噪比使NDA-EVM下限值逼近于理论值，随着信噪比增加NDA-EVM下限最终收敛；2) 随着信道参数μ的增加，NDA-EVM下限值不断降低，这是由于参数μ表示了衰落信道的直视径能量的集中程度[2]，参数μ越大，直视径能量越集中，NDA-EVM有较低的下限值。同时，由灵敏度分析可知，参数μ对下限值的影响较大，较小的μ变化将造成NDA-EVM下限的较大波动。

图6 不同信道参数μ的NDA-EVM下限

4.3 不同信道参数κ的NDA-EVM下限

图7比较了QAM信号在κ参数变化时NDAEVM下限与理论值的性能差异。

图7 不同信道参数κ的NDA-EVM下限

由图7可知：1) 与前文分析一样，在不同信道参数κ的衰落信道中，NDA-EVM下限与理论值在低信噪比下有较小差距，随着信噪比增加NDA-EVM下限最终收敛；2) 随着信道参数κ的增加，NDA-EVM下限值不断降低，这是由于参数κ表示了信道衰落下接收端信号能量的集中程度[2]，参数κ越大，衰落造成的能量耗散越小，因此NDA-EVM有较低的下限值。同时，由参数的灵敏度分析可知，相较其他参数，κ的变化对NDA-EVM下限的影响最小。

5 结束语

本文提出一种基于NDA-EVM对κ−μ阴影衰落信道进行理论分析的方法。通过最大似然准则建立了衰落信道下NDA-EVM统一的计算模型；并以衰落因子为中间变量，建立了NDA-EVM与κ−μ分布的联系，据此推导了NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道的理论表达式，给出了NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道可能达到的理论下限，并化简了理论下限在几种典型信道（Rice信道和Nakagami-m信道）下的退化表达式。进一步地，对所推导的NDA-EVM下限进行参数灵敏度、紧下界以及信道评估参量的RMSE对比分析，并通过仿真模拟NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道下的性能。结果表明：1) 相较传统的DA-SNR和DA-EVM，NDA-EVM对κ−μ阴影衰落信道的评估具有更小的RMSE值，评估结果更为准确有效；2) 推导的NDA-EVM下限在低SNR区域更接近理论值；3)NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道的理论下限受到调制阶数、参数κ和μ的影响，其中受调制阶数影响程度最大，参数μ次之，

参数κ最小；4) 理论下限均与调制阶数、参数κ和μ负相关变化，即理论下限均随着参数的增大而降低。简言之，NDA-EVM在κ−μ阴影衰落信道定量分析具有广泛的理论意义和工程应用价值，可为自适应调制门限的精确选取、时变信道下传输策略的优化以及系统接收性能的准确预测提供理论参考。

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