计数原理拔高卷（A卷）

■北京师范大学万宁附属中学 刘金泉

编者的话:强化对核心考点的演练、注重对经典题型的归纳,是学好数学的秘诀,基于此,本刊编辑部特开设此栏目,希望同学们能认真练习。

一、选择题

1.完成某项测试要过两关,第一关有3种测试方案,第二关有5种测试方案,某人参加该项测试,不同的测试方案种数为( )。

A.3+5 B.3×5 C.35D.53

2.如图1,从A城到B城有3条路;从B城到D城有4条路;从A城到C城有4条路,从C城到D城有5条路,则某旅客从A城到D城共有n条不同的路线,则n=( )。

A.16 B.24 C.32 D.64

3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )。

A.6种 B.12种

C.24种 D.30种

4.三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列,可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为( )。

A.8 B.6 C.14 D.48

5.有4位教师在同一年级的4个班中各教1个班的数学,在检测时要求每位教师不能在本班监考,则不同的监考方法有( )。

A.8种 B.9种

C.10种 D.11种

6.将一个四面体A-BCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有( )。

A.1种 B.3种 C.6种 D.9种

7.小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面,他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面不能相对,则不同的摆法有( )。

A.4种 B.5种 C.6种 D.9种

8.25人排成5×5方阵,从中选出3人,要求其中任意2人既不同行也不同列,则不同的选法有( )。

A.60种 B.100种

C.300种 D.600种

9.一个旅游景区的游览线路如图2所示,某人从点P处进,点Q处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的游览线路有( )。

图2

A.6种 B.8种

C.12种 D.48种

10.现有2门不同的考试要安排在5天之内进行,每天最多进行1门考试,且不能连续2天有考试,那么不同的考试安排方案种数是( )。

A.12 B.6 C.8 D.16

11.一排有6个座位,三位同学随机就座,任意两人不相邻的坐法种数为( )。

A.12 B.36 C.24 D.72

12.安排6名歌手演出顺序时,要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面,则不同排法的种数是( )。

A.180 B.240 C.360 D.480

13.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )。

A.24 B.48 C.60 D.72

14.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则首位为2的“六合数”共有( )。

A.18个 B.15个

C.12个 D.9个

15.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb不同值的个数是( )。

A.9 B.10 C.18 D.20

16.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )。

A.24对 B.30对

C.48对 D.60对

17.将标号为1,2,3,4的4个篮球分给3位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号为1,2的2个篮球不能分给同一位小朋友,则不同的分法种数为( )。

A.15 B.20 C.30 D.42

18.现有2名男生,3名女生和1位老师共6人站成一排照相,若两端站男生,3名女生中有且仅有2名相邻,则不同的站法种数是( )。

A.12 B.24 C.36 D.48

19.某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选1个博物馆参观,则有且只有2个年级选择甲博物馆的情况有( )。

A.A26×A45种 B.A26×54种

C.C26×A45种 D.C26×54种

20.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数,则这样的偶数的个数是( )。

A.72 B.96 C.108 D.144

21.从集合{1,2,3,4,…,10}中选出5个数组成子集,使得这5个数中任意2个数的和都不等于11,则这样的子集有( )。

A.32个 B.34个

C.36个 D.38个

22.有5名优秀毕业生到母校的3个班级去作学习经验交流,则每个班至少去1名的不同分派方法种数为( )。

A.150 B.180 C.200 D.280

23.有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个,每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中任取3个标号不同的球,这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为( )。

A.80 B.84 C.96 D.104

24.将甲、乙、丙、丁、戊5位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学,若每所大学至少保送1人,且甲不能保送到北大,则不同的保送方案共有( )。

A.150种 B.114种

C.100种 D.72种

25.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊5名成员同时抢4个红包,每人最多抢1个红包,且红包全被抢光,4个红包中有2个2元,2个3元,金额相同视为相同红包,则甲、乙2人都抢到红包的情况有( )。

A.36种 B.24种

C.18种 D.9种

26.某学校安排甲、乙、丙、丁4位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报1科,每科至少有1位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有( )。

A.36种 B.30种

C.24种 D.6种

27.如图3所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成,我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案),那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是( )。

A.16 B.32 C.48 D.64

图3

29.(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为( )。

A.10 B.20 C.30 D.60

30.设的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为( )。

A.-150 B.150 C.300 D.-300

31.已知1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是( )。

A.28B.38

C.1或38D.1或28

32.若第3项的二项式系数为36,则其展开式中的常数项为( )。

A.84 B.-252

C.252 D.-84

33.若项的二项式系数最大,则其展开式的常数项是( )。

A.360 B.180 C.90 D.45

34.已知(2x-1)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则a0+a2等于( )。

A.-13 B.-10 C.10 D.13

35.在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中,含x2项的系数是( )。

A.10 B.15 C.20 D.25

36.若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,则a1+a2+…+a11的值为( )。

A.0 B.-5 C.5 D.255

37.设a,b,m为整数(m＞0),若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记a≡b(modm)。若a=C118+C218+…+,a≡b(mod9),则b的值可以是( )。

A.2015 B.2016

C.2017 D.2018

38.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )。

A.45 B.60 C.120 D.210

39.现定义eiθ=cosθ+isinθ,其中i为虚数单位,e为自然对数的底数,θ∈R,且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用。若a=,那么复数a+bi等于( )。

A.cos5θ+isin5θ B.cos5θ-isin5θ

C.sin5θ+icos5θ D.sin5θ-icos5θ

二、填空题

40.在三位正整数中,若十位数字小于个位和百位数字,则称该数为“驼峰数”。比如“102”,“546”为“驼峰数”,由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有____个。

41.5名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为____。5名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),则获得冠军的可能性有____种。

42.直线Ax+By=0,若从集合E={0,1,3,5,7,8}中每次取出2个不同的数作为A,B的值,则可表示____条不同的直线。

43.现有2个红球,3个黄球,4个白球,同色球不加区分,将这9个球排成一列,有____种不同的排列方法。

44.在数字1,2,3与符号“+”“-”这5个元素的所有全排列中,任意2个数字都不相邻的全排列方法共有____种。

45.国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教。现有6位免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,则有____种不同的分派方法。

46.若把英语单词“error”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有____种。

47.用字母A,Y,数字1,8,9构成一个字符不重复的五位号牌,要求字母A,Y不相邻,数字8,9相邻,则可构成的号牌的个数是____。

48.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有____个。

49.化简

50.在(2x+x)5的展开式中,x3的系数是____。

51.1.028的近似值是____。(精确到小数点后三位)

52.已知(x+2y)n的展开式中第二项的系数为8,则(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开式中所有项的系数和为____。

53.(1+x+x2)常数项为____。

54.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为____。

55.设复数____。

56.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,则a0+a1+2a2+3a3=____。

57.若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为____。

三、解答题

58.编号为A,B,C,D,E的5个小球放在如图4所示的5个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且A球不能放在1,2号,B球必须放在与A球相邻的盒子中,则不同的放法有多少种?

图4

59.用0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的七位数。

(1)能被25整除的数有多少个?

(2)设x,y,z分别表示个位、十位、百位上的数字,满足x＜y＜z的数有多少个?

(3)偶数必须相邻的数有多少个?

60.有6名学生报名参加3个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定6名学生都能参加)

(1)每人恰好参加1项,每项人数不限;

(2)每项限报1人,且每人至多参加1项;

(3)每项限报1人,但每人参加的项目不限。

61.已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f是从集合A到集合B的映射。

(1)若B中每一个元素都有原象,这样不同的f有多少个?

(2)若B中的元素0无原象,这样的f有多少个?

(3)若f满足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的f有多少个?

62.某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中:

(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法?

(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?

(3)甲、乙2人至少有1人参加,有多少种选法?

(4)队中至少有1名内科医生和1名外科医生,有几种选法?

(1)求n;

(2)求展开式中的常数项。

(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项。

(1)展开式中所有含x的有理项;

(2)展开式中系数最大的项。

66.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:

(1)a1+a2+…+a7;

(2)a1+a3+a5+a7;

(3)a0+a2+a4+a6;

(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|。