二项式定理常考题型解析

伍强华

二项式定理是高中数学中的一个重要的内容，是高考中的常考知识点. 近几年的高考题（尤其是全国卷Ⅰ），对这个知识点的考查有难度加大之势. 本文对二项式定理中的几类常考的题型展开研究.

求通项

[（a+b）n]展开式中的第[k+1]（[k∈N*]）项[Cknan-kbk]叫作展开式的通项，用[Tk+1]表示，即[Tk+1=Cknan-kbk]. 二项式展开式的通项很重要，利用它可以解决很多问题.

例1 求[（x+12x4）8]的展开式中的有理项.

分析 写出这个二项式展开式的通项，当通项中[x]的次数为整数时，该项即为有理项.

解 ∵[（x+12x4）8=（x12+12x-14）8]，

∴[Tk+1=Ck8（x12）8-k（12x-14）k=12kCk8x4-3k4].

由题意知，[4-3k4]（[k∈N*]）必为整数，故[k=0]，或[k=4]，或[k=8].

当[k=0]时，[T1=x4]；当[k=4]时，[T5=358x]；当[k=8]时，[T9=1256x2].

所以展开式中的有理项为[x4，358x，1256x2].

点拨 当二项式中含有根式时，要先将根式化为指数式，然后求解.

求展开式中某项的系数或二项式系数

例2 设[m]为正整数，[（x+y）2m]展开式的二项式系数的最大值为[a]，[（x+y）2m+1]展开式的二项式系数的最大值为[b]，若[13a=7b]，则[m=]（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

分析 [（a+b）n]的展开式中各项的系数[Ckn][（k∈N*）]叫二项式系数. 当[n]为偶数时，展开式的项数为奇数项，中间一项的二项式系数最大. 当[n]为奇数时，展开式的项数为偶数项，中间两项的二项式系数最大.

解 ∵[（x+y）2m]的展开式共有[2m+1]项，

∴第[m+1]项的二项式系数最大，[∴a=Cm2m].

又[（x+y）2m+1]的二项展开式共有[2m+2]项，∴第[m+1]项或[m+2]项的二项式系数最大，[∴b=Cm+12m+1].

由[13a=7b]得，[13Cm2m=7Cm+12m+1]，解得[m=6].

答案 A

点拨 本题中二项式系数的最大值和解含有组合数的方程是难点. 解题过程中要注意“某项的系数”与“二项式系数”的区别.

例3 已知[（x+ax）（2x-1x）5]的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）

A. 40 B. -20 C. 20 D. 40

分析 将[（x+ax）（2x-1x）5]展开，其展开式的形式为[a0xm0+a1xm1+a2xm2+…+anxmn]. 利用赋值法，令[x=1]，则展开式中各项系数和为[a0+a1+a2+…an][=（1+a）（2-1）5]，由此求出[a]，则问题可解.

解 由题意知，令[x=1]，则其展开式中各项系数和为[（1+a）（2-1）5=2]，∴[a=1].

∴[（x+ax）（2x-1x）5=（x+1x）（2x-1x）5].

对于[（2x-1x）5]，其展开式的通项为[Tk+1=][Ck5（2x）5-k（-1x）k][=Ck525-k（-1）kx5-2k]. 故展开式中含[x]的一次项和含[x]的-1次项分别为[80x，-40x-1]，将它们分别与[（x+1x）]中的[1x，x]相乘得，[80x?x-1+（-40x-1）?x=40]，故所求展开式中的常数项为40.

点拨 求某个式子的展开式中各项系数的和通常使用赋值法，即赋予字母（或式子）特定的值，则可求出各项系数之和.

求三项展开式中的特定项

有关三项式展开式的问题，可以通过转化，用二项式定理的知识或组合的知识来解决.

例4 求[（x2-4x+4）5]的展开式中[x2]的系数.

分析 利用式子[x2-4x+4]的特殊性，将其转化为二项式问题解决.

解 [∵（x2-4x+4）5=（x-2）10]，其展开式的通项为[Tk+1=Ck10x10-k（-2）k]，

[∴]其展开式中含[x2]的项为第9项.

又[∵T9=C810x10-8（-2）8=11520x2]，

[∴x2]的系数为11520.

点拨 将三项式转化为二项式是解答本题的关键. 将陌生的情境转化为熟悉的情境、陌生的问题转化为熟悉的问题、陌生的知识转化为熟悉的知识，既是化归转化思想的“主旨”，又是问题解决的“通法”，要加深理解，熟练掌握，灵活运用.

例5 求[（x2+3x+2）5]展开式中的[x]的系数.

分析 此例中的式子[x2+3x+2]具有一般性，可转化为二项式问题求解，也可以回归教材，利用排列组合知识求解.

解 方法一：由[（x2+3x+2）5=[x2+（3x+2）]5]

[=C05（x2）5+C15（x2）4（3x+2）+…+C55（3x+2）5]，

…（略）

方法二：[（x2+3x+2）5]表示5个[（x2+3x+2）]相乘，从5个[（x2+3x+2）]中各取一项相乘，即可得展开式中的一项. 欲得到一次项，则应从5个式子[（x2+3x+2）]中的一个里取[3x]，另外4个中取2相乘得到含[x]的项，即[C15（3x）?24]，化简得240[x]. 所以展开式中[x]的系数为240.

点拨 将[（x2+3x+2）5]转化为二项式问题求解有三种途径：一是转化为[[x2+（3x+2）]5]，二是转化为[[（x2+2）+3x]5]，三是转化为[[（x2+3x）+2]5]. 如何进行转化，应视题意而定. 比较上述两种解法，显然用计数原理来解答较为简单.

求两个二项式的积的展开式中的某一项

例6 在[（1-x）3（1+x）8]的展开式中，[x2]的系数是[n].若[（8-nx）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn]，则[a0+a1+a2+…][+an=] .

解析 请阅读以下的解题过程并填空，完成这道题的解答过程.

[（1-x）3]的展开式中的常数项[1]与[（1+x）8]的展开式中的二次项[28x2]相乘得[28x2].

[（1-x）3]的展开式中的一次项[-3x]与[（1+x）8]的展开式中的一次项[8x]相乘得[-24x2].

[（1-x）3]的展开式中的二次项[3x2]与[（1+x）8]的展开式中的常数项1相乘得[3x2].

[∴x2]的系数为7，[n]=7. 然后用赋值法求得[a0+a1+a2+…+an=]1.

答案 [1]

点拨 这种类型的问题常出现在课后习题中，是高考命题的“源头之水”，要特别重视. 例5也可以将[（x2+3x+2）5]变形为[（x+1）5（x+2）5]，再用上述方法求解.

用二项式定理求解整除问题

例7 设[a∈Z]，且[0≤a<13]，若[512016+a]能被13整除，则[a=] .

分析 把[51]看作[52-1]，然后利用二项式定理将[512016]展开，再观察展开式求解.

解 [512016+a=（52-1）2016+a]

[=C02016522016-C12016522015+…-C2015201652+C20162016+a]，

上式中除[C20162016+a]外，其余每项均能被13整除.

若[512016+a]能被13整除，则[1+a]也能被13整除，所以[a=12].

点拨 用二项式定理求解整除问题往往技巧性较强，如何转化，应视问题的情形而定. 通常是先展开，再考虑展开式中各项的整除性问题，主要是最后一项（或几项）的整除问题. 此类问题有较为固定的转化法则，应多加练习，熟练掌握.