为数学点赞——名师例析数学文化（4）从杨辉三角到二项式定理

■北京市第十二中学高中部 高慧明

■北京市教育学院丰台分院 张 琦

本刊特邀栏目专家简介:

高慧明 首届全国十佳班主任,全国著名数学特级教师,国家教育部课程改革“全国先进工作者”,全国著名高考数学命题与考试研究专家,国家教育部“国培计划”全国中小学教师培训、班主任培训、校长培训特邀主讲专家,受邀在全国各地做有关高考科学备考、班级管理等多场专题报告。现任教于北京市第十二中学高中部。

高中数学教材人教A版《选修2—3》中用了较大篇幅介绍“杨辉三角”,并在探究与发现一栏中详细介绍了“杨辉三角”中的一些秘密。究其原因,主要是“杨辉三角”蕴含了丰富的内容,由它可以直观看出二项式定理的性质。同时“杨辉三角”又是我国古代数学的研究成果之一,它的发现显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。

在介绍这部分内容之前,我们先来看看另外一部分大家不是很熟悉的内容——笔算开平方。整数,它与3×20的和,再乘以它本身,等于256。

为便于求得a,可用下面的竖式来进行计算:

根号上面的数3是平方根的十位数。将256试除以20×3,得4。由于4与20×3的和64,与4的积等于256,4就是所求的个位数a。竖式中的余数是0,表示开方正好开尽。于是得到1156=342,或 1156=34。

上述求平方根的方法,称为笔算开平方法,用这个方法可以求出任何正数的算术平方根,它的计算步骤如下:

1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段,用撇号分开,分成几段,表示所求平方根是几位数。

2.根据左边第一段里的数,求得平方根的最高位上的数(如上面竖式中的3)。

3.从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(如上面竖式中的256)。

4.把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商(3×20除256,所得的最大整数是4,即试商是4)。

5.用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数,试商就是平方根的第二位数;如果所得的积大于余数,就把试商减小再试(如上面竖式中(20×3+4)×4=256,说明试商4就是平

一、笔算开平方

现在我们都知道,要想求某个数的平方根,最简单的方法就是用计算器。但是在计算器出现之前,古人是怎么求一个数的平方根呢?本文做一简单介绍。先一起来研究一下,怎样求 1156,这里1156是四位数,所以它的算术平方根的整数部分是两位数,且易观察出其中的十位数是3。于是解决问题的关键在于:怎样求出它的个位数a?为此,我们从a所满足的关系式来进行分析。

根据两数和的平方公式,可以得到:

1156=(30+a)2=302+2×30a+a2。

所以1156-302=2×30a+a2,即256=(3×20+a)a,这就是说,a是这样一个正方根的第二位数)。

6.用同样的方法,继续求平方根的其他各位上的数。

按照上面步骤求 85264,可得到下面左边的竖式。

于是得到

如遇开不尽的情况,可根据所要求的精确度求出它的近似值。例如求的近似值(精确到0.01),可列出上面右边的竖式,并根据这个竖式得到。

二、杨辉三角

上述求平方根的方法是一个非常有效和高度机械化的算法,可适用于任意高次方。这种随乘随加、能反复迭代计算减根变换方程各项系数的方法,不论是在古代还是现代都有深远的意义,而这也刚好是“开方做法本源”的本质。我们下面就对“开方做法本源”进行简单的介绍。

杨辉是我国南宋时期的一位杰出的数学家。在他所著的《详解九章算法》一书中,画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称为“开方做法本源”,现在简称为“杨辉三角”,它是世界的一大重要研究成果。根据杨辉的自注,这个三角形并不是杨辉发明的,因为他在《详解九章算法》中表述其“出《释锁算书》,贾宪用此术”。所以,我们也可将其称为“贾宪三角”。这一三角形的用途主要是开方,或者说解形如xn=A的高次方程。下面以求x3=2018的正根为例加以说明:

由于2018是四位数,可知其立方根在10～100之间,并由于2018大于103且小于203知其立方根的十位数字为1,故可设x=10+a,于是有(10+a)3=2018,按杨辉三角的第4行(1,3,3,1),可知103+3×102a+3×10a2+a3=2018,移项有300a+30a2+a3=1018。之后估计a的值,明显能估算a大于2小于3,所以设a=2+b,重复上述过程,能够达到想要的近似值。

为了能够更好地说明“杨辉三角”的性质,我们暂时借用二项式系数进行说明。按图1排成的三角形每一行的外侧的数都是1,中间的数字等于其两肩的数字的和。这一三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书(1261年),在我国通常称为杨辉三角。

图1

首先,让我们来看看杨辉三角的某些性质。

1.项数:在杨辉三角的第n行的项数为(n+1)。

2.系数:在杨辉三角的第n行,各项的系数分别为:

杨辉三角的第n行的系数和为C0n+

3.总项数:在杨辉三角形的n行及以上,

4.通项公式:

令Crn表示第n行第(r+1)个数,则这个

5.最大值:

在杨辉三角的第n行中:

当n=2m(m∈N*)时,二项式系数的最大值为,即中间的一项最大;

当n=2m+1(m∈N*)时,二项式系数的最大值为,即中间的两项最大。

我们通过一个简单的例子来体会一下“杨辉三角”的实际应用价值。

例1 如图2所示,从甲地到乙地共有多少种不同的最近走法?

图2

解析:为了讨论方便,我们采取归纳猜想的方法进行求解。首先看最简单的形式如图3。可知从甲地到乙1地有2种走的方法。

之后我们可以将甲乙两地之间的距离加大,到每个交叉点的走法刚好是如图4所示标记的数字。

图3

图4

图4所示从甲到每一个交叉点的走法与杨辉三角很相似,由此当我们遇到上面所示的路径的问题时,我们可以根据杨辉三角来确定它到另一端的走法。其实这个图形在西方数学史上也有记载,它是法国数学家帕斯卡发现的,被称为“帕斯卡三角形”。

三、帕斯卡三角形

说到“帕斯卡三角形”,一定不能不提的就是概率论。

分赌注问题是概率论历史上最著名的问题。1654年,职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题:甲、乙两赌徒赌技相同,各出赌注50法郎,每局中无平局。约定谁先赢满5局,谁就获得全部赌金。赌了半天,A赢了4局,B赢了3局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了。那么,这个钱应该怎么分?是不是把钱分成7份,赢了4局的就拿4份,赢了3局的就拿3份呢?或者,因为最早说的是满5局,而谁也没达到,所以就一人分一半呢?

这个问题难住了帕斯卡,他苦苦思考了两三年,才算有了点眉目。于是他写信给自己的好友费马,两人讨论结果,取得了一致的意见:既不是按4∶3分配,也不是按一人一半分配,而应该是按3∶1进行分配。

帕斯卡给费马的信中写道:由于第一人已得4分,另一人只有3分,他们掷下次时,若第一人赢了,他将获得全部100法郎;若另一人赢了,他们的比分是4∶4,在这种情况下分赌注的话,每人将拿回自己所下的赌金,即50法郎。综上,第一个人赢了,将获得100法郎,如果他输了,50法郎将属于他。假设他不愿意继续赌下去而要分赌金的话,第一个人应该说:我一定能得50法郎,即使我下一轮输了,也应该把它们给我。至于另外的50法郎,也许我得到它们,也许你得到它们,机会是均等的。所以在分给我50法郎后,让我们均分另外的50法郎吧。这样,他将得到75法郎,而另外一个人只能得到25法郎。

如果是谁赢满6局谁就获得全部赌金,同样甲赢了4局,乙赢了3局,如何分配赌资呢?费马的解法是,如果继续赌局,最多只要再赌4轮便可决出胜负,如果用“甲”表示甲方胜,用“乙”表示乙方胜,那么最后4轮的结果,不外乎以下16种排列:

甲甲甲甲 甲甲乙乙 甲乙乙乙

甲甲甲乙 甲乙甲乙 乙甲乙乙

甲甲乙甲 甲乙乙甲 乙乙甲乙

甲乙甲甲 乙乙甲甲 乙乙乙甲

乙甲甲甲 乙甲乙甲 乙乙乙乙

乙甲甲乙

甲方胜 乙方胜

在这16种排列中,当甲出现2次或2次以上时,甲方获胜,这种情况共有11种;当乙出现3次或3次以上时,乙方胜出,这种情况共有5种。因此,赌金应当按11∶5的比例分配。

而帕斯卡解决这个问题则利用了他的“算术三角形”的数阵(见图5,转个观察角度可以发现,其实就是一个杨辉三角,每条对角线上数就是二项展开式逐项的系数,帕斯卡还用组合数意义对其进行了解释),欧洲人常称之为“帕斯卡三角形”。

图5

在一般情况下,如果甲需要再赢a局获胜,乙需要再赢b局获胜,那么就可以选择“算术三角形”中第a+b条对角线,并求出这条对角线上前a个元素的和与后b个元素的和,赌注再按所得和之比来分配。由图5可知,三角形第五行上的数恰好是甲出现次数的组合数,其中1是甲出现4次的组合数,4是甲出现3次的组合数,……因此赌金应按照11∶5的比例分配,这与费马得到的结果是完全一致的。

后来,数学家雅可布·伯努利将其推广到两个水平不同,获胜机会不均等的情形,而结果与二项式定理又有着结构上的惊人的相似:如果甲获胜的概率为p,乙获胜的概率为1-p,则甲在n局中能够胜r局的概率为Crnpr(1-p)n-r。这就是教材中介绍的“二项分布”。

四、二项式定理

二项式定理,又称牛顿二项式定理。牛顿于1664年提出之后,历经几个世纪的应用与发展,其经典性不言而喻。历史上的二项式定理,和我们现在教科书中介绍的还是有些区别的,下面进行简单介绍。

牛顿二项式用现在的式子及记号表示为:

上式对于正整数α显然成立,这也就是我们高中阶段介绍的二项式定理。牛顿猜想对于任意的α∈R,上式都成立。莱布尼茨请牛顿说明是如何得到的,牛顿在信件中详细说明了其发现过程。

牛顿注意到对n取偶数时,列出了不同次幂的系数:

牛顿发现了其中的规律:将每一行中的第i项与第i-1项相加即可得到下一行中的第i项。

接下来,牛顿考虑n为奇数的情况。牛顿仔细研究了其中数字的形式,直到可以读懂字里行间的意思。牛顿发现了其中规律:

上面“阶梯”的第1列是:1;

第2列是:n;

……

以此类推。

表1

按照上述方法,牛顿得到了:

对上式微分,有:

牛顿清楚地知道他是如何得到上述式子的,他还通过其他方法对所得结果进行验证,发现都是正确的,从而,使他确信所得结果正确。由此,牛顿得到其著名的公式:

牛顿还运用这个“牛顿二项式定理”处理了许多有趣的级数,比如,他由此推出了反正弦函数的幂级数展开式及正弦函数的幂级数展开式。

当α为正整数时,就是我们高中阶段介绍的二项式定理。下面我们通过几个例题体会一下相关知识在试题中是怎么体现其作用的。

例2 (2004年上海春季高考卷)如图6,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第____行中从左到右第14个与第15个数的比为2∶3。

图6

解析:本题是关于“杨辉三角”的一道高考题。杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系,与排列、组合和概率的关系非常密切。因此,理解和掌握杨辉三角的一些性质,对发现某些数学规律是很有帮助的。

由图6我们能发现,第1行中的数是,;第2行中的数是;第3行中的数是;…;第n行中的数是。设第n行中从左到右第14个与第15个数的比为2∶3,则=2∶3,解得n=34。

例3 观察下列数表,问此表最后一个数是什么,并说明理由。

解析:本题是一道以“杨辉三角”为背景的一道考题。通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系。然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来,使问题得解。因为第一行有100个数,以后每一行都比前一行少一个数,因此共有100行。

通过观察可以得到:

第1行首尾两项之和为101;

第2行首尾两项之和为101×2;

第3行首尾两项之和为101×22;

第4行首尾两项之和为101×23;

……

第99行首尾两项之和为101×298。

因为从第2行开始每一个数字是它肩上两个数字之和,所以最后一个数字即第100行的数字是它肩上第99行首尾两个数字之和,即为101×298。